ARCHES INCOMPLÈTES, DITES EN ABC DB CMBCLB

Pont de Valence, sur le Gaadalaviar.

Cet ouvrage, dit Gauthey, est composé de dix arches de i3 mètres d'ouverture, dont la flèche est à peine de i°',3. En Tabsence d'autres données, nous supposerons l'ordonnée du sommet de l'intrados égale à i'",6g, et nous admettrons que les matériaux dont on a pu disposer présentent une résistance au moins

égale à celle des pierres de Saillancourt 2* qualité, dont le —

est li2^,g. Les données seront ainsi :

^ = 6^5o; /=i^3o; Y. = 1^,69; (X, =I:42^9, d'où ^z=5,oo; y =1,3.

Avec ces deux derniers nombres, la Table I donne 7; = 1 8,96 1 ,

et l'on en déduit (valeur approchée) O* = 32,o44- On trouve ensuite par la formule (i), /Xo = Ai'^^SSi , et, par la formule (11) (valeur approchée), e = o"*,793. On tire ensuite de la Table II,

— ~-i = 0,0482 , d ou

J\(Q«)= 0,219 puis Q* = 32,263.

Par la formule (v), il vient h" = i'",68A; et, en reprenant le calcul de e par la formule (11) à l'aide des valeurs corrigées, on trouve

fifialenient e = o°*,798^. La valeur A = o"^,885 (jui en résulte n< est pas trop faible. Cette quantité pouvant, en pratique, recevoir une moindre valeur, on en conclut que le pont de Valence aurait pu être construit avec des matériaux moins résistants que nous ne Tavons supposé : les épaisseurs auraient alors reçu un accroissement égal à la réduction de l'ordonnée A.

Pont de Pont-Sainte-Maxence , sur VOise.

Ce pont, construit par Perronet, est formé de trois arches de 2 3"',39 d'ouverture et a'",09 de flèche; l'épaisseur des voûtes au sommet est de l'^f^ô. Aux parements extérieurs, les voussoixs se prolongent jusqu'au plan horizontal tangent à l'extrados : nous ferons abstraction de cette particularité. Les piles, au lieu d'être pleines comme d'ordinaire,, consistent en quatre colonnes de a"^, 9 a 3 de diamètre, groupées par deux aux extrémités de chaque pile, de manière qu'il existe entre les colonnes intérieures im espace égal au diamètre de ces colonnes : en outre, les plans des têtes passent par les axes des colonnes extrêmes, de telle sorte que les moitiés extérieiu^es des mêmes colonnes servent d'avant-becs et d'arrière-becs. La distance d'une tête à l'autre ou la largeur du pont est de i2"*,667. D'après les dessins de Perronet, on peut admettre que l'ordonnée du sommet de l'intrados est égale à la flèche. Nous admettrons, en outre, que la hauteur A ait été fixée i o'^,65. Les matériaux employés dans la construction des vpâtes sont les pierres de SaiUancourt, et des pierres des environs de Pont-Sainte-Maxence , qui ont présenté à l'essai une résistance environ quatre fois plus grande que ceUes de SaiUancourt.

Les données sont ainsi :

g=\ i^695;/=2",o9; ¥0=2^09; Azz^o^ôS; A=i2%667,

d'où ^=5,60; -f- = i,o.

0* Avec ces deux nombres, on tire de la Table 1: -- = 18,6935,

DES AR€H£S DE POTïT. 257

d*où (valeur approchée) Q' = 81, 656. Les formales (o) et (m) donnent (valeur approchée) c= i*,44, et Ton a, par la Table II,

-1^ = 0,3^22, dou

puis Q*=: 82,366.

