III
ment à — 2, comme dans l’équation [q'). Enfin, cette même équation exige que la somme des coefficients de e*, dans le second membre de (n'), se réduise à l’unité. Or cette somme est
J, [2 i—ji+ji + 3 1'— 4 i* — 1 - 1 - 3 — 4 -f- 2 (i— 1)‘
On pourrait encore appliquer l’équation (/>') aux ordonnées extrêmes y' = 6 -h e, et y' = — ^0 — ej pour lesquelles ona tang^=± 00 et sin*^= i; mais alors on a A=± V i — c\
ou, d’après la note du n® 19, A = ± , et la vérification
ne pourrait s’opérer algébriquement qu’au moyen de développements fort longs dans lesquels nous nous dispenserons d’entrer, pensant que les vérifications précédentes et la comparaison des valeurs numériques fournies par l'équation (e") avec de nombreux tracés déduits de l’expression (te) du rayon de courbure, prouvent suffisamment l'exactitude de nos formules.
DBTEMftHATIOM DES CORSTAKTBS.
22. Avant de nous livrer à l'examen des deux cas principaux que présente la question des arches de pont, lesquels sont ceux
■ des arches dites en arc de cercle et des arches en anse de panier, nous croyons devoir résumer ici les diverses formules auxquelles nous sommes parvenu dans les numéros précédents, en les présentant dans l’ordre de leur application, et modifiant l'expression de quelques coefficients suivant les indications fournies par la note du n° 19 ; et cela, dans le but d'éviter de faire dépendre un coefficient de la différence de grands nombres peu différents. Il résulte de cette note que l'on a
Or, d’après la note du n" 1 5 , on a d'ailleurs M- = N*-hîK,
et, par suite,
Enfin, nous avons trouvé, n** 17«
il en résulte
Nous nous servirons de ces relations pour déduire des équations (r), (s), (/'), (o'), (n'), (o"), et (i), les formules qui vont 'figurer dans le tableau suivant :
TtbleaB det formület relativet à l’ét/nation de la courbe inlradot.
D=a[::iiA'c-^(^)’e’]
tang*<p =
A’ = 1 — c* sin*0
X I par le* fornuilca du n* 10,
' ou par Ica Table* de
£(C, 9 )= j fonctioa*eüipli,t«..
\/B.x’ — K.F {c, <p) — B.fc (c, (p) -f- C — ^ — j
slnÇ coîÇ ,, »in^cos 9 i
-hO
=-sV/- • .
Il résulte de l'inspection de ce tableau, que si l’on considère comme donné le rapport i de la densité du massif à celle de la voûte, les formules qui le composent ne se trouvent renfermer d'autres constantes indéterminées que les trois quantités e, fi, et k.
23. Les données ordinaires d’un projet d’arche sont : la demiouverture, la hauteur sous clef à partir des nai.ssances, ou la flèche, puis la hauteur de la charge au-dessus de la clef, que nous avons désignée par A. (Nous verrons, dans la deuxième partie , comment on ramène à dépendre de ces données, la solution des questions où l’une d’elles serait remplacée par ime condition relative à la différence de niveau des naissances et de la chaussée.) 11 résulte de cette énumération, que le nombre des inconnues à déterminer se réduit effectivement aux deux seules quantités e et [t,. Souvent on se dispense d’avoir égard à la charge A dans le calcul d’une arche, et cependant elle mérite plus d’attention. Disons d’abord que la hauteur de cette charge provient ordinairement, dans les ponts, d’im lit de maçoimerie en béton, reposant sur le plan 'horizontal tairgent à l’extrados, d’une couche de cailloux, d’une autre de gravier, d'une couche de sable, et enfin du pavé lui-mème, quant à la chaussée; dans les ponts-canaux, plusieurs de ces couches sont remplacées par une couche d’eau. Nous supposerons remplacée, pour le calcul, la hauteur de chacune d’elles par la hauteur d’une couche de U matière du massif qui aurait le même poids, ce qui se fera en la multipliant par le rapport de sa densité propre à celle du massif ; et ce sera la somme de ces hauteurs réduites que nous désignerons par A.
Actuellement, distinguons les deux espèces d’arches dont nous devons nous occuper. L'équation de l’intrados que nous avons obtenue ci-dessus est celle d’une courbe qui diffère assez du cercle pour qu’on ne doive pas nous supposer l’intention de lui substituer un arc de cercle, même vers le sommet : néanmoins, pour éviter toute confusion, nous désignerons par arches incomplètes celles du genre des arches dites en arc de cercle, dans lesquelles les tangentes extrêmes à l’intrados réel feront, avec l’horizontale.
DES ARCHES DE PONT, un angle moindre que 90”; et nous nommerons archet complètes les arches en ante de panier où ces tangentes extrêmes sont verticales.* Ces dénominations se justifient par la considération des angles que font les tangentes menées au sommet et aux extrémités de -l’intrados.
Soient f el g la flèche et la demi-ouverture données. Dans le cas des arches incomplètes, se donner ces deux quantités, revient à faire passer la courbe intrados par un point donné dont la position est celle des naissances , et il ne peut résulter de l'expression des coordonnées x' et y' en fonction de / et g, qu’une seule équation de condition entre les données et les inconnues du problème ; d’où il suit que, dans les arches dont il s’agit, on peut prendre arbitrairement l’une des quantités e et p,. Dans le cas des archet complètes, outre cette condition résultant des données / et g, il en existe une autre introduite parla verticalité des tangentes extrêmes, et qu’on exprimera en écrivant dans l’équation propre à foinnir le maximum de l’abscisse de l’intrados réel, à la place de sa valeur en fonction de /. On a donc ici deux conditions qui suffiront pour déterminer e et p,.
