CM
£ {C„, <Pn) = COS^n,
£ (c, , <p,) = 2 cos* ^ 1^, F (c„ (p.) -H 2 sin* ; t//, F (c. , (p.) — C08 (a Ç, — Ç.) , jF(c , (p ) = 2cos'^if' jE(c„ 9,)-H2sm'^^ F(c„ (p.) — co8(a|, — |).
35. Nous limiterons d^abord Temploi des formules précédentes en faisant ii c=: i . De cette manière, il sera inutile de calculer )^i, et il suffira d^appliquer la première des formules qui donnent la série des ^. Le calcul des fonctions F et jE^ se réduira ainsi à celui des formules extrêmes de chacune des deux séries.
Ceci posé, les premières équations (/) donnent, en vertu de
De cette dernière équation on tire les trois relations suivantes :
dont la première sera particulièrement utile.
Nous avons posé plus haut : sin^^ = b, et 6' =: i — c* ; il s'ensuit
sin>^ = V/i — c*; B — C
or, 1 — c* = — ^ en vertu des équations (/), il vient donc
sm>// = ^,
La valeur de A* est
A* = 1 — c* sin*^ z=^ cos*p -h b* sin*^,
ou
A* = sitfê H- cos"| sin*^;
de cette expression comparée avec la première des relations non logarithmiques entre les amplitudes, rapportées plus haut, on tire
A* = sin*(2|» — ê):
mettant dans la valeur précédente de A*, pour sin^f , cos*^ et sint^, leurs valeurs données ci-dessus, il vient
/«(B-fc'«) /•'
et Ton a simplement
A = sin (2 $j — 5) = ~.
Le troisième terme de la valeur de js' devient de même
(en supposant les angles ^ et ^ compris entre o® et 90®), ou, en vertu de la relation précédente,
c ftin^ coa^
^3 A =VB::^cos(a§.-$).
Les fonctions elliptiques limitées dans leur développement, comme il a été convenu, se réduisent à
F[c, (p) = — ^ logcot ^ I»,
£^{c,ip)=2cos*->//cos|i-h2 sin*- ^logcot-|, — cos(2^t — |)
 Taide des valeurs que nous venons d'obtenir, et à cause de D = G, G = o, régression de d= rç" se réduit d'abord à
yB
(on écrit ici ie double signe devant x", parce que Ton suppose les angles ^ et ^ compris entre o® et 90^, ce qui suffit dans le problème des arches de pont) : ep substituant dans cette dernière équation les valeurs des fonctions F et E^ il vient
A — a B sin» - + cos" - ^ ^
± x'' = ^ — log cot -Il — 2 y/B cos* - ^ cosS,
\/Bco§«i +
H- (V/B H- V/B— /•) <^os (2 S. — ê).
On peut encore chasser Tangle '^ : en effet, Ton a
ce qui donne
2C0S'-tf/ = 1 -h COSî^ = 1 -f- 4/ 1 -. =r 1 -f- ^,
a V/B cos*^ij!/ = VB H- V^.
D'un autre côté, le numérateur de la fraction qui multiplie log cot -ê, peut s'écrire
A^-3sin*>// = A— -A'*; or, on a^ par les équations (3),
et, par smte,
d'où
soit,
pour
abréger,
il viendra fitiaiement
x' — A' log cot ^ S, — (y/B -f-y/C) cosê, -^ ( V/B-f- V^B— /•) cos (2 Ç» — ê) .
35 615. Sans entrer dans tous les développements qui seraient nécessaires pour effectuer les calculs, nous allons dire brièvement comment nous avons obtenu la correction qu'il faut apporter à la valeur de x" pour parvenir au même degré d'exactitude que si nous avions poussé le calcul des fonctions eUiptiqties jusqu'à remploi de l'amplitude ^t*
Nous avons posé d'abord
(T désignant une quantité très-petite que nous avons obtenue en appliquant le théorème de Taylor à la relation
sin* (2 ^ — I,) = sin*$i -+- cos*ê, sin*^i:
la valeur de tr est, aux termes près des ordres supérieurs,
<* = - cotSitang*-^.
Quant à la valeur de tang -yp : de la relation
2 V^cos* i^ = y/B -h VC,
on tire
a V/B sin» ^t^ = \/B — VC,
d'où
quantité dont la quatrième puissance est très-petite.
En faisant toujours usage du théorème de Taylor, on trouve aisément
log cot^ê. = log cot-l, — - — tang*-)//,
cosê, = cosêi — - cosêi tang*-)//.
A l'aide de ces valeurs, on obtient pour expressions approchées des corrections à appliquer aux fonctions F et Ey
;.F = iu..g.l+(logco.lf,-^),
S^E = tang* - yp (log cot - Ç» — cosê» J ;
et Ton en déduit, poiur la correction de la valeur absolue de x',
JVx' = — S/Btang'i,^ jZlogcoti|.-f-(j^ — i)cos|.j,
en négligeant les quantités de Tordre de tang *->//. Dans cette
expression, la parenthèse croît à mesure que 6i diminue ou que h"
tend vers zéro; mais le facteur tang* - >^ décroit plus rapidement
que la valeur de la parenthèse n'augmente, et J^x'^ s'annule avec h\
Une expression encore susceptible de simplification est celle de
la tangente de l'angle a que fait la normale à l'extrados avec la
verticale : l'équation {mT) dans laquelle les quantités ce et y" ont été
notées de Tindice i , devient, en rétablissant la généralité de cette formule, «
tanga
on en tire aisément, au moyen des relations précédemment établies entre les quantités A, B et C, et négligeant les termes en e\
sma =: —
cosa • —
V/-5[-J""-'iï
La dernière de ces équations va nous fournir un moyen plus rapide de calcider Tangle a. En y substituant la valeur de A en fonction de C obtenue précédemment, puis multipliant haut et
bas par ~, on a
cosa
soit
d'où
cosa
sm-a
équation qui sera très-propre à déterminer l'auxiliaire a'; la valeur de cosa deviendra
cosa
cosa
14ft SUR LÉTABLISSEMENT
or, si Ton néglige les termes du quatrième ordre, eile se réduira à
côsâ = cosft' — - - sin'a':
on en déduit aisément
sin(a — a') = - -- sina'.
Cette équation, jointe à celle qui donne Tangle a' par le sinus de sa moitié, sera d'im emploi plus commode que les formules précédentes, pour calculer Tangle a.
L'interprétation géométrique de cette relation entre les angles a et a' est facile. Déterminons, en effet, Tangle des intrados réel et
fictif; son expression est -^=~ j^, en vertu de Téquation (x):
or, en négligeant les termes du troisième ordre, cette expression coïncide avec la valeur de a — a' donnée par Téquation précédente. Il en résulte que Fangle a' est Tangue que ferait avec Taxe des X la tangente à une courbe dont les éléments seraient symétriques avec ceux de Tintrados réel par rapport à la tangente à Tintrados fictif.
Avant d'aller plus loin,' il est indispensable de résimier les relations que nous venons d'obtenir; nous y joindrons une relation nouvelle en posant C =: 4QS Q* étant une quantité qui nous servira dans le calcul des coordonnées par voie de différence. Pour éviter le recours à la première partie du mémoire , nous reproduirons les notations.
RÉSUMÉ DES FORMULES SIMPLIFIEES POUR LE CAS oil LE MASSIF ET LA YOAtB