Par la formule (v), on a ensuite

V =z 2»o8i3, d'où

Actuellement les formides (iv) donnent

On aurait pour épaissexu* réelle à la clef e, = i™,44» quantité qui 4iffère seulement de 2 centimètres de celle adoptée par Perronet. Au reste , ce rapprochement tient uniquement au choix que nous avons fait des doimées Y» et A. Quant à la valeur de |X|, on voit

oueDe est environ — de la résîst^ce absolue 58 1 mètres des

pierres de Saillancourt i** qualité, et environ -- de la résistance

de celles de Pont-Sainte-Maxence, d'après ce qui a été dit plus haut. Il est facile d'en conclure que si nous avions pris pour donnée jXi r= 58™,i à la place de A, nous aurions obtenu une valeur de e un peu plus faible et une valeur de h d'autant plus forte.

Déterminons maintenant la limite inférieure de l'épaisseur des piles. Pour cela nous aurons d'abord, par la première équation (xii),

puis ensuite, par les formules (xiv).

On en déduit pour la largeur minimum ^esmct^ à donner aux piles en leur partie supérieiure, 2 e sin»! r=: i", 1 1 g. La charge que supportent les piles en cette partie est représentée par jx»; si Ton veut que les piles ne soient pas plus chargées à leur base, il faudra à très-peu près augmenter leur largeur d*une fraction égale au rapport de la hauteur des piles à la quantité jXi ; or cette hauteur étant de 5°',8A6, il faudrait augmenter la laideur ci-dessus de la

fraction ' = 0,096, ou de o"',i07, ce qui porterait la limite

inférieure de la largeur des piles à 1^,226, et la limite inférieure de la section horizontale à i"*,2 26.X ou i5"^53. Pour comparer cette section à celle réalisée parPerronet, nous pourrons réduire à trois le nombre des colonnes qui supportent le poids des arches, à cause de la situation des colonnes extrêmes; de cette manière,

la somme des sections horizontales sera 3 -(2,923)* = 20"*'', 1 3.

En comparant ce nombre à la limite théorique i5"''',53, on voit que le célèbre ingénieur ne s'en est écarté que de la fraction 0,296 ou environ trois dixièmes. A vrai dire, les colonnes qui servent de piles supportant une charge verticale un peu moindre que jx^, attendu que le poids des voûtes a été diminué au moyen de lunettes pratiquées dans le sens de la longueur du pont. Quoi qu'il en soit, on peut conclure, de la comparaison que nous venons

de faire, qu'il serait suffisant d'augmenter de - la largeur limite

2esin OLi des piles, lorsqu'il s'agira d'établir des ponts dans des conditions comparables à celles que présente celui de Pont-Sainte- Maxence.

Pont de Mirepoix, sur le Lers.

Ce pont est formé de sept arches de 19", 5 d'ouverture et de 2"^,6i2 de flèche. Les autres données nous manquant, nous sup-

poserons Tordonnée du sommet de l'intrados égale à i^^56'j2, et nous admettrons que les matériaux présentent une résistance au moins égale à celle de la pierre de Saillancourt 2^ qualité. En

fixant la limite des charges au — de la résistance absolue , nous aurons le système de données suivant :

d'où ^=3,7328; y = 0,6.

En procédant comme dans le premier exemple, on trouvera

(Xo = 40°*,! 64; A"= i"',56o7; ^ = o"',9835; A = o^5772; Q*:= 38,6io.

L'épaisseur e pourra paraître un peu forte, et la charge A un peu faible; pour diminuer la première et augmenter la seconde, il suffirait de faire fi, un peu plus fort (5o mètres par exemple).

Pont de Homps, sar l'Aade.

Ce pont, construit par M. Ducros, se compose de trois arches de 2 1'',4 d'ouverture et de 2"',87 de flèche. (Nous n'iiurons point égard aux petites cornes de vache que Ton a pratiquées dans le voisinage des têtes.) Nous compléterons les données précédentes par des nombres supposés. Soient donc

d'où ?:=: 3,7282; -îz=0,6;

on trouvera, en procédant comme dans le deuxième exemple:

Q* = 46,5o8; A' = 1^7149; « = l^o629; fio = 4/r,762; fA, =2 47^,766.