I,a constante p, est la valeur au sommet de l’arche, de la variable P dont nous avons expliqué le caractère au n“ 6. Cette variable exprime, ainsi que nous l’avons dit, la hauteur d’une colonne de la matière des voussoirs dont le- poids produirait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans les joints normaux. Cette quantité , d'après l’expression («) , croît depuis le sommet de l’arche avec les ordonnées, et il importe que la plus grande valeur qu’elle puisse prendre ne dépasse jamais une certaine limite fixée par la résistance des matériaux employés. Nous désignerons par p, la valeur de p au point inférieur de la voûte , ou dans le joint des naissances. 11 est bon de connaître à peu près la plus grande des valeiu-s de p ou de p, qu’on puisse .adopter. Or Navier, dans son Rétamé des leçons sur l'application de la Mécanique, n“ 1 76, fixe la bmite des pressions que l’on peut employer avec«sécurité dans les arches , à 6 1 o kilogrammes pour une surface de 2 5 centimètres
carrés. On en déduit (x= loo mètres, si l’on prend pour poids du mètre cube, 10= a 44 o kilogrammes; c'est le poids du liais de Bagneux ; les autres pierres employées aux environs de Paris donneraient des valeurs de p un peu plus fortes, i cause de leur moindre densité. Suivant Navier, on ne s’exposerait donc point A trop charger les voûtes, toutes les fois que p ou p, ne dépasserait pas 1 00 mètres. 11 va sans dire cpie les matériaux employés doivent présenter, quant à la résistance, les qualités des pierres employées dans les bonnes constructions, comme celles que Navier a dû avoir en vue, lorsqu'il a énoncé son assertion. Nous pouvons présenter un exemple frappant dans lequel on reconnaîtra facilement que la Uniite p = too mètres a été dépassée; les piKers prisnuitiques de l'aqueduc de Spolette ont plus de 1 00 mètres de hauteur, et sont chargés d’une énonne construction k leur partie .supéricore : il est facile d'en conclure, malgré le défaut d’indications sur la dureté et la densité des pierres employées, que la valeur ^e p A la partie inférieure des piliers, doit excéder too mètres.
Nous allons maintenant tirer de l’équation (v] une relation entre p, et p,. Cette équation est
nous rappellerons qu'on y a négligé les termes du deuxième ordre qui se trouveraient être du troisième par rapport A p ; or, si nous négligeons les différences des coordonnées de l’intrados réel et de l'intrados' lictiF, qui sont du deuxième ordre de petitesse, nous aurons, à' ces différences près, au point inférieur de riiitrados',’
iiCf jr' liMk'
d'où ■ rr:- 'illvj î**- H -
4 ‘1 - "1 » -If/
é ''du V
'• .« /•—*•* ’ -i; -'H ml f'
S w tftâi ni. fl ^ ^ ‘
substituant cette valeur dans l'équation précédente , et écrivant (x, au lieu de fi, on en déduira
fi, = fX, -i-f-h-
on tire*" inversement de cette équation
evnression dans laquelle / pourrait être négligé devant fi, au dénominateur du dernier terme.
L’usage de ces équations est facile à saisir ; dans le cas des arches incomplètes où fi, est arbitraire, on fixera la limite fi, arbitrairement, mais de sorte qu’elle ne dépasse pas loo . mètres par exemple, et l’on déduira fi, de l'équation (a'j. Lorsqu'il s'agira d'arches complètes, et (fue fi, et < auront été déterminés de manière k satisfaire aux deux conditions énoncées plus haut, on fera usage de l’équation (<') poiu- calculer fi, et s''assarer'que sa valeur ne dépasse pas la limite de fi qu’on aura adoptée; si elle la dépassait, il faudrait nécessairement modifier les données du projet.
CiS DXS iSCHES llfCOMPliTMS, DITES lit ÀMC DK CtKCLB.
1k. Nous avons vu dans le numéro précédent qu’une des deux constantes e et fi, reste arbitraire dans les arches incomplètes : cela résultera avec évidence des calculs qui vont suivre. En général, on n’a aucune raison de se donner a priori l’épaisseur à la clef, ou en un joint quelconque, tandis qu’au contraire on est intéressé, dans le but d’économiser les matériaiut, à utiliser leur résistance, à faire supporter à chaque joint la plus grande charge possible par imité de surface. Il est clair, en effet, qu’un joint devant résister à une chaige totale déterminée, si la pression par unité de surface est inférieure à celle maximum que la pierre
•fc * ’ - •
ou le qsortier pourraient supporter sans inconvénient, la surface ^ du joint, et par suite, le volume du voussofr seront plus grands ^e si la pression par unité de surface était portée au inaxi- ^lun, la pression totale restant la même. Nous ajoufiMIpaa. é ce sujet, une observation qui eût peut-être été mieui placée ailleurs, c'est que la condition que la résultante des pressione passe par le milieu de l’épaisseur est également favorable à la diminution de l’étendue des surfaces de joint; cela résulte de ce que la pression par unité de surface va en augmentant vers les extrémités de la surface de .joint dont se rapproche la résultante des pressions : eu eU'et, lorsqu’elle a atteint son maximum vers ces points, elle se trouve, dans les autres, plus ou moins au-dessous de ce maximum , et la pression totale devient moindre que pour un joint d’égale étendue dans lequel la résultante des pressions passerait par le milieu, et où la pression par unité de surface serait portée à la même valeur maximum que dans le premier. Donc, si la pression totale que supporte le premier est doùnéc, en faisant passer la résultante des pressions par le milieu du joint, on pourra ré> duire son étendue sans alimenter la pression maximum par imité de surface.
