CALCUL DBS FONCTIONS F ET E

20. On emploie deux procédés différents pour k calcul de ces fondions, suivant que le module c est voisin de l'miité ou de zéro. Il est facile de voir que, dans la question des arches de pont, ce module diffère peu de l'unité : en effet, c* ne diffère de i, en

vertu de l'équation (9'), que de la quantité 7-; or le carré A"'* de

l'ordonnée du sommet de l'intrados est en général assez petit par rapport à 2 9*» à cause de la grandeur du produit e /x,, équation {s) ; c* diffère donc peu de l'unité.

Dans cette hypothèse , on calcule ime échelle de modules c, , c,, Cj, . . . , c„ par les formules suivantes:

C| — — , Cj — - , Ci — 9 • • • > ^n — - î

on calcule pareillement une série d'amplitudes (p, , (p,, ^3, . . ., ^^^ par les équations

sin(2^, — (p) =csin(p, sin {2(p, — ^1} = c, sin(p,,

sin(2^, — ^,)=zc, sin(p,,

sin {a(p„ — ipn-i) = c^, sincp^,,

et Ton s'arrête, dans le calcul des modules, au module c„ qui devient égal à Tunité, du moins, au degré d'approximation que Ion veut obtenir; on poursuit le calcul des amplitu<ftes jusqu'à celle (p„ qui correspond à c, = i , d'où résidte l'égalité de toutes les amplitudes suivantes. On a ensuite, entre les fonctions F des modules et ampKtudee de mêmes indices, les relations

FK. (p.) = logtang(45--+- ; (p.), (')

(*) Le logarithme qui figure ici est un logarithme iiépériéu ou hyperbolique.

On en déduirait, en multipliant ee$ équations membre à membre,

F(c, 0) =-i-. — ^ . -^ —^— . — i— log tàng f 45*'-h-0n) ;

mais le calcul de la fonction E exige, lorsque c di£Fère peu de Tunité , que Ton fasse usage des fonctions F intermédiaires.

Au moyen des modules, amplitudes et fonctions F précédemment calcidées, les formules suivantes serviront au calcul de la fonction E :

E{cn. <pn) =sin(p;,

E{cn^,, (p„,) = (i +c„) jB(cn-n(p«-,)+(i— c„-.) F(c„^„ (p„-,) ~c«, sin(p„

E{c,,(p,) = {i+c,)E{c,,(p,) + {i-c,)F{€,,(p,)-^c,sin<p,,

Les formules qui précèdent peuvent paraître longues à calculer; pourtant il n^en est rien, dans le cas qui nous occupe : en général, il suffira de calculer un seul module et une seule amplitude, ce qui réduira le calcul de F et de £ à l'emploi de la première et de la dernière formide de chaque série.

On pourrait profiter de la peUte différence que nous admettons entre c et Tunité pour réduire les intégrales {m") en séries ordonnées suivant les puissances de (i — c*); nou3 préfiérons nous en tenir aux formules que nous venons de reproduire , attendu qu'elles sont encore facilement applicables au calcul des fonctions F et E lorsque c diffère beaucoup plus de Tunité que nous ne Tavons supposé.

▼ÉRmCATION DE L'BXACTITUDB DES COEFFICIENTS (n'j.

21. Nous ne prétendons pas donner ici la vérification générale de ces coefficients, ce qui conduirait à des calculs fort pénibles; mais, seulement les vérifier dans quelques cas particuliers. Nous allons difiPérentier Téquation [o"), et pour cela, considérons la fonction

nous aurons, en différentiant,

tf - ^V ■ = ? d^^k ' M^;^ . d(p,

et, en faisant successivement dans cette formule ft = i , A: = 2 et A: == 3 , nous obtiendrons les différentielles des parties variables des derniers termes du second membre de (0"]. Quant à celles des premiers termes, elles résulteront de la suppression du signe / dans les équations [in]. Nous aurons ainsi

M(fx'= A ^ - BAd<p + C (^:^ + c îîî^) d^ Or nous avons, équation (s'),