La valeur de jx^ répond à - environ de la résistance absolue de la pierre de Saillancoiut a® qualité, et se trouve au-dessous de — de celle qui se rapporte à la i •* qualité.

Pont de Pesmes, sur VOgnon. "^

Ce pont , construit par M. Bertrand , est composé de trois arches de 1 3", 6 4 d'ouverture et de i", i 9 de flèche; f épaisseur à la clef adoptée dans la construction est de 1", 19, égale à la flèche. Conune dans les exemples précédents, nous joindrons à ces nombres des données hypothétiques; nous partirons des données suivantes : . . ,

g = 6^S2; /= 1-19; Yo==^î^547; A =0^647.

d'où lr=: 5,781; 7==»>3;

puis, en suivant ia même marche que précédemment,

0« = 35,216; h" = 1^541 1; e = o",894i; fi, = 4o%332; jx, = 41^564.

L'épaisseur réelle à la clef 6« = 0^,9 qu'on en déduit est moindre de 0^,29 que celle adoptée dansia construction, et cependant la

valeur de (â^ est inférieure au — de la hauteur qui représente la

résistance absolue des pierres de Saillanci3urt 2* qualité et de Conflans.

Pont Foachard9i, sur le Thouet, à Saumar.

Ce pont, construit sur le projet de M. de Limay, est formé de trois ar<^es de 26"',99 d'ouverture m de 2'*,636 de flèdiè. Nous supposerons les données qui nous manquent. Soient

g = 12^995; /c= ô^^5; Yo := 1^8446; y., = 62»,5

DES ARCHES DE PONT. ^kl

(la valeur de fi^ répond à -^ de la résistance absolue de la roche douce de Bagneux); on aura d'abord

puis, pour résultat final des calculs,

Q'= 75,409; c = i"*,2827; A' 1= i"*,8379; h = o^^SôSa ; (u^ = 59"*,77a.

On pourrait faire ici les mêmes remarques qu à l'occasion du pont de Mirepoix.

Pont de Saint-Diez, sar la Mearthe.

Ce pont, construit siu* les dessins de M. Lecreulx, se compose de trois arches de 12 mètres d'ouverture sur 1 mètre de flèche, et de deux petites arches latérales en plein cintre de ^ mètres d'ouverture. Nous ne nous occuperons que des premières. Les* données étant encore incomplètes, nous admettrons les suivantes :

<^ = 6^o; /=:i«,o; Yo=i°",3; A = o"»,65,

d'où ^=6,0; y=z=:i,3.

Le calcul conduit aux résultats que voici :

Q« =z= 27,112; h" = i'»,2966; e = o'»,6466; jXo = 4a",795; fil = 43"»,823.

La valeur de |Xi répond à peu près à — de la résistance absolue des pierres fermes de Conflans.

Pont de Branoy, sàr l'Hyères.

Ce pont a été construit sur les dessins de Perronet; ii se compose de trois arches de 5"',8A6 d'ouverture et de o"",783 de

flèche. Uépaisseur des voûtes à la clef est de o",65; Tordonnée du sommet de Fintrados peut être évaluée à i mètre et quelques centimètres. Nous prendrons cette ordonnée égale à i™,oi79, et la hauteur h égale à o°^,5o; en sorte que les données seront

gz= 2^923; /= 0^783; Yo = ^^0l79; A = o^5o, d'où ^z=3,733i; y=i,3.

On en déduit, par le calcul :

Q» = 6,784; h' =z i»oii2; « = o^5ll2; (u^ = 13^9^1; jx, = i4^777,

puis répaisseur réelle à la clef e, = 0^,5179, quantité moindre de 0°*, 1 32 que celle adoptée par Perronet. La valeur de jXi répond

à — de la résistance absolue de la lambourde de qualité inférieure, et à — de celle de la pierre tendre employée à Paris.

Pont de Rosoi, sur ÏHyères.