Ces considérations doivent engager les ingénieurs à adopter autant que possible les plus grandes valeurs des pressions par unité de surface dans les joints, ou de la quantité fi qui les représente.
On pourra se donner généralement p, a priori, pourvu qu’il n’excède pas 1 oo mètres suivant Navier, et l’on déduira p, de l’équation (a') que nous reproduisons en y joignant sa relation avec q’ :
f», = ft, — / —
iüLLltl 3 ((«.-/) •
Disons cependant qu’on pourrait au besoin profiter de ce que la quantité p, reste arbitraire pour l’assujettir à quelque condition particidière.
Il reste maintenant à déterminer e. Nous allons former une équation entre cette quantité, la flèche f et l'ordonnée du point inférieur de l'intrados, que nous désignerons par y',. Rappelons que l'intradoa fictif et l’intrados réel sont distants de la quantité a S, différence entre l’épaisseur réelle e et l’épaisseur fictive e, mesurée suivant la normale [voir équation (c)]. H en résulte que la valeur de fordonnée du point inférieur de l’intrados réel est
y’i -i- ^ S, cos a, ,
en désignant par l’indice i les quantités qui se rapportent à ce point. L’ordonnée du sommet de l’intrados réel est
mais la différence de ces ordonnées est égale à la flèche f, d’où il suit q\ie l’on a
f = y', — h’ — a -t- 2 ^1 cosoi, :
mettant ici pour 2 S, et 2 S, leurs valeurs tirées de (x), et prenant la valeur de y, , il vient
/.=/-HA*-+-5;;(A'-/.cos<t.).
Or le dernier terme du second membre étant du deiuième ordre, on peut y substituer à y', et cosa, leurs expressions privées des termes du premier et du deuxième ordre. Remplaçant d’abord A' par y', — /, la parenthèse devient
y, (' — cosa,) — /;
mettant ensuite pour i — cos a, sa valeur approchée - — ; — ou
SUH L’ETABLISSEMENT
- — ; — et f -r- h’ à la place de y’,, l’expression précédente se
réduit à
et il vient finalement
On pourra le plus souvent négliger le dernier terme de cette expression.
Soit de même x", l'abscisse du point inférieur de l’intrados fictif, on aura évidemment
x', = J -f- a <î, sina, ,
et la valeur de sina, dans cette équation pourra se déduire de celle de i — cosa, obtenue plus baut en négligeant les termes du premier et du deuxième ordre : nous aurons ainsi les deux relations
1 — coso, = ■
i -I- cosa, = a ■
d’où, en multipliant membre à membre et extrayant ensuite les racines, ^
La première des deux équations précédentes donnerait d'ailleurs la valeur approchée de - a, , en l’écrivant comme il suit :
On a enfin
La valeur ci-dessus de x ', , en passant tous les termes dans le premier membre, donne l'équation de condition
/(/-i-aV) r
dans laquelle le second terme sera le plus souvent négligeable.
C’est maintenant du système des équations (i') jointes à {«'), (il)') et (x’), qu'il s’agit de tirer la valeur de l'inconnue e. On comprend l’impossibilité de l’élimination et la nécessité de recourir aux méthodes de tâtonnements ou d’approximations successives. On pourra y procéder, soit en s'aidant de tracés fondés sur l’expression («>) du rayon de courbure p', soit au moyen des seuls calculs numériques. Voici, en nous en tenant pour le moment à ces derniers, comment il faudra s’y prendre : on attribuera à l’inconnue c une valeur hyqiotliétique plus ou moins approchée, dont nous allons bientôt donner le moyen de fixer les limites; puis, s’étant donné fx, dans les limites indiquées plus haut, on calculera fi,, q' et y", par les équations («") et (u'); on calculera ensuite X par le système des équations (j') dans Icstpielles on fera y' = y',, et l’on substituera cette valeur pourx’,, dans le premier membre de l’équation (x“) qui devrait s’annuler, si la valeur hypothétique de e d’où l’on est parti se trouvait être égale â celle cherchée. Comme il n’en sera pas généralement ainsi, on fera varier ensuite cette quantité, et l’on recommencera les calculs, ce qui donnera, pour le premier membre de (x'), un résultat different du précédent : ime simple proportion suffira pour «orriger en grande partie l’erreur de e; et, si l’on substitue la valeur qui a subi une première correction, on aura un troisième résidtat déjà beaucoup plus voisin de zéro que les deux premiers. Enfin ces trois résultats fourniront un moyen de corriger la valeur de e au-
SUR L'ÉTABLISSEMENT tant qu’il esl nécessaire, soit en employant les courbes d’erreurs, soit en ayant recours à tout autre procédé d'interpolation. (Nous avons indiqué un de ces procédés déduit du théorème de Taylor, au S XLVI de l'Eqailibre des voûtes en berceaux cylindriques, troisième article.)
