SI

équation à laquelle il faut joindre la valeur de /, obtenue n° 26,

On tire de celle-ci,

cette valeur permet d'écrire C sous la forme

C = a/(t.y.'-/)-4-^(i-hÇ)e», (aa6t,) OU bien

D'un autre côté, les équations (lo) et (i i) donnent

Yi — y^ =2^, cosa^:

or observons que 2^, et costti sont des quantités du deuxième ordre; leur produit étant du quatrième, on aura donc, à des quantités près de cet ordre,

Maintenant, il est évident que, si Ton se donne l'ordonnée Yi des naissances, et l'une des quantités/ et V^ on poiu'ra, en négligeant les termes du deuxième ordre, obtenir la valeur de x"^ à l'aide des équations (ail)» (22) et (28), jointes à la relation B = C H- A''* et aux équations (4). La demi-ouverture g tirée de l'équation [e") peut d'ailleurs décrire

9 = x:-\ùe^, (a5)

elle se réduit à ^ = a?',, lorsqu^on néglige les termes du second ordre. Ainsi la quantité g est fonction des deux variables Y| et J

ou h"; et le rapport ~ se trouve, par suite, être fonction d'une

seule variable qui est 4- ou --, suivant que Ion se donne Tune

OU Tatutre des deux variables /et h".

La Table III insérée à la fin de ce mémoire contient, dans une

f première colonne, la suite des valeurs de -^9 et, dansime seconde,

les valeurs correspondantes de y* ^ rapport ^ des nombres de

la deuxième et de la première colonne est donné dans une troisième colonne. De cette manière notre table permet de trouver Tune des trois quantités /, g et Y» au moyen des deux autres. Il est vrai que, théoriquement, les valeurs tirées de la Table III sont seulement approximatives , mais nous verrons bientôt qu^en pratique, on peut les considérer comme exactes.

Les valeurs de / et h" étant connues, du moins approximativement, il devient possible de calculer Fépaisseur 6, en se donnant Tune ou l'autre des quantités fi^ eih.

En premier lieu, soit donné |Xi : la deuxième équation (i3) fait connaître fx, à Taide de jXi. L'équation (c"') jointe à la relation h =z h" — e donne

et, à cause de f'rz=:ae|Xo, on obtient immédiatement

1 yr-h''

' ^^h'^le

La valeur de e s'en déduira en négligeant d'abord le terme r ^ au dénominateur, et y substituant ensuite sa valeur obtenue par une première approximation.

On obtiendrait aussi la valeur de e sans passer par |v«, au moyen

de la formule

mais, comme la valem* de |Xo sert au calcul de 7% il sera préFérable d'employer Téquatien (26).

Quelle que soit, au surplus, celle des deux expressions (a 6) et (37) dont on ait fait usage, la solution trouvée devra^ pour être admissible, satisfaire à de certaines conditions. Nous ne mentionnerons pas ia condition e ;>> o, attendu que les valeurs de fx^ et ft, seront toujours prises beaucoup plus grandes que y", et K \ cette condition sera donc toujours remplie. Mais il faudra que Ton ait toujours e <:; A", et, en outre, que la quantité A = A" — e qui en résultera, ne soit point inférieure à une limite fixée par les conditions particulières à rétablissement de la chaussé^. Si ces conditions ne sont pas remplies, il faudra modifier les données. On diminuera l'épaisseur e en choisissant des matériaux plus résistants.*

En second lieu, si fon se donne la hauteur A de la surcharge, on aura immédiatement

et il faudra s'assurer si la plus grande valeur de ft est compatible avec la nature des matériaux employés. A cet égard, on aura par l'équation (a 6),

et la première équation (1 3) fera connaître ensuite fti. Dans le cas où la valeur de ft, se trouverait être trop forte, il faudrait augmenter e et par suite V.

La valeur de e étant supposée connue au moins upprodœati-

vement^ nous avons à rechercher quelles cerrections doiv^fit subir les inconnues du problème déduites de la Table III.

40. Les variables/, J, Yi, entre lesquelles la Table III établit une dépendance mutuelle^ sont au nombre de trois; et Ton peut se donner deux de ces variables arbitrairement, ce qui fournit trois combinaisons distinctes : mais, la demi-ouvertmre g étant toujours au nombre des données, nous n aurons à examiner que les deux combinaisons qui comprennent les deux systèmes de données j. Y, et 5,/.