Ce pont a été construit, comme le précédent, sur les dessins de Perronet; il est formé de deux arches de 7^,80 d'ouverture et de o"*,975 de flèche; l'ordonnée du sommet de l'intrados est de i™,25 à i™,3o, d'après les dessins de Perronet; l'épaisseur des voûtes à la clef a été faite de o"*,8i2, et les voussoirs sont en grès très-dur. Au lieu de supposer que l'on ait à sa disposition des matériaux aussi résistants, nous admettrons que les matériaux ne présentent pas plus de résistance que le mortier ordinaire. En

prenant le — seulement de la résistance absolue représentée par

219 mètres, et supposant l'ordonnée du sommet de l'intrados égale à 1^,2675, nous aurons pour données

g = 3^90; /= o^975; Y. = l^2675; ft, = 21^,9,

d'où ?:=A,oo; y =1,3.

On déduit de ces nombres:

Q« = 11,922; e = o"*,596o; A''=i",26i3; A =o«,6653; jx. = 2o'°,870.

L'épaisseur réelle à la clef est e» =0" 6022 : elle est moindre que celle adoptée par Perronet de o°',2i, et cependant la plus grande valeur de (x est extrêmement faible. La construction, réalisée avec des matériaux beaucoup plus résistants que nous ne l'avons supposé, présenterait donc une très-grande stabilité. La hauteur h est, du reste, très-admissible dans la pratique.

Pont de la Concorde, à Paris.

Ce pont, construit sur les dessins de Perronet, se compose de cinq arches d'ouvertures et de flèches inégales : la chaussée est disposée en pentes qui s'étendent seulement aux quatre arches latérales; elle est de niveau dans le sens de la longueur sur Tarche du milieu seulement. Il est facile de reconnaître qu'il était impossible de substituer au projet de Perronet celui d'un pont horizontal formé de cinq arches égales, sans élever le niveau des abords ou abaisser celui des naissances d'au moins 5o à 60 centimètres. Nous nous occuperons seulement de l'arche du milieu , qui a 28^,6 d'ouvertiu^e et 2^,99 de flèche, et à laqueUe on a donné i°", i4 d'épaisseur à la clef : supposant l'ordonnée du sommet de l'intrados égale à i",794, et la charge h égale à o"',65, nous aurons les données suivantes :

g = i4",3o; / = 2^99; Yo = l^79^; * = o^66,

d'où ^ = ^,782 7; y = 0,6.

A l'aide de ces nombres et des précédents, on trouve la solution

Q« = 8o,435; h" = 1^7891; e= i^iSgi; fi.= 71^642; ft, = 74",723;

Tépaisseur réelle à la clef s'en déduit e^= i", i44. Cette dimension coïncide à peu près avec celle adoptée par Perronet. Quant

à la valeur de (Xj , elle répond à — environ de la résistance absolue

des pierres de Saillancoiut que Ton a employées dans la construction.

AmCBBS €01f PLÈTE8 , OFTES 0jr ANSE DE PAlftMB.

Pont de N agent, sur la Seine.

Ce pont, construit par Perronet, se compose d'une seule arche de 2 g"*, 2 4 d'ouverture et de 8"*, 7 7 de flèche, dont la voûte est construite en grès très-dur : malgré les rampes légèrement inclinées qui conduisent au milieu, nous procéderons comme si la chaussée était exactement horizontale dans le sens de la longueur du pont. En ajoutant aux données précédentes la charge h = o*",65 prise hypothétiquement, les données seront

En suivant la marche indiquée n^ 45 , nous aurons d'abord

quantité qui répond sensiblement à un surbaissement de — . On tire ensuite de la Table III, relativement à la valeiu* de -,

f = 0,81006, d'où Y, = 10^826;

et les équations (x) donnent : h" = 2°*,o443, e = i"*,3943; puis il vient, par les équations (xi), (Xo = 4'i",i 12; ft, = 5i'",776;

et réquation (uni] donne, pour la superficie du profil de la demi-

arche et de la partie correspondante du massif « T ~ ^ 1^=7 î^"**'» 192.