LtUITES DE LA TALEl'R DE «, DANS LES ARCHES IKCOSSPLàlES,
EUTES EU AEC DE CEECLE fj,
25. Nous obtiendrons une limite inférieure de la valeur de e, en partant de cette considération, que le rayon de courbure de l'intrados au sommet est plus grand que le rayon du cercle passant par les naissances et langent à l'intrados en son sommet. Cette assertion se vérifie aisément : en effet, d’après l’écpiation («') dans laquelle on fera, pour plus de simplicité, abstraction des tenues du premier et du deuxième ordre, le rayon de courbure va en décroissant à partir du sommet de l'intrados. Or, si le rayon tle courbiue au sommet était égal à celui de l’arc tangent et pas.sant par les naissances, la diminution du rayon de courbure ne permettrait pas à la courbe d'atteindre les naissances, et cellc-çi serait embrassée par l’arc de cercle dont le rayon est constant; il en serait de même a fortiori si le rayon de courbure de l'intrados se trouvait au sommet être plus petit que le rayon de l’arc tangent. Donc, pour que l’intrados passe par les naissances. Il faut que ce rayon de courbure au sommet excède le rayon de l'arc tangent. On peut conclure de là que l’intrados embrasse l’arc de cercle vers le sommet, et de ce qu’ils passent tous deux par les naissances. Il résulte que l’angle de la tangente extrême à l’intra- * dos, avec l’axe des x, excède celui de la tangente à l’arc de cercle
(‘) P. S. Les Tables que nous donnons » U lin de U deuxième partie de ce Mémoire di-spcnscronl de recourir aux formules proposées aux n" 25 el 27 pour oblriiir une valeur approebée de l'inconnue e, dans le cas de i = i . Si le rapport i ne dilTérerait pas trop de Tunité, la solution déduite des mêmes Tables serait une solution appmcbée qui dispenserait encore de l'emploi de ces formales •'
avec le même axe, ou bien que la normale à l’extrémité de l’intrados fait avec l’axe des y un angle plus grand que celui de la normale au cercle menée par le même point. Cette dernière remarque fournit le moyen de fixer une limite supérieure de la valeur de e.
Dans les calculs relatifs à ces limites, nous regarderons les intrados réel et fictif comme se confondant en une même courbe, et nous négligerons les termes du deuxième ordre.
Soient p", le rayon de courbure de l’intrados au sommet, et r celui du cercle tangent à l’intrados en ce point et passant par les naissances.
La première proposition s’exprime analytiquement par l’inégalité
Or on a entre la flèche , la demi-ouverture et le rayon r, l’écpiation
d’où l’on lire
d’un autre côté , si nous faisons y" = h“ = A - 4 - e et cosa = i dans l’équation (w), nous aurons
substituons ces valeurs dans l’inégalité ip’,'^ a r équivalente à la première, et pour q' sa valeur a il viendra
d'où
SIB L'ÉTABLISSEMENT
ae [^ - .A - i . - { -H ^.)] > ikf(i -+- Ç), et, a fortiori,
2 e [fl. — I A — ^ / (i -4- ^) ] > t A/ (i
On en tire
O ih
Telle est la limite inférieure de e. Quant à la limite supérieure, elle se déduira de l’autre proposition, qu’on pourra traduire de cette manière : le cosinus de l’angle a, de la normale extrême à l’intrados avec l’axe des y, est plus petit que celui de la normale au cercle; or ce dernier cosinus a pour expression - — - ou
I V; mais à cause de la valeur ci-dessus de 2 r ou de 2 r/",
la valeur de ce cosinus est i . ; on a donc l’inégalité
cosa, < 1 —
Substituons à la place de cosa,, sa valeur (a), en y mettant pour y’ la valeur f, donnée par l’équation (u') , puis A H- c à la place de A*, et négligeons les termes du deuxième ordre; il viendra
OU, en développant et réduisant, /(/-*- i h) »«/
it
Celle inégalilé sera >Taie, à plus forte raison, si, pour simplifier, on supprime au dernier lerme la quantité f, qui sera positive dans les cas ordinaires de la pratique; multipliant ensuite tout par 9’ ou par sa valeur 2 il viendra *
inégalité qui donne la limite supérieinrc de la valeur de e. Celte limite et celle précédemment déterminée laissent entre elles un intervalle assez considérable : nous indiquerons, sans toutefois en garantir la généralité, un moyen de déduire de ces limites une valeur approchée de e; il consiste à doubler la limite inférieure, prendre la moitié de celle supérieure, et ensuite la moyenne des deux résultats, ce qui revient à ajouter à la limite inférieure le quart de la limite supérieure, ou à prendre pour valeur approchée de e, l’expression
Le calcul des valeurs limites ou de la valeur approchée de e, suppose qu’on a préalablement calculé p, par la formule (»’), au moyen de la quantité donnée fz,. La correction de la valeur approchée s’opère ainsi qu'il a été dit au numéro précédent.
CAS DES AECBES COKMÈrES. OU E.V AJTSE DE fAXIEK.
