ÉPAISSEURS, ETC

42. Nous renverrons au n** 29 pour ce qui est relatif à l'objet même des calculs; nous présenterons immédiatement l'expression du rayon de courbure de Tintrados fictif réduite en vertu de l'hypothèse i z= i. La formule (/), en ayant égard à la valeur de Q* tirée de la deuxième équation (3) , se réduit à

Q' e' cosa

Nous profiterons de la forme simple de cette expression, pour

obtenir une valeur de p"'H — Ap" beaucoup plus approchée que

celle à laquelle se réduirait notre fommle (T) en y faisant i =:•- i . L'expression de p" donne

p\y" = Q* — -r e* cosa.

On aura également en un autre point où la normale fait l'ange a -h A a avec la verticale,

(p" H- Ap") (/ -4- A/) — Q» — ^ e« cos(a ^ A a).

Cette équation et la précédente donnent par soustraction

(/ -+- A/) Ap' -f- p"A/ = —'-e* [cos (a -}- Aa) — cosa]

= -)- %*sin (a -f- - Aa) sin-Aa:

de celle-ci , on tire exactement

p àjr e' sin ( a H A a ) sin - A a

Si, maintenant, on substitue à Aj'^ sa valeur approchée A/ = (p" -H i Ap") sin(a -H ^ Aa) Aa, .

et que Ton remplace au numérateur 2 sin- Aa par A a, il viendra

A rr \2/3 ./ »a\a

Ap = — sm aH — Aa Aa.

J^-f-(pH — Apj»in|a-H-AalAa

Faisant disparaître le dénominateur, et rangeant Ap"' avec les quantités connues, on en déduit

Ap" = — — sinfa-h - Aa ) Aa.

y -\ psinlaH — AajAa

On voit qu'en négligeant c* et Ap"*, on ne négligera dans Ap" que des termes du troisième ordre ; les erreurs qui en résulteront se compenseront en partie, puisque les termes négligés sont de signes contraires (*). De cette manière il vient simplement

-p'^sin («-H-- Aa ) Aa

y" -k- - p" ain [ a -l — Aa j Aa

(*) On éviterait Terreur que nous négligeons, en prenant p" pour variable indépendante au Ueu de a, et faisant Ap' = — ^y-^ dans ce cas, à causé de

17A SUR LÉTABLISSEMENT

d*où, en ajoutant p^ aux deux membres et réduisant,

y -^ — p sinlaH — ÀajÀa

Cette valeur est très-approchée; elle ne donne que 7 i 8 millimètres d'erreur sur des rayons de courbm^e de 60 mètres environ, et dans Thypothèse de Aa = 2**.

On peut obtenir d'autres expressions de même forme, et qui

diffèrent de la précédente en ce que les deux facteurs 1 et - de p" au numérateur et au dénominateur, sont remplacés respectivement par - et 1 , ou même par o et -.

Voici Tusage de cette formule : en partant des valeurs initiales de a, ^' et x'^ qui sont respectivement zéro, V et zéro, et faisant varier Tangue a d'une quantité A a égale à 2® ou 3^ les accroissements correspondants de y" et £ se déduiront de la valeur de p"

et de celle de p" H — Ap", jointes aux deux suivantes:

A/ = (p"' H- i Ap") sin (a -+- ; Aa) Aa,

^x" = (p" H- A Ap^Ycos^a -f- - Aa) Aa.

Aco8a= — asinfaH — Aajsin-Aa, Féquation précédente donnerait trèsapproximativement

Acofta=s'

^p'-h-Ap-

L*emploi de cette formule exigerait le recours aux Tables de sinus natureb; eUe

serait iacile à appliquer de a = o* à a = 90*; mais, entre 90* et 180*, on ne pour-

rait s*en servir qu*autant que la constante - Ap' aurait une valeur absolue inférieure

au minimum de p'. Entre rSo*" et 36o**, il faudrait fiôre Ap' = -^ e\ -r.

Non-seulement la valeur de p'^ -+- - ùkp" sert à obtenir A/ et Ax'^ m^is elle offire en même temps un ^précieux moyen de vérifier les calculs successifs de p' et j\ En effet, ayant obtenu, au

moyen de p' H- - Ap'', la différence Aj^'; celle-ci ajoutée ky" fera

connaître la nouvelle ordonnée j + Aj' du point où la normale £ût avec la verticale Tangle a -4- Aa : et, si Ton calcule i Taide de cette ordonnée la nouvelle valeur du rayon de courbure, et que Ton fasse la demi-somme de cette valeur et de celle de p d'où Ton est parti, on obtiendra un résultat qui coïnciderait avec

p'' -\ — Ap' si nos formules étaieut rigoureuseinent exactes. Dans

tous les cas, on prendra la différence entre p' -^ — Ap" et la

moyenne dont nous venons de parler. Cette différence ou erreur, qui prendra im signe déterminé suivant le sens de la soustraction , devra être très-faible, et sensiblement nulle au sommet de Tintrados; mais, si Ton détermine de la sorte plusieurs erreurs consécutives, en faisant varier chaque fois Tangle a de la quantité constante A a, il faudra que la marche de ces erreurs présente une régularité facile à reconnaître; autrement on serait averti de Texistence de fautes matérielles dans le calcul.

A Taide des valeurs obtenues de a, j' et a?', les équations (8) et (9) permettront de calculer l'épaisseur variable t et les coordonnées de rintrados réel et de l'extrados. On pourra vérifier ces dernières quantités et l'abscisse x^^ en prenant leurs différences successives.

Nous observerons qu'il n'est pas nécessaire de conserver ia même valeur de A a dans toute la suite ides calculs. S'il s'agit, par exemple, d'une arche complète, où l'angle a atteiiit sensiblement 90*, on pourra, i partir de 3o® ou environ, augmenter l'intervalle A a de moitié, sans inconvénient, si l'intervalle primitif s'est trouvé être assez petit de o^ i 3o®; on pourrait même, à partir de 6o^ doubler la valeur primitive de A a. Les trois séries de calcub devraient alors être vérifiées séparément.