La charge représentée par ft, est un peu faihle, puisque les voussoirs ont été faits de grès très-dur; l'épaisseur est d'ailleurs peu différente de celle adoptée dans la construction, qui est de i™,6o pour les voussoirs des têtes» et de i"*,3o pour les voussoirs intermédiaires. On eût pu diminuer l'épaisseur des voussoirs sans exagérer la charge jXi, en diminuant la flèche et élevant d'autant les naissances, afin que le sommet de l'intrados restât au même niveau. La diminution de l'épaisseur aurait ainsi permis de réduire l'inclinaison des rampes.

En effet, soit/= 8"",44i ce qui revient à diminuer la flèche de o™,33, et, tout en conservant la même valeur de g, portons la

valeur de jXi à 58", 1 ou au — de la résistance absolue des pierres

de Saillancourt i"* qualité, les données seront

g = 14^62; /= 8-,44; ft» = 58«,i, d'où ^=1,7323.

On aura, par la Table m,

^=:o,83265, puis Y» = io^i36.

Les équations (vm), en ayant égard à la première équation (vu), donneront (x, = 48^,990; e = i™,o48i; et il viendra, par les

formules (ix), h" = i"*,690i; h = 0*^,6420; puis, par l'équa-

tion (xxm), — = 60*^894. [La formule (ix bis) donnerait plus

exactement e = 1 ",048 2 ; on voit que la deuxième équation (vrii) est suffisamment approchée.]

Ces nombres, comparés à ceux qui résultent des données primitives, présentent une réduction de o°^,346 sur les épaisseurs,

ou de près de - sur les premières. La surface du profil de la

voûte et du massif serait réduite de plus de - : il est vrai de dire .

que les culées devraient être élevées de o™,33 de plus que dans la première solution; mais l'élévation des naissances faciliterait le débouché. La solution que nous présentons ici eût donc offert des avantages marqués sur celle adoptée par Tillustre constructeur de nos plus beaux ponts.

Pont de Mantes , swr la Seine.

La chaussée de ce pont formé de trois arches inégales, est disposée en rampes des deux côtés à partir du milieu; la pente

est de -— . Nous ferons abstraction de cette pente, et nous ne nous

occuperons d'abord que de l'arche du milieu^ dont l'ouverture et la flèche sont respectivement 38^,98 et 1 1'',37 : la charge h peut être estimée approximativement à o",74. Les données sont ainsi:

(/=:i9",49; /=ii»,37; A = 0^74;

d'où ^ = 1 ,7 1 42 , et, par la Table III, Y, = 1 3^753. 1 dant comme dans l'exemple précédent, on trouve

A^ = 2»37i4; e=z i^63i4; (jl, =z bS'^.o'jS; ^ = 70^,498; Y = ii5-^oi.

Les pierres employées à la construction des voûtes du pont de Mantes sont celles de Saillancourt, dont la résistance absolue est représentée par 58 1 mètres. La valeur de fio coïncide avec le dixième de cette dernière quantité, tandis que celle de |Xi s'en

écarte notablement : elle répond en effet à - environ de la résistance absolue des pierres de Saillancoiut. Si , à l'exempie de beau*coup d'ingénieurs, on n'a égard qu'à la pression au sommet, on trouvera que la pierre employée présente une suffisante résis*-

tance. Cela est du reste assez admissible, puisque c'est au sommet que les pressions varient le plus par Taction des surcharges accidentelles , et que ces dernières ne produisent que peu d'effet sur les voussoirs inférieurs : si donc les voussoirs peuvent résister à la chaîne |u^ au sommet de la voûte, et en outre à Faction des surcharges, il est vraisemblable qu'ils résisteront encore à la charge |x, qui a lieu dans les plans des naissances, augmentée de ses très-faibles variations. Quoi qu'il en soit, il serait évidemment préférable d'employer de la pierre plus résistante.

