SONT DE MEME DENSITE

Notations.

36. L'axe des y est vertical et passe par le sommet de l'arche; l'axe des x est horizontal et situé dans un plan parallèle au plan des têtes, qui est élevé au-dessus du plan tangent à l'extrados d'une quantité h représentant la hauteur d'une couche de matériaux

de même densité que le masdif et dont le poids serait égal à celui des couches de daasités diverses qui aurchargent la voûte.

Nous désigvboaa par :

h la li^uteur de k charge qui s'élève au-dessus de la def ré* duite à la densité du massif, comme il vient d'être dit, en sorte que h désigne l'ordoiinée du sommet de Textrados;

e Tépaisseur fictive de la voûte ou la distance constante entre Textrados et Tiotrados fictif, mesurée suivant la normale commune à ces deux courbeja;

h" Tordonnée du sommet de Fintrados fictif;

x\ y et p les coordonnées et le rayon de. courbure de Textrados;

x", y' et p" les coordosiiées du point de Tintrados fictif situé sur b normale à Textrados menée par le point {x\ y'); et le rayon de courbure de Tintrados fictif, au point (a?", y");

X, Y les coordonnées du point* de Tintrados réel situé sur la même normale;

a Tangle de cette normale avec Taxe dea y ou du plan de joint passant par le point {x\ y') avec la verticale;

ft' un angle ausùliaire très-peu difiE&rent. de a, et dont la signification géométrique a été donnée à la fin du numéro précédent.

6 répaisseiu- réelle, ou la distance comprise entre le point [x\ y') de l'extrados et le point (X,Y) de Tintrados réel;

S la distance-x^omprise entre le milieu du joint réel et le milieu de l'épaisseur fictive, en sorte que a S désigne la distance des points (jc", y") de l'intrados fictif et (X, Y) de l'intrados réel;

[i la hauteur d'ime colonne prismatique dé la matière des voussoirs, dont le poids produirait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans le plan normal à l'extrados mené par le point

A la dimension de l'arche dans le sens perpendiculaire au plan des têtes ou parallèle aux génératrices;

tar le poids de l'unité de volume de la matière des voussoirs et du massif;

T et Ha pression totale et la pression par unité de surface qui ont lieu dans le plan normal à Textrados mené par le point [x\ y) ;

U la poussée horizontale qui résulte des actions exercées par le massif sur la face verticale de la culée qui passe par Tarète inférieure de l'extrados;

u l'ordoimée du point d'application de cette résultante;

V le volume des matériaux de la demi-arche et du massif limité dans le sens horizontal par des plans verticaux menés par le sommet et le point inférieiu* de l'extrados parallèlement aux génératrices ;

f la flèche de l'arche , ou la montée ;

g la demi-ouverture.

Les indices o et i serviront à désigiier les valeurs particulières que prennent les diverses variables au sommet de la voûte et aux naissances (à l'exception de l'indice i qui affecte les lettres yp et S dans les expressions des modules et amplitudes des fonctions elliptiques].

Voici maintenant les relations dont nous aurons à faire usage pour calculer l'abscisse d'un point de l'intrados fictif en fonction de l'ordonnée ) déterminer la situation de la normale et l'intensité des pressions :

h' — h-he,

V» — aef*,, (a)

K = g'-t-(h' — ey,

VB-»-Vc'

x'=Aiog cot^ $,-(v'B+v/C)cos£,+{v/B+V/B^)cos(26,-|)} (4)

(Pour plus de clarté, on a supprimé les doubles signes, ici et dans les expressions suivantes; on pourrait toujours les rétablir au besoin, en se rappelant que les courbes intrados et extrados sont symétriques par rapport à Taxe des y : tout se rapporte ainsi à la partie de Tarche située du côté des x positifs.)

sm a = — —

cosa = -

Ung.= Vi£^^iî^; (6)

on peut aussi calculer l'ange a au moyen des deux formules

i a' = y/^— ë — . s™{» ~ *') = J ^ 8™*'- (6 his)

pt = ^L.-+-/-A'-f-^^(/'A-), • (7)