26. Nous avons fait voir au n® 23 comment les deux conditions résultant d’une flèche et d’une demi-ouverture données, jointes à celle de la verticalité des tangentes extrêmes, suffisaient pour déterminer les deux constantes inconnues e et (i,. Pour plus
de simplicité, nous substituerons à l’inconnue (i, la quantité 9’,
liée à celle-ci par la relation
de sorte qu’ayant détermine 9* et e, on déduira de cette équation la valeur de fi,.
Nous exprimerons d’abord que la'tangente extrême à l’intrados réel est verticale. Pour cela, observons que l’abscisse d’un point quelconque de cette courbe a pour expression
■v^ . ■>. x' — a^sina;
nous aurons donc aux naissances de cet intrados, i{x‘ — a s sina) = o,
d’où '
— — sina -rr —ad cosa — = o.
Or nous avons, par l’ime des équations (x),
on en tire
i.ii
jj' — y
D’un autre côté, l’on a
ds* da
substituant ces valeurs, il vient
— = cota, da ■■
• ar
P nii«
aè 7 ad
cota r Sina r cota = o,
ou
si , ai
’ — sina tanga — — ;
et, par suite,
sina tanga =^(i — ^).
■ Il Y aurait à substituer h 3 S, a et p’, leurs valeurs en fonction.s de y, et à tirer la valeur de celle ordonnée; niais nous opérerons plus simplement. L’é^ation précédente montre que le produit siii* tanga est très-grand, ou que a est voisin de 90®, comme on pouvait le prévoir. Celte circonstance permet de faire sina = 1 et de négliger ^ devant l’unité au deuxième membre : on a alors
tanga = —
Kliminant tanga entre cette équation et fcquation (a'), il viendra
ou bien en affectant de l’indice 1 , les variables de cette expression qui répondent aux nai.ssanccs de l'intrados réel, et prenant la valeur du dénominateui' du second membre,
Désignons actuellement par y’, l'ordonnée du point de l'intrados fictif où la tangente est verticale, et pour lequel on a cola = o, la même équation (a') fournira la relatiuq
ou , à cause de A’ — c = A ,
(>ettc valeur permet de mettre l’équation précédente sous la forme
d’où
y, y, tt..
108 SIIK L’ÉrABLlSS/.MEM’
La difTércDce des ordonnées des points de l'intrados fictif correspondants aux tangentes verticales des deux intrados est, comme on le voit, une quantité du deuxième ordre, ce qui permet de 8id»titucr dans le second membre j’„ S, et R, à y\, et R,, puis à ces quantités, leurs valeurs en y négligeant les tennes du premier ordre; de cette manière, on a d’abord
Actuellement, la valeur (î) de R* devient .
et, en ayant égard à la valeur de y/’,
R,* = [q’~ (A’> ~ A*) } [q> -I- A'* — A*], ou
mais à cause de A’ — h~e, le dernier terme de cette expression est du deuxième oadre, ce qui la réduit à q\ Substituant cette valeur et celle de S, dans la différence ci-dessus, il vient
ou, à cause de y,’’ = A’,
On en déduit finalement
y " — v/ fl’ -t- *’
y , — . V 9 -i- #1 g v^T^nr*-
Quant à l'angle (90° — a,) du dernier joint avec l’horizontale.
il se dikluira de la valeur de tanga obtenue plus haut, et l'on aura '
ung (90* —a,)
Maintenant nous allons faire usage d’une autre expression de , que nous avons formée pour le cas des arches incomplètes; elle est
• 3 7. {^* — y*i tosa,):
or l’expression de tanga donne j", cosa, = a sina,; cette valeur n'introduirait dans y", qu’un terme du quatrième qrdre, nous devons donc n'en tenir aucun compte, de sorte que la valeur précédente se réduit à
Il s’agit actuellement d’éliminer y", entre cette équation et celle obtenue plus haut qui exprime la valeur de la même quantité. Cette dernière donne, en négligeant les termes du quatrième ordre,
Elevons la précédente au carré et éliminons y,’’, il viendra
on en tire, à cause de A = A’ — e,
et en mettant au dernier tenne,* pour q', sa valeur approchée
Il reste à former l'équation qui lie la flèche /à la demi-ouverture ^ : on a ici, comme dans les arches incomplètes,
x\ = ÿ -t- a sina, ,
et nous avons vu qu’on peut faire sina, = i , tandis que l’on a
Substituons et f’, leurs valeurs approchées f-{-h' el f[ /-f-aA ], il viendra •
et l’on aura l’équation de condition
La détermination des constantes e et q' dépend maintenant de la résolution du système des équations (<f), (e“) et (c*) jointes aux équations [s') dans lesquelles on fera y'=r=y,' etx*’=x",. L’élimination ne sera pas plus praticable ici que dans l’autre cas; on sera encore réduit k l’emploi des méthodes de tâtonnement, et voici comment on devra s’y prendre :
On partira d’une valeur hypothétique de e plus ou moins approchée, que nous ferons bientôt connaître; puis, au moyen de l’équation (</ ) dans laquelle on a A' = A -t- c, on calculera la valeur correspondante de q‘. Celle de y’, sera donnée par l’équation (c*) ou celle qui la précède , et l’on se servira de cette valeur particiUière de y" pour calculer, au moyen des équations (/), celle correspondante de x' qui deviendra x’, : cette valeur" devra être portée dans l’équation de condition (e*) qui pourra n’étre pas satisfaite. 11 faudra alors avoir recours aux méthodes de correction indiquées à la fin du n® 2/i, pour corriger hi valeur de e d’où l’on est parti, et recommencer les calculs jusqu’à ce* qu’on en ail dé-
terminé une qui satisfasse à i' équation («"). Toutefois, il ne faut pas oublier que la valeur de fi, ne doit pas dépasser certaines limites dont il a été question au n° 23. On devra donc, après avoir qbtenu les valeurs de e c*l ç' qui satisfont à l’ensemble des équations du problème', calculer la valeur de fi, par l'équation
et en déduire celle de fi, par l'équation (/*) que nous reprodui-
sons ICI,
ou de la suivante qu'on obtient en éliminant fx, et </' enlre celleci et les équations («T) et (/"),
fX, = l
En changeant A' en A 4- e dans les deu.\ premiers termes, cette
expression devient
Le dernier terme est très-petit, lors même que e atteint quelques mètres'; il suiSt, pour cette raison, de considérer les seuls premiers teanies dans la discussion de la valeur de fx, : on reconnaît ainsi que cette grandeur fx, est d’autant moindre que e devient plus grand. Si donc la valeur trouvée de e est très-grande relativement, et qu'il en résulte une valeur assez petite de fx, ou de faibles pre.ssions dans les joints, ce qui serait contraire aux principes de l’économie dans les constructions, on en conclura la nécessité de modifier les données. Du reste, nos formules basées sur l’hypotbèse que e et fx sont l'un petit et l’autre très-grand cesseraient d’être applicables.