Première combinaison. — Etant donnés g et Y, , trouver la correction de la valeur de / tirée de la Table III.

Les quantités négligées dans la construction de cette table sont faciles à rétablir, maintenant que la valeur de e est connue approximativement. Soit, en effet, J^/la correction inconnue de/.

1® L'équation (22) a été appliquée en négligeant le terme du deuxième ordre et en faisant usage d'une valeur seulement approchée de/; on aura donc

2® L'équation (2 2 615) donne Ueu à des corrections du même genre; leur son^me est

J\C = 4(/.-/)J^/+^{iH-4).'.

3^ La valeur de x^i a été calculée en négligeant le terme du deuxième ordre contenu dans A'; nous devons donc ^ en vevtu de l'équation (4) et de la valeur de A', appliquer à j:"!, la correction spéciale

logcot -ft

(J\a^,) = — I ' eK

^ " 3 v/Bh-V/C

4* Le terme du deuxième ordre ayant été mégiî^é dans l'équa-

tion (a 5), si nous désignons par J^x"i la correction de x'^ qui résulte de celles que nous venons d'indiquer, et que nous obser* vions que g doit conserver une valeiu* constante et donnée , nous aurons

Or, x\ peut être considéré comme ime fonction des deux variables A" et C, doûAées par les équations (a 2) et (2 3), puisque /n'entre dans x''i que par ces variables; et Téquation précédente devient

OU, en mettant pour {^x'^), J^h' et J^C leurs valeurs,

~» VviTv^ "*■ c "SF ~ ^ ["•- ^ "c Jic "*" c y *

on en tire

log cot « (1

On peut encore utiliser ici les di£Férences obtenues en calculant la Table ni, pour éviter le calcul direct de la dérivée -j^. En effet, puisque x'^ est fonction de A' et C, on a

et, comme h' et C sont d^ailleurs fonctions de la seule variable /,

en vertu des équations (22) et (23) privées de leurs termes du deuxième ordre, on a, pour expression de la dérivée totale,

dx\ dx\ dh" dx\ de

'df IPlf '^ le Jf'

OU, en vertu des mêmes équations,

La valeur de la dérivée partielle -^ c[u*on en tire étant portée dans celle de -7, il vient, à cause de h" = y't — /,

S'f » y/B-t-y/c "^ c c ij 'de

Il est clair que, j^, étant constant, on peut substituer à la dérivée -TT, la dérivée — y qui se déduit inunédiatement des diffé-

^•^ dL

rences fournies par la Table III. Quant à la dérivée -^, nous en

avons donné l'expression , (18). Cette expression et quelques-imes de celles qui servent à calculer x\ ou g reçoivent des simplifications provenant de la condition particulière aux arches complètes (*); nous nous dispenserons de les présenter ici, attendu que

(*) Les quantités h" et C (aa) et (a3), étant privées de leurs termes du deunème ordre, fournissent aisément la relation

qui permet de simplifier le calcul de x'i et de ses dérivées partielles , dans le cas des arches complètes.

nos tables n'ont pas besoin d'être étendues au delà des limites que nous leur avons données, et que, sauf cette application, Texposé des formules serait sans objet.

Deuxième combinaison. — Etant donnés / et j, trouver la correction de la valeur de Yi tirée de la Table III. Soit J\ Yj la correction cherchée.

1^ A cause de y'j = Yi, on tire de Téquation (a a)

a® L'équation (22 bis) donne

3® La valem* de x*\ doit, comme plus haut, recevoir la correction spéciale

log cot - Ç,

à cause du terme du deuxième ordre négligé dans A'.

4** g étant donné, et S^x\ désignant l'ensemble des corrections que doit subir x\^ l'équation (3 5) donne encore

Or, x\ se trotive être ici fonction des deux variables. A" et G, si Ton conçoit y'\ remplacé par sa valeur h" -h/» équation (22); il s'ensuit que l'équation précédente peut s'écrire

\lé] ^^s^g*^^^* 1^ dérivée partielle de' x*» relative à h\ et prise

en faisant abstraction de ce que C dépend implicitement de h'. Substituons les valeurs précédentes, il viendra

/logcotif. ^ ^. \

d'où /

fê)-'/S

Voici maintenant comment on utilisera les différences obtenues dans la construction de la Table III , pour éviter le calcul de la dérivée (■^). D'après ce qui a été dit il y a un instant, on a

<i.-,=(^)a-H-^rfC:

on en tire, pour la valeur de la dérivée totale de x^i par rapport à A'', puisque cette quantité reste seule variable indépendante ,

lir [ihrj ^ dFdir''

or, on a

dhr d/, dh" ^J'

en vertu des équations (22 615) et (22) : il vient dope

dh" U^"/ ^ dG '

et, par suite,

logcot - ^1

C "*" C dW *\'"*"* C 1 dC

3 ciar",

en mettant y\ à la place de / -4- h'.