(') Il arrive souvent que le deuxième et le troisième terme du second membre sont peu di£férentd : il faut alors calculer ces termes avec une figure de plus que le premier, à moins quon ne remplace ces deux termes par le suivant, que Ton obtient après quelques transformations ,

/.co.M.e.-i)( ^^^^^^/ v^BH^ygEF) »i..'(»g.-g) j

yfç,^\p^~p\ \ ay/c / cos (a |, — |) -♦- cos 6 )

Quant au dernier, il e^ presque insensible pratiquement ; malgré cela , nous en avons tenu compte dans le calcul des tables dont il sera question ci-après.

Y = / -h 2 5 cosa, y =y" — ^ cosa, 1

X = x" — 2 S sina, a;' = x" -+- e sina. j

Les ordonnées des points extrêmes de Fintrados fictif sont

y\ = h\ /,=/-+- A" H- 2^0 — 25, cosa.; (lo) celles des points extrêmes de l'intrados réel sont

Yo = A''-+-2<J., Y,=/^-r-+-25.; (il) et la valem* de la demi-ouverture est

g = Xi = x'i — 2 <î, sina,. (i 2)

Les relations entre les pressions qui ont lieu dans les plans de joint extrêmes données par les équations {(") et (a^) sont enfin

Nous n'avons point à dire ici comment on devra se servir de ces formules, et pratiquer, suivant le besoin, les éliminations. En traitant de la construction des tables destinées à éviter les calculs par tâtonnements, nous montrerons, dans les numéros suivants, comment nous avons fait usage de ces formules; mais nous devions les rassembler tout d'abord.

DB LA CONSTRUCTION DB TABLES APPROPRIBBS X LA DETERMINATION DBS INCONNUES , DANS LE CAS DBS ARCHES INCOMPLETES, DITES EN ARC DE CEHCLE.

37. De ce qui a été exposé au n^ 24, il résulte que si Ton se donne, dans le cas des arches incomplètes, les quantités /, g,

h, (Â^ on fil et z, et que Ton attribue à Tépaisseiu* e une valeur hypothétique, on pourra calculer la valeur de g en fonction des cinq autres quantités « à Taide des formules générales. Comme nous avons fait i = i, la valeiu* de g n'est plus fonction, au moyen des équations du numéro précédent, que de quatre variables indépendantes; mais Thomogénéité de nos formules permet de substituer aisément la recherche des rapports des variables à la recherche de leurs valeiurs absolues (*), ei^ sorte que le problème serait ramené à celui de la construction de tables à triple entrée , problème À peu près inabordable pratiquement. Or la dif* ficulté qui se présente ici peut être levée en substituant à la donnée h, l'ordonnée Y« du sommet de Tintrados. Les problèmes qui se présentent dans la construction des chemins de fer comportent plutôt, comme données relatives aux arches de pont, les différences de niveau de leiurs diverses parties, que l'épaisseur rigoureusement déterminée des couches de matériaux qui s'élèvent audessus du sommet de l'extrados.

Admettant donc la quantité Y^ connue l'une des données du problème, nous remarquerons que, si l'on fait abstraction des termes du deuxième ordre ou qui ont en facteur le carré de l'épaisseur e, et que, de plus, on prenne pour inconnue la quantité

Q*ou -C, l'épaisseur e disparaîtra complètement des équations; en sorte que g sera seulement fonction de/, Y^ et de l'inconnue Q*.

(*) Nou3 profiterons de la circonstance pour présenter une remarque qui eût peutêtre été mieux placée ailleurs, et que le lecteur aura sans doute faite. Les relations que nous avons établies, ayant lieu entre des rapports de grandeurs linéaires, restent les mêmes dans les arches de profils semUaUes, où les longueurs homologues sont entre elles dans un même rapport : il s*ensuit que, dans les arches semblables, la quantité |x, qui détermine les pressions par unité superficielle entre les voussoirs en des points semblablement placés, est proportionnelle aux dimensions linéaires homologues des arches que Ton compare. La pression totale par unité de longueur mesurée parallèlement aux génératrices de Tintrados , qui est représentée par fi 6, et détermine la poussée dans le joint inférieur quand pi prend la valeur particulière fit , se trouve , par suite , proportionnelle au carré des dimensions homologues.

En eflet, se donnant Q*, Y, et/, les équations (i i) et (lo) donnent Il = Yo et y"^, =/-+- A", aux termes près du deuxième ordre; les équations (3) donnent C = 4 Q*, B = C -h A"*; et, en faisant j" = y^i dans les équations (4) , celles-ci permettent d'obtenir la valeiu- de x"i qui, en vertu de (i 2), est égale à g, aux termes près du deuxième ordre. Introduisant les rapports de lignes au lieu de

leurs valeurs absolues, il arrive que ^, par exemple, n'est plus

fonction que de -^ et de ■-■, et que la solution approchée du

problème se trouve dépendre de la construction de tables à double entrée seulement.

En suivant la marche qui vient d'être indiquée, nous avons calculé effectivement des tables qui présentent la suite des valeurs

de ^ relatives à des valeurs fixes de -? et à des valeurs variables

du rapport --; dix tables de ce genre ont été calculées pour des va-

leurs de ~ égales à o,4; o,5; 0,6 ;* . . . ; 1 ,2 ; 1 ,3. Or, la recherche

de la valeur de •-; en fonction de -j et de ^ à l'aide de ces tables

eût été pénible; il eut fallu même en augmenter très-notablement l'étendue pour les adapter à cet usage. Pour obvier à ces inconvénients, nous avons pris le parti de retourner chacune des dix tables, c'est-à-dire de calculer par voie d'interpolation, à l'aide des tables primitives, de nouvelles tables qui donnent directement la

valeur de -- en fonction de -j et de ^. Nous avons formé de cette

manière la première des tables à double entrée que l'on trouvera à la fin de ce mémoire, sous le titre de Table I. L'étendue que nous lui avons donnée nous parait répondre aux exigences de l'art des constructions. Nous ne présenterons point ici les détails relatifs au calcid des tables; disons seulement que nous avons fait usage des formules d'intercalation mentionnées, à propos du calcul des éphémérides des planètes, dans un mémoire sur la détermination de leurs orbites, inséré dans la Connaissance des Temps pour ]852.

La Table I donne la valeur approchée de —, et, par suite, celle

de Q*, aux termes près du deuxième ordre. Cette première approximation permet de calculer la valeur des termes négligés , et d'en tenir compte ensuite. En elFet, ces termes étant du deuxième ordre ou dépendants du carré de e, il suffit d'obtenir la valeur approximative de e en fonction des données. A cet égard, se donnant |x, par exemple, la deuxième équation (i3) fait connaître fto, et, si Ton élimine q^ entre les équations (â) et (3), il vient

d'où

équation dans laquelle on pourrait négliger r 6 au dénominateur.

La valeur trouvée de e, pour être admissible, doit, en vertu de l'équation (i), donner une valeur h ^h" — e qui ne soit pas négative, et qui soit au moins égale à celle réclamée par l'expérience . Si, au lieu de se donner fi,, on se donnait h, il viendrait par l'équation (i),

la valeur de fi, s'en déduirait :

fi, = h"-i-^ — je, (i6)

et la première équation (i 3) donnerait celle de jx,; cette dernière devrait être compatible avec la résistance des matériaux employés, pour que la solution fût admissible.

Dans les deux cas, il est donc possible d'obtenir une valeur approchée de e; nous allons dire actuellement quel usage il convient d'en faire, pour corriger la valeur de Q* déduite des tables.

152 SUR LÉTABUSSEMENT

38 . Eniunérons les quantités négligées dans le calcul de la Table I.

1° Nous avons fait A* = ¥«; il résulte de la première équation (il) que h" doit recevoir la correction

2® Nous avons pris y'i =/ -+- A''; la deuxième équation (lo) montre que Ton doit appliquer à y'y^ la correction

S^y\ = S^h" -h 2^0 — ^S, cosa,.

ou simplement

J^y", = — 2 Si cosa, ,

en vertu de la relation précédente.

3° Le terme en e* de la valeiu- de A' ayant été négligé , il s^ensuit que x"^ doit subir la correction spéciale

log cot - {,

4** Nous avons fait simplement gzrzzx'^; il résulte de Téquation (i 2) que g doit recevoir la correction J^x"i — 28^ sinai : comme, d^autre part, la valeur de g ne doit pas changer, on a cette équation de condition,

J^oî', — 2 Si sina, = o,

dans laquelle nous devons regarder S^x"i comme étant la variation de w"i qui résulte des trois corrections que nous venons d'indiquer, et d'ime correction inconnue J^(Q*) ou J^C qu'il s'agit de déterminer : x^^ étant donc conâdéré comme fonction de h", j'y et G, nous aurons

( J^«'. ) -f- ( ^) i^ A' H- ~ V. ^- ^ J^ G — a ^. sin». = o :

dans cette équation, (^ j désigne la dérivée partielle de x\ par rapport à A", obtenue en faisant abstraction de la variation que x\ subit par suite de c^ que y\ varie avec }i\ le terme j4 ^y\ comprend cette variation.

Substituant les valeurs obtenues plus haut de ( J^x^) , J\ A* et S^y\,

et observant que Fon a -tv = -: — ^» J^C = 4 J^ (QM; il viendra

3 V/B-HV/C •Vdfc-y NDa. ^'* dC " ^^ '

Nous avons d'ailleurs, première écpiation (8),

ou, en négligeant les quantités du troisième ordre, équation (3],

En négligeant les quantités du deuxième ordre dans la première équation (5), ce qui ne donnera lieu qu'à des erreurs du quatrième dans le résultat, on aura encore

Substituant ces valeurs dans Téquation de condition, on en tirera

Ilog COt — Cl f

i^-^-0 (S) +n;:;7riwi^.h(. 7)

Pour faire usage de cette formule, il reste à déterminer les valeurs des deux dérivées "jp ®* ("jrr)- On peut les obtenir de deux manières différentes.

En premier lieu, si Ton effectue les diflFérentiations à Taide des expressions du n^ 36, et que Ton néglige la variation du dernier terme de x ^ on parvient, après des transformations que nous nous dispenserons de reproduire , aux deux valeurs suivantes :

(s^)='-jf^'»«-T«-[=^-(^s+^^"'"^']

fc" \

(V/B-HV/C)

VB=7;

ÏJ','\/BC0«(2«, — {)

En second lieu, -rr;^ désignant la dérivée partielle de x'^i par rapport à A", il vient, en vertu de ce qui a été dit plus haut,

dx\ ^/d^\ d^ 4y^

OU simplement,

dh" [dk")'^ df, dk" '

da;\ (dar,\ dx\

dk" [dk")

à cause de -^ = i, 2* équation (lo). Or, on a, équation (6),

dx\ A — ri"*

-— - == cota, = ,

valeur qui donne , en ayant égard aux relations établies au n^ 35 , et négligeant les termes du deuxième ordre,

ds\

Vb^=^

/.COS(2 6-e)

dy\ 2/. C08 (a e. — e) , VB— ^'«

Maintenant, C ou 4Q* étant, en vertu du retournement des tables, une fonction de g et Y^ ou de x', et h", il vient

dx"

pour obtenir la dérivée partielle -jj^y on doit supposer Q* ou C constant; alors cette équation, en y faisant dC = o^ donne

àC

dx\

dk'

La dérivée partielle -r^ s'obtiendra pareiUementen faisant dh" = o, et il viendra

ds\

A Taide de ces diverses valeurs, on tirera de Téquation (17),

log cot - {,

3l [ daT, 3C dk' ^^'y'

