GOS
•«• 1 — (c'h-C|*) sio'^
Nous allons faire voir que c^* est une quantité du deuxième ordre de petitesse. En effet, la relation précédente donne, en mettant pour c* sa valeur {q')y
et il en résidte
les valeurs (i') de ô*, et (/') de M% ne diffèrent que dans les termes du deuxième ordre, et la différence de ces termes se réduit à
si Ton a égard à la relation [b') , on en déduit
Or pour former la valeur de e^*, en négligeant les termes du troisième ordre, on doit négliger, dans les facteurs M^ N* et O*, les termes du premier et du deuxième ordre, puisque le facteur que nous venons de calculer est du second; ces facteurs se réduisent dès lors à H', A*'* et H*, et il vient simplement
La valeur de C|* est donc effectivement du deuxième ordre, ainsi que nous venons de Tannoncer. Nous profiterons de cette circonstance pour éviter les fonctions elliptiques de troisième "espèce. Considérons, en effet, la fonction
I— (c'-Hc,")8inV'
noua aurona, en développant cette fonction suivant les puissances de CiS au moyen du théorème de Taylor, et nous bornant au terme en c,\
1 1 lin*
et la valeur ci-dessus de ;, en faisant usage de la formule (/),
pourra s^écrire
oa tire de là
puis, au moyen de Téquation (/)'),
(on remplace ici, dans le terme du deuxième ordre, le rapport -
par ~ qui n'en diffère que de quantités du premier ordre , et ne
donne lieu, par suite, qu'à des erreurs du troisième).
En élevant au carré les deux membres de cette équation, il vient
équation dans laquefle - tient la place de - au dernier terme, par
les mêmes raisons que tout à Theure.
Substituons maintenant les diverses valeurs que nous venons d'exprimer en fonctions de (p, dans Téquation (n') dont nous mul- . tiplierons préalablement tous les termes par M, puis à la place de
M ^, sa valeur — tirée de Is'), et enfin à la place de Ci% sa va-
leur (u;'); il viendra , en négligeant des termes d'ordres supérieurs au second,
M (ix''====— [e«— v«— (A''— e)«-4- (i:=:i)%«] Ç
Il devient indispensable de présenter ici le développement de chacun des coefficients, que Ton e£Pectuera sans peine au moyen des valeurs de 0% m* et n*:
i*T coefficient = — U» — ^}ie-\-^ii — 3 * "•" ^ y ^'1'
2* coefficient = -h 2 U* — ^ h"e-v-^i\ — î ' "*" ^ y ^ p
y coeffîcient= -+-a|9* — ^ *^^"*" "^(s ' — '* — ^ r
Le quatrième coefficient n'a point de changement à subir. Quant au dernier, observons qu'il suffit d'avoir égard au terme du pre-
MN
mier ordre, dans la valeur du produit —, puisque ce dernier coefficient est lui-même du premier ordre. Or nous pouvons tirer
la valeur du rapport -, de rexpréssion obtenue ci-dessuB de la différence 0* — M*; elle donne, en effet,
en substituant Tiuiité au rapport ^ dans le terme du deuxième ordre; on en déduit
Cette quantité ne différant de Timité que par un terme du deuxième ordre doit être réduite à Uunité dans Texpression du produit
— , ce qui réduit ce produit à la valeur de N développée jusqu'aux
termes du premier ordre indi^sivement; or, la valeur [t) de N* peut s'écrire
et lors même que A^ qui est toujours > e, serait très-petit, on aurait encore, aux termes près du deuxième ordre.
Le dernier coefficient a donc pour expression
2—7- A eH-2
Au moyen de ces valeurs des divers coefficients , l'équation différentielle ci-dessus devient
M ix- = - [,. a îjî+i (. -^.■+.-.) ..]?
76 SUB L'ÉTABLISSEMBNT
DéyeloppojDS les produits indiqués, dans le second membre , et négligeons les termes d'ordres supérieurs au deuxième, nous
aurons
Mdx'
18. Commençons par effectuer la réduction des termes du deuxième ordre (jui ont A7 en dénominateur. Cea termes peuvent s*écrire
et la dernière parenthèse de cette expression donne
— sin*^ -+- cos'^ = 1 — ( i — —1 sin^^ :
or on peut substituer dans cette valeur, à la place de 77;^ le rapport -~ qui n'en diffère que de quantités du premier ordre, et, par suite, ne peut produire que des erreurs du troisième; il
en résulte que le facteur i — — pourra être remplacé par c* d'après [q), et que Ton aura, en ayant égard à la relation (r),
- sin'ip -h co6*(p = A* , (/ )
valeur exacte aux quantités prés du premier ordre.
La sonune des termes du deuxième ordre qui oui A' en dénominateur se réduit ainsi k
Les termes qui ont A' en dénommateur dans ia valeur de M<ir' peuvent se grouper ainsi qu'il suit :
a [7» — j h'êj ^ (2.»™'<? •+■ co»'<p) <^<P
-H ^ (1 -h «•*) e' ^ (g »m«(p - cos«(p) rf(p
-!- — «* *-j- (a cos*9 — — sm'^j a^.
(Dans les deux derniers termes, qui sont du deuxième ordre, on
a remplacé le rapport — par — qui n*en diffère que de quantités
du premier ordre.) Le premier de ces termes va se réduire aisément : en effet, on a, en ayant égard aux relations (v'), (r^) et (w'),
— sin*^ H- cos*^ = 1 — - sin*^ = 1 — (c* -4- c,*) sin'(p,
N* /l — î\i A"* rf*
— sin»^ -f- cos'(p = A* — 2 l-T-j ^ - sin'Ç; en substituant cette valeur, le premier terme donne
Pour transformer je deuxième terme, écrivons la parenthèse sous
la forme
-- sin*^ — oos*^ = — f— sin*^-hcos*9j -f- 2 -- sin'(p;
puisquil s'agit ici de termes du second ordre, on aura d'après (/'),
— sih*^ — cos*^ == — ^* "+* ^ H* *^^*^ ' et le deuxième terme domiera
Enfin écrivons la parenthèse du troisième terme sous la forme 2 cos*^ r— -- sin»(p = 2 fcos»^ H- — sitf^j — 3 — sin*^, on aura, de la même manière,
2 cos*0 — — sin*^ = 2 A* — d — sin*^, et le troisième terme deviendra
Le seul terme qui contienne A' en dénominateur dans Téqualion [x') est
Obscfrvons que Tensemble des termes [z'), (a"), (6''), (c") et (cT ) est Téquivalent de la somme des cinq termes compris entre le premier et le dernier du second membre de (a?'); il ne reste, pour former Vexpression transformée de la valeur de Mdx'^, qu'à réunir
ces terme» aux tenues extrêmes du second membre de {x'). Effectuant cette réunion, et ordonnant en même temps, il vient
.18 bis. Nous allons nous trouver obligé de donner des formules de réduction applicables à Téquation qui précède. Proposons-nous d^abord de réduire Texposant élevé qui entre au dénominateur du troisième terme de son second membre.
On arrivera par la différentiation, et en opérant convenablement les réductions, à la formule suivante :
-T'^T-= («n —) i^n <*<?-»- "7 ■^, àp
d'où Ton tire inversement
A**^ ^ (,*— ,)c»J m-Hn sin"
En faisant dans cette formule m=i, n = i et* = a, il viendra
D'un autre côté , si Ton dififérentie l'expression "" et que
Ton opère les réductions, on arrivera à la relation
d— ^— = -[Ad(p-{i-c«)-J,
d*où Ton déduit inversement
«te Substituant cette valeur de -^ dans Texpression différentielle cidessus, on aura
Or cette expression différentielle affectant dans Técpation (e") un terme du deuxième ordre, on peut y substituer à la place de c' sa valeur obtenue en négligeant ceux du premier et du deuxième , laquelle est» diaprés les équations (9') et (f),
on en tire
et, par suite,
Au moyen de ces diverses valeurs, le terme qui contient A' dans Téquabon [e") se transformera en
Occupons-nous maintenant du facteur — -(f(p; nous aurons
OB peut écrire
on en déduit
puis, en ayant égard à Téquation (/),
et le deuxième terme du second membre de [e^) devient
,..Ae + --j-J[----A(i9H-d-^J. (I)
Réunissons les expressions [h") et (f ) aux deux termes extrêmes du second membre de Téquation (e'), puis ordonnons; il viendra
Avant d'écrire l'intégrale de cette expression, notis réduirons les coefficients de ses différents termes. Et d'abord considérons la quantité -^
qui fait partie des deux premiers coefficients : substituons à c' sa
valeur
qu*on obtient en vertu de M* — N* == a K, la quantité ci-dessus deviendra
Soit, pour abréger,
la valeur {j') de K pourra se mettre sous la forme et la même quantité deviendra
'-m"(-4>- -mh?)?'
en divisant haut et bas par R^, et substituant ensuite q* à la place de K|, dans le terme du deuxième ordre; mais si nous réduisons en série le facteur de M% la quantité dont il s'agit aura pour expression
effectuant le produit indiqué ici au moyen de la valeur [F) de M% cette quantité deviendra
Réduisons les termes du deuxième ordre, ces termes deviendront successivement
■j^,3.^-3-hM»-')'(='-H=»^V^)je« ' et Ton aura finalement
Cette valeur va nous servir à opérer la réduction des coefficients de — - et A(/(p dans f équation {/); en effet, pour former le premier, nous devons ajouter au second membre de [k") les termes
En ajoutant et réduisant, il vient
coeff. de — = A*'* H- ç* — 2 h'e -h ^^^ e\
Pour former le coefficient suivant, il faut ajouter au même membre les termes
et changer ensuiteie signe du résultat : effectuant ces opérations,
on a
coeff. de À d(p=— [*'• -h a 7' — a '-^ h'e
On peut donner au coefficient de e' une autre forme en rempla-
çant H* par sa valeur A'* -f- 2 a% d*où résulte -- = 2 H — -; on trouve, en faisant cette substitution,
coefiF. de Ad^ =— [A'»^ 2 ^« a !±i A»^
En réunissant les termes en e* du coefficient du terme suivant, on aura
coeff. de d^lp^=:i [,. iA'e+f.(|.-.-«-, -(.-,)« î')c'].
Au moyen de ces vdeurs réduites des coefficients, l'équation (y") devient finalement
-[A'«+a7'-a^A'c+^(ji-3i'-3-a(i-i)«^)e']AdÇ
/l — iXtA** . ,8100 0080
I sinÇ 008^
19. Maintenant Imtégration de Féquation différentielle de Tintrados se trouve dépendre des fonctions elliptiques. En e£Fet, posons, comme le fait Legendre,
posons en même temps
nous aurons, en intégrant Féquatien (f), M supposant x" nul en même temps que <p ,
(*) Noaa ferons reauBn|uer que le» ooeffitienla B «t G, conqpcvés aux. etpressions (f). et (/) , donnent
11 est probable quen suivant dans Imtégration une marche plus directe, on aurait obtenn ces rdations a priori. Cela eût été d*autant pins intéressant que nous ne pouvons affirmer leur exactitude que jusque dans les termes du deuxième ordre inclusivement. (Au lieu de rechercher les moyens de réduire les développements analytiques dans cette partie du Mémoire , nous avons préféré consacrer le temps dont nous pouvions dbposer, au calcul des TaUesque Ton trouvera à la fm de la deuxième partie.)
Les équations précédentes simplifient la valeur de c* qui devient
B et Ton peut écrire y B à la place de M, dans l'équation (o").
Telle est Téquation de Tintrados qu il s'agissait d'obtenir, et dans laquelle x" se trouve implicitement aOPecté du double signe, en vertu de la relation (o'). Nous n'avons tenu compte que de Tun des deux signes en discutant les parties des deux branches de la courbe qui s'étendent vers les x positifs; la symétrie autour d'un axe qui se confond actuellement avec l'axe des. y en vertu de la valeur nulle de la constante de l'intégration « nous a dispensé de nous occuper des deux signes à la fois. On voit maintenant qu'en ayant égard au double signe de tang^, l'équation [o") représente la courbe dans toute son étendue.
On remarquera, ainsi que nous l'avons annoncé plus haut, que l'expression de rr*' perd deux termes* lorsqu'on suj^ose i r=: i • en effet, cette hypothèse rend nuls les coefficients D et G, en même temps qu'elle simplifie les valeurs des trois {uremiers.
Avant de faire usage de l'équation [o") en l'appliquant à la question des arches de pont, il convient d'indiquer un procédé rapide pour le calcul des fonctions F et Ey et de vérifier l'exactitude des coefficients {n').