VÀI.Kl:H APPROCHÉE DE e DAES LE CAS DES MRCHES COArpLÉTES , - ' OU f.V AfISE DE fAKIEB.
27. La discussion qui nous a servi, n°'25, à üxer les deux iiiniles de e, dans le cas des Jirchcs incomplètes, pourrait être reproduite ici; mais ce serait sans application utile à notre objet. En cITct, si nous voidions appliquer les deux propositions sur lesquelles nous nous sommes appuyé pour arriver aux deux inégalités {z’) et (a"), nous devrions, dans les calculs qui les précédent, remplacer q' par sa valeur (d*) en e, et nous obtiendrions, au lieu de l'inégalité (r") qui donne une limite inférieure, l’expression d’une limite supérieure fort éloignée de la vraie valeur dee, et telle que nous pourrons, en parlant d’autres considérations, obtenir ime autre expression de la limite supérieure dont la valeur sera exactement moitié moindre.
Quant à la condition qui nous a fourni l’autre limite, et qui est exprimée par l’inégalité
- ii;«j A 'i, ''VJ 'j'jti UC - - é - ■ ' n.É
à cause que cosa, est ici égal à zéro, elle se réduit à
tf ; 's«i ■ * . - '
OU à ‘ ■>" " a<'£i8W3'Nb 4 aMt; ■ •
h ri'jfÇibsisip' -' ■■
Cette condition, ';relntife •tu^dmaées seahiBfeiit, ne peut rien fournir qui soit' reklifrnn'lniHtco do lniMiuui de e; eÜM condoh à cette conséquence remarquable, que les arches chargées donent toiqoura être surbaissées. • 'r
Nous ne nous proposons ici que de donner une Iknho snpé*
rieure de la valeur de.e qui ne différera pas considérablement de la valeur exacte. 11 résulte de la comparaison de nombreux tracés de notre courbe intrados avec des demi-ellipses ayant pour demiaxes les longueurs / et g , que l’intrados présente toujours plus de convexité vers les reins que la demi-ellipse correspondante, et que, par suite, il embrasse complètement cette dernière depuis le sommet jusqu’aux naissances. Cette circonstance indique que le rayon de courbure de l’ellipse au sommet est plus petit que celui de la courbe intrados au même point; écrivons cette inégabté, en mettant pour le rayon de courbure de l’ellijfte son expression connue j, et pour le rayon de courbure de l’intrados, sa valeur p’, tirée de (y*), nous aurons
fc -4- —
Substituons pour 7', sa valeur («T), et faisons disparaître le dénominateur du second membre; il viendra, à cause de A'= A-+-e.
or, I étant <C ■ • on peut le remplacer par l’unité , dans le premier membre, ce qui augmentera l’inégalité. On peut aussi négliger le terme en c’ dans le second membre; car le facteur de e’ est
très-petit, d’abord parce que 1 — i et le rapport j sont très-
petits, ensuite parce que les deux petits termes où entrent ces quantités sont de signes contraires et tendent à se détruire : on pourra donc écrire ^
II<| ou
et l’on en déduit
L’élimination de q' entre l’écpiation [d”) et l’inégalité (z') eût conduit à une limite supérieure de e H- é, double de celle que nous venons de déterminer. On peut obtenir une valeur approchée de e -H A en prenant les j de la valeur limite donnée par l’inégalité (y*) (nous donnons cette indication comme ressortant de nombreux calculs et tracés); on pourra même en faire usage pour se fonner une idée approchée des dimensions auxquelles on arrivera au moyen de valeurs données de f, g et A. La correction de la valeur de e s’effectuera comme il a été dit au no 26 0-
S’il nous est permis de raisonner sur la valeur approchée de e, comme si elle était exacte, nous dirons que l’épaisseur augmente avec la flèche ol aussi avec le rapport -, c’est-à-dire avec f, lorsque
(*) N. B. L«s Tables qui sont à la fm du Mc^moirc nous ont permis de rechercher ultérieurement des formules empiriques pour calculer l'épaisseur à la clef c«, dans le cas dc^ arches complèlet où l'on a i = i . Nous avons trouvé, pour les surbaisse'
ments usités qui sont compris entre les limites
, 0,79876 / — o.as 864 i
giati — 0,19639
g reste constant, et nous ajouterons que lorsqu’on aura trouvé e et (i,, l'un évidemment Uop grand et l'autre beaucoup au-dessous de la limite i oo mètres par exemple , il faudra , pour diminuer e et augmenter fx,, diminuer la flèche, ce qui augmentera en même temps le surbaissement ; il n’y aura aucune difhculté à le faire, puisqu’il suffira, d’exhausser les naissances, pour avoir la même hauteur de la def au-dessus des eaux. Si l’épaisseur était évidemment trop petite et donnait lieu par conséquent à de très-grandes valeurs de p,, ce serait l’indication d’un trop grand surbaissement, ou de trop petites valeurs de /; il serait moins facile de remédier à cet inconvénient. '
Ces considérations montrent que les arches en anse de panier se prêtent plus difficilement aux conditions qu’on peut voidoir leur faire remplir, que les arches incomplètes; cela tient à ce que, dans les premières, tout se trouve déterminé au moyen des données, au lieu que, dans celles-ci, l’une des deux constantes reste arbitraire. 11 ne faudra donc point s’étonner si nos formules relatives aux arches en anse de panier conduisent quelquefois à des valeurs de e et p, inadmissibles dans la pratique.
La deuxième partie du Mémoire présentera des exemples propres à mettre en évidence les effets produits par la variation des données. Nous ne pouvions ici que les indiquer sommairement.
POOSSis DB LA VOAtE BT OU MASSIF CONTBE LBS CCLBBS.
28. Nous n’aurons que peu de mots à dire concernant les piles. En admettant que le pont se compose d’arches ^ales, on voit que les poussées horixontales exercées au sommet des piles se font équilibre, et que chaque pile doit résister à une action verticale égale à la somme des composantes verticales des pressions exercées sur les joints des naissances des deux arches contiguës, augmentée du poids de la partie du massif qu’elle supporte directement.
Désignons par T, la valeur de la pression totale T dans le plan des naissances, et soit toujoius X la longueiu de la voûte
116 SLR L'ÉTABLISSEMENT
parallèlement aux génératrices; on aura T, par l'équation {k) ou
celle qui suit:
T, 3-: ■wXcft, ; {A")
la valeur de u, sera donnée a priori dans le cas des arches iiicomplèles, et par l'équation (A'^) dans le cas des nrches complètes. Les composantes horizontale et verticale de cette pression seront
T, cos®,, T, stu®,. (T)
et l'on déduira la valeur de l'angle ®,, de l'expression de la tangente qui devient, en vertu de {a) et (d').
tanga,
après qu'on y aura mis pour y*„ sa valeur (ui*) dons le cas des arches incomplètes : dans le cas des anses de panier, on a
Ung( 90 »-®,) = ^ = 1^.
La somme des projections verticales des pressions exercées par les deux arches voisines sur une même pile, est généralement
ï T, sin®,.
Maintenant supposons que les plans de joint extrêmes des deux voûtes se rencontrent suivant les arêtes extrêmes des extrados, de sorte que la pile n'ait à stipporter directement aucune partie du massif; la section horizontale de la pile sera égale à la somme des projections horizontales des surfaces de joint passant par les naissances; elle aura pour expression
, a Xc sin®, . .
Kn divisant. la somme des pressions verticales par cette section, on aura pour valeur de la pression par unité de surface que sup- [)ortera‘la pile à sa partie supérieure ,
iü’
ou, d’après l’équation (A").
taft,.
Dans cette hypothèse, on voit que la pression par unité de surface transmise verticalement à la pile sera précisément celle qui a lieu dans le plan des naissances; de sorte 4|ue si les assises de la pile présentent la même rési.stance que les voussoirs inférieurs, il suffira de donner à la pile, lorsqu’on n’aura égard qu’à la charge supérieure, une section horizontale égale à la somme des projections des plans de joint extrêmes.
S’il existe un intervalle horizontal entre les deux arêtes extérieures des deux derniers plans de joint, la pile aura à supporter directement ime partie du poids du massif qui donnera lieu à une pression par unité de surface de beaucoup Inférieure à wp.,, de sorte qu’on pourra évidemment donner à la pile toute largeur qui ne sera point inférieure à la somme des projections horizontales des épaisseurs extrêmes, lorsqu’il suffira d’avoir égard à la charge supérieure.
Quant aux culées, elles sont d’abord soumises à l’action de la force totale T, [équation (A'^)], faisant l’angle ot, avec l’axe desar; les coordonnées de son point d’application sont
X, = ®‘', - e sina, ,
i ccosa,;
mais les culées reçoivent en outre les 'actions horizontales exercées par le massif qu’elles encaissent. Pour déterminer la résulte.
lis SUB L'ÉTABLISSEMENT
tante de ces actions et son point d’application , nous aurons recours
k la relation (o) obtenue au n® 8 , laquelle est
ir = »®y,
11' désignant la pression horizontale par unité de surface exercée par les prismes triangulaires sur les parties acyacentes du massif. L’équilibre de celui-ci exige que la culée exerce des réactions égales et opposées. La pression transmise à la ctdée sur une étendue superficielle verticale \<iy située à la profondeur y, est donc
i-eXydy, . ^
et son moment • m
iztXy'dy,
le tout, comme dans l’hypothèse de la fluidité.
Pour obtenir les valeurs de la résultante et de son moment, il sufiit d’intégrer ces expressions entre des limites qui sont les ordonnées du sommet et du point inférieur de l’extrados : soient y , et y, ces ordonnées, nous aurons
y\ = /i — e oos».-
Intégrons maintenant les expressions différentielles précédentes et désignons par U et a l’intensité de la résultante et fordonnée de son point d’application, il viendra
et l’on en déduira, par division membre à membre.
DES ARCHES DE PONT, résultat qu'on mettra sous la forme
afin de faire disparaître l’indétemiination qui se manifesterait dans le cas où la différence de niveau y\ — y, serait très-petite.
La partie de la culée située au-dessus du plan des naissances devra être construite d’après les mêmes principes que les murs de réservoirs, pour résister aux pressions élémentaires dont la force U se compose, à cela près qu’il faudra substituer la densité du massif à celle de l’eau et tenir compte de la pression représentée par la hauteur h (|ui s’exerce au niveau du sommet de l'extrados.
Connaissant maintenant les forces T, et U, leurs directions, et les coordonnées de leurs points d'application, on aura toutes les indications que la théorie abstraite de l’équilibre de la voûte et de son massif peut fournir, pour procéder au calcul de l’établissement des culées.
CALCUL DES COOEDONStSS, ISCUKAISOSS DES JOINTS, RATONS DE COl'RBUSE, ETC.
29. Ajrant déterminé par les procédés indiqués aux n" 22 et suivants, les valeurs des constantes e, p, ou f ', les coordonnées des points extrêmes de l’intrados seront connues : on se trouvera dès lors en mesure de procéder au calcul des coordonnées intermédiaires et des diverses quantités qui leur correspondent; on aura en même temps un moyen de vérifier l'exactitude des calculs, si Ion emploie la méthode des différences finies, comme nous allons le faire. Il est facile de se figurer quelle difficulté il y aurait à calculer, au moyen des formules (»'), l’abscisse r* en fonction de l'ordonnée y’ qu’on se donnerait arbitrairement; en admettant qu’on fit ce calcul, il resterait à faire celui de Tinclinaison des joints, par l'équation différentielle (a'). Le moyen que nous allons indiquer, fondé siu" l'emploi du rayon de courbure, aurait pu nous dispenser, à la rigueur, d'effectuer l’intégration des
équation» (IKTénentielles du problème, mais la détermination des
constantes aurait présenté plus de dirRctdtés.
Nous allons nous proposer d’abord de calculer les différences finies des coordonnées de la courbe intrados, en prenant pour variable indépendante l’angle a des normales avec la verticide: nous ferons varier a de quantités constantes que nous désignerons par Aa, et les coordonnées x’, y' du point où la normale fait l’angle * varieront de quantités Ax', ^y’ qu’il s’agit de déterminer. Nous ne prétendons point donner l’expression exacte de ces différences, mais seulement des expressions dont le degré d’approximation sera d’autant plus grand que la différence Aa sera elle-mëine plus petite. Pour fixer les idées, nous supposerons qu’on veuille tenir compte, dans les valeurs de Ax" et Aj”, des termes du deuxième ordre OU en e*, afin qu’on soit sùr^que les valeurs de x' et y’ obtenues par les additions successives des Ax' et A/ ne soient point en erreur dans les termes du premier ordre ; il faudra, pour simplifier les calculs, choisir Aoi de telle sorte que les termes en Aa soient, ainsi que ceux en Ax” et Ay”, de l’ordre de e ou du premier ordre. La différence Aa sera assex
petite quand elle n’excédera pas de beaucoup le rapport - qui s’est présenté au commencement de nos calculs comme type des quantités du premier ordre.
Ceci posé, nous déduirons les expressions de Ax', Ay', de celles des différentielles dx' et dy’, en mettant à profit une proposition due, nous le croyons, à Legendre, et qu’on peut énoncer de cette manière : Si dans un système d’équations différentielles du premier ordre, on change les différentielles en différence» finies, on peut donner au résultat un degré d’exactitude qui s’étende aux termes du deuxième ordre inclusivement, en augmentant en même temps chaque variable dépendante ou indépendante de la moitié de sa différence finie.
Appliquons cette proposition aux valeurs suivantes de dx" et dy',
dx” = p' cosa da, dy' = p' sina d<t,
DKS ARCHES DE l’ONT.
nous aurons
Ax’ — (p' H- i Ap'j cüs ^ A«) A*. j
A / = ^p* -f“ ^ Ap'^ sin fa
- Aa) Aa.
Or, observons qu’cn présence du facteur Aa, l’expression p'-t- - Ap"
n’a besoin d’être exacte que jusqu’aux termes du premier ordre inclusivement; nous déduirons cette expression de celle (te) du rayon de courbure p', en mettant cette dernière sous la forme
et désignant par ij/ luae fonction des deux quantités y' et a. Différentions cette expression, il viendra
si nous passons des dilTérentielles aux différences finies, et que nous divisions tout par 3, nous aurons, aux quantités près du deuxième ordre,