Maintenant, soient

valeurs auxquelles on peut substituer les rapports ~ et •^. Le

premier de ces rapports étant une fonction du second considéré comme variable indépendante, qui est donnée par la Table III, on aiu-a

dç ^'

dz et la valeur du coefficient différentiel r- se déduira des différences

successives de la quantité -^ et de la différence constante des va*

leurs de y. Mais, /étant une constante donnée, on a

«^ = r^ • «^ = — 7^ «J^ iî

substituant ces valeurs dans la précédente équation, on en tire

d'où , à cause de ^ = i ,

dh' — y, — Y. Y, ^2* ^ '

On obtiendrait une expression encore plus simple de la valeur de — /, en posant

(Les quantités z! et K désignent ici les nombres contenus dans la troisième et la première colonne de la Table UI.) Ces relations donnent

et Ton a, à cause de dz' = -rr dKr

lix\=z — ^-d'y\.

d'où, en vertu de -^ = \^

dk- 7,-«"~ Y.'^/'

Nous n avons pas fait usage de cette formule, parce que la fonction ^ n'était pas encore calculée, quiand'nous avons entrepris le calcul de la Table V, qui donne la valeur de Y, —f.

Les expressions (82) et (33) sont, comme on le voit, entièrement formées de quantités que Ton peut déduire aisément de la Table III. En joignant Tune ou l'autre à la deuxième équation (18),

on a tous les éléments nécessaires pour calculer — ^ à l'aide de la

formtde (3i).

Les deux formules (3o) et (3 1) ont été appliquées au calcul des

deux Tables IV et V, qui donnent, l'une les valeurs de -7 J^/ et

l'autre celles de -^ J^ Y|. Ces deux tables ont été placées à la suite de

la Table III. Nous les avons insérées dans ce mémoire, non pour en recommander Fusage , mais pour montrer, au contraire , que Ton peut se dispenser d'y recourir, attendu que les corrections que Ton en tire sont tout à fait nég^geables dans la pratique. En effet,

la plus grande valeur de -^ J\/ donnée par la Table IV, est-h o,ooo5 ; elle se rapporte à-^= 0,67 : on en déduit S^f= o,ooo5 --; Y,; à cause àee<Z h\ il vient S^f <C o,ooo5 — Yj : or, -— = 1 — ^

est ici égal à o,33, on a donc J^/ < o,ooo5 (d,33)* Yj, ou J\/< o,oooo54 Yi. Si Ton suppose, par exemple, Yi = i8"',5, quantité qui n'est pas atteinte dans les constructions modernes, on aura J\/<C o"*,oo 1 . On aurait de même, par la Table V, avec ces données, — J\ Y, < o"*,oo48. Nous ferons observer que ces nombres se rapportent à des surbaissements inusités : la limite de

sùrbaissement admise dans la pratique est - ; encore convient-il

mieux de prendre le sùrbaissement entre - et -. Or le surbaissèment - répond à une valeur de y égale à 0,733 environ, d'après

la Table III; en partant de ce nombre, et supposant Yi = i8™,5 , on trouverait J^/< o™,oooa6; — J^Yi <; o"*,ooi2. Les surbaissements plus voisins de - donneraient des corrections encore

plus faibles. On voit donc que, dans les limites de la pratique, on n'aura pas à craindre de faire une erreur de plus de 1 miUimètre, ou à peu près, sur des différences de niveau qui seront à peine déterminées d'ailleurs à ce degré d'approximation, lorsqu^on se dispensera de corriger les valeurs tirées de la Table III (*).