L'épaisseur adoptée dans la construction est de i^.g^Q; mais Perronet avoue qu'on aurait pu la réduire à 5 pieds ou i",62 4, nombre qui coïncide à très-peu près avec la valeur e, c= i",643i que fournit notre solution. On doit remarquer que cette réduction de l'épaisseur à la def eût permis de diminuer la pente longitudinale de la chaussée.

Actuellement nous allons examiner s'il n'eût pas été possible, sans élever les abords, de construire un pont horizontal formé de trois arches égales ayant leurs naissances au niveau de l'étiage. (Les naissances dans la construction sont à o"*,g74 au-dessous de l'étiage.)

Les arches latérales ont 35°',07 d'ouverture, et les piles ont 7*", 80 de largeur : en ajoutant au premier de ces nombres la demi-ouverture 19",49 de l'arche du milieu, on a pour la demilongueur du débouché 54"*,56, dont le tiers donne, pour la demiouverture d'arches égales, gz= 18", 1867. La demi-loqgueur du pont s'obtiendra en ajoutant la largeur d'une pile à la demi-longueur du débouché, ce qui donnera 62™,36, et pour la pente de

la chaussée, — 62",36 = o™,866. La hauteur du sommet de la

chaussée au-dessus du plan des naissances est égale à la longueur formée par la flèche de l'arche du milieu, l'épaisseur adoptée dans la construction et la hauteur que nous supposons équiva-s lente à 0^,74 : en déduisant de cette somme la pente o°*,866, et la profondeur 0^,974 à laquelle les naissances ont été placées au-dessous de l'étiage, nous aurons la difiérence de niveau des

abords du pont et des naissances relevées à la hauteiur de Tétiage, égale à 12*^,219 :=Yi. L'élévation actuelle du sommet de Imtrados de Tarche du milieu au-dessus de Tétiage est d'ailleurs 1 1'",37 — o'^^gyA = 10^,396, tandis que l'élévation des autres arches est moindre de 0*^,487. Il importe que la solution cher* chée donne une flèche peu différente de 10*^,396, afin que le débouché ne soit pas diminué et que la navigation puisse se faire avec la même facilité.

Soient donc g = 18°*, 1867; Y» z= i2",ai9; h = o'^^ôo,

d'où ^ = 1,4884. On déduit de ces données, par la Table III,

f = io°',3oi; ce dernier nombre n'est inférieur à 10^,396 que de o"*,095, et il excède ceux qui répondent au niveau du sommet de l'intrados des arches latérales de o°^,392. En poursuivant le calcul, on trouve

A" == i°',9io4; c=i"',3io4; /x, = 67°',o62;

ft, = 68«,2o4; Y = 89-',372.

Dans cette solution, les pressions sont un tant soit peu moindres que dans la précédente, et, quoique l'inégalité des arches ne per-

mette pas de comparer directement les sommes des surfaces —

des deux profils, notre solution aurait évidemment présenté une économie notable des matériaux des voûtes, indépendamment des avantages qui se rattachent à l'horizontalité de la chaussée et à l'élévation des naissances, et cela sans que le niveau des abords ait été changé.

Pont de Neuilfy, sar la Seine.

Le pont de Neuilly, construit par Peironet, est formé de cinq arches terminées du côté des têtes par des voussures qui donnent à l'ensemble dç la construction un caractère de hardiesse fort remarquable. Nous n'aurons point égard à ces voussures, qui exi-^ géraient une théorie k part, et nous appliquerons nos formules comme s'il s'agissait d'intrados purement cylindriques. A cela

près, les arches sont en anse de panier surbaissée au quart; leur ouverture est de 38",98, la même que celle du pont de Mantes. L'épaisseur des voûtes à la clef est de i'°,62 4y et la hauteur moyenne de charge h peut ètr« évaluée approximativement à i ™, 1 5.

Quant aux pierres employées à la confection des voussoirs, elles sont de provenances diverses (*); toutefois leur qualité ne paraît pas devoir être estimée beaucoup