La quantité /étant une constante, les deux dérivées que renferme cette expression peuvent s'écrire

di d-

Or, les nouvelles dérivées partielles que nous venons d'écrire se

déduisent aisément des tables retournées, en prenant les difie*

rences de la fonction -— successivement dans le sens vertical et dans le sens horizontal, et faisant usage de la formule connue

? = ~ JAa — - A»aH-^ A» a — 7 A*«H-. . , j (ao)

dx àw { S 3 4

qui sert à obtenir la dérivée d'une fonction a réduite en table, au moyen de ses différences A a, A" a,... et de la diflPérence constante Au; de la variable.

Il suffit ici de faire Ao: = 0,1, ce qui conduit à prendre les différences de dix en dix termes dans le sens vertical, et de terme

en terme dans le sens horizontal, pour obtenir des valeurs de — 5-^

et, par suite de J^Q% qui corrigent assez exactement celles de

Q*. Les tables primitives ou des valeurs de ^ auraient bien pu

donner immédiatement les dérivées partielles —^; mais il n aurait pas été possible d'en déduire aisément les dérivées -rr^y tant à cause de la divergence de la série des différences Aa^ A' a,..., qu'à cause des limites relatives à -^ qu'il eût fallu reculer en augmentant démesurément l'étendue de ces tables.

Nous avons calculé les tables qui donnent les valeurs de la

fonction — ^-î; on les trouvera à la suite des tables de la valeur

de —, sous le titre de Table IL Ayant obtenu une valeur approchée

dee, comme il a été dit au v? 37, on en déduira aisément, à l'aide de la Table II, la correction <A(Q*} à appliquer à la valeur de Q* fournie par la Table I; et l'on aura, par les équations (i i), (8) et (3),

Les valeurs corrigées de Q* et h" pourront être appliquées au

calcul d'une valeur plus exacte de e au moyen de f une ou de Tautre des formules (lA) et (i5), suivant les cas (*). Connaissant actuellement Q*, A', e et ft,^ Temploi d'un petit nombre des formules du n^ 36 fournira tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour procéder au calcul des coordonnées, rayons de courbure', poussées, etc.

CONSTRUCTION DES TABLES POUR LE CAS DES ARCHES COUPLÂTES, OU EN ANSK DE PANIER.

39. Nous avons vu, n^ 26, comment la condition de la verticalité des tangentes extrêmes introduit une équation de condition entre les constantes, et réduit d'une unité les arbitraires du problème relatif aux arches complètes. U est clair, si l'on se reporte aux considérations présentées n^ 37, que la substitution de la constante h" à la constante h permettra de ramener la solution du problème à la construction d'une table à simple entrée. C'est ce qui se vérifiera du reste aisément par le fait même.

L équation de condition que nous venons de rapfteler est ((T)

,.=/(/+, »-) + .A'.-i(,£Miïl).-=

en éliminant q* entre celle-^ci et la 2^ équation (3), il vient immé* diatement

(*) Nous indiquerons un moyen d'éviter le calcul de J^ (Q*) , et d'obtenir néanmoins une solution exacte jusque dans les termes du deuxième ordre. Ce moyen consisterait à accepter la valeur approchée de Q* comme exacte, et à en déduire les valeurs de et f* : procédant ensuite au calcul des boordonnées ou au tracé de Tihtrados, on s*arrêterait k lordonnée de Tintrados réel, qui répcmd, soit à k flèche, soit à la demi-ouverture données, et Ton prendrait à la place de Tune d'entre elles, celle fournie par le calcul ou le tracé. A la vérité , ce ne serait pas la solution du problème proposé, mais bien celle d*un problème du même genre, dans lequel les données différeraient très-peu des données du problème primitif. Or il est très-rare que les données soient tellement bien fixées, qu on ne puisse leur faire subir, en pratique, la très-petite variation qu'entraînerait le mode de solution qui vient d'être indiqué.