(*) Si l'on tenait à appliquer les corrections de /ou Yj, on se servirait, pour les calculer, de nombres fournis par les Tables IV et V, et de la valeur approchée de « obtenue au n* 39. A Taide de la valeur corrigée de/ou de Yi =^1, on calculerait au besoin la valeur corrigée de V , par la formule (a a) mise sous la forme

on aurait ensuite ê par Téquadon (26) ou par Téquation (27) jointe k la deuxième

POUSSBB DE LA VOCtB ET DU MASSIF GONTBB LBS CULEES, INCLINAISON DU DERNIER JOINT SUR LA VERTICALE , VOLUME D'UNE DEMI-ARCHE ET DE LA PARTIE CORRES- PONDANTE DU MASSIF.

41. La réduction des formules du a** 28 est très-simple; nous nous contenterons d'en présenter les résultats, renvoyant à ce numéro pour tout ce qui est relatif à Texposé et à la discussion.

Les équations réduites qui donnent la valeur générale de Tangle a ont déjà été présentées n^ 36; nous reproduirons l'expression de la tangente, en y mettant à la place de y Tordonnée y y du point inférieur de Tintrados fictif, et pour A sa valeur (3) : on atura ainsi, pour déterminer Tangue fXx du dernier joint avec la verticale, la formule

à laquelle on pourra trouver plus commode de substituer les deux suivantes :

70^'»= V 1 1 «»(«! — a'i) = ~sina'j. (34 his)

Ces formides serviront particulièrement dans le cas des arches incomplètes, dites en arc de cercle, et la valeur de y^^ qu'il conviendra d'employer est celle donnée sous la marque [w"),

{On évitera l'emploi de ces formules en déduisant l'angle a» par voie d'interpolation, lorsque les calculs ou tracés qui vont être indiqués dans les numéros suivants auront été effectués.)

équation (i3); et dans le cas de h donné, par la relation ezzzK" — h. Disons enAn

que les quantités Q'=->G et^'irraefi», néoessaires pour ie calcul des coordon-

h nées et le tracé, s'obtiendraient à Taide des .formules (a3) et (1 3], si la valeur de y^^

ne.ae tcoavûl; pM déjà déteraûoé«.

Dans le cas des arches complètes ou en anse de panier, on aura simplement

Pour obtenir les diverses coordonnées qui se rapportent au plan de joint extrême , on aura d'abord

puis ensuite

x\ = j -f- 2(î, sintti, (38)

équation à laquelle on joindra la valeur précédente de y^ dans le ca^ des arches incomplètes; mais, dans le cas des arches complètes, il sera plus court d'employer les valeurs suivantes, tirées des relations obtenues n® 26 :

Les piles ou culées sont soumises à Faction des pressions qui ont lieu dans le joint inférieur; la résidtante de ces pressions, perpendiculaire au plan de ce joint, est

T, = «XcjXi, (4o)

et passe par le point dont les coordonnées sont

a?, = aîï, H — e sinai.

(Ai)

y, = y i e cosa,.

Les composantes horizontale et verticale de T| sont d'ailleurs î', cosa, et Ti sinaj. *

Les culées reçoivent en outre les actions horizontales exercées

par le massif qu'elles encaisseot. La résultante de ces actions dépend des ordonnées des points supérieur et inférieur de Textrados, qui sont

y\ = /, —, c cosa,. )

La valeur de cette résultante est

elle agit horizontalement dans le plan qui a pour ordonnée

Enfin, lé volume V des matériaux de la demi-arche et de la partie du massif limitée horizontalement par des plans verticaux menés par les génératrices du sommet et du point inférieur de Textrados, s'obtiendra en observant que le poids tarV de ce volume est égal à la composante verticale T, sinai; on aura donc

V= X«|x, sina,, (45)

expression dans laquelle sinai pourra être pris égal à i, lorsqu'il s'agira d'arches complètes.

A l'égard des piles, nous rappellerons que, si les extrados des deux arches voisines ne se coupent pas au-dessus des derniers plans de joint, ou si, en d'autres termes, ceux-ci conservent leur largeur, les assises horizontales des piles, à leur partie supérieure, seront soiunises à des pressions verticales représentées par des hauteiu's qui n'excéderont pas |Xi; en sorte que, les piles étant supposées construites de matériaux aussi résistants que ceux de la voûte, il suffira, pour qu'elles résistent au poids des voûtes et du massif, que leur largeiu* ne soit pas inférieure à la somme

des pijojections horizontales des joints des naissances. L'excès de largeur à leur donner dépendra de Taction de causes étrangères « telles que celle de Teau dans les grandes crues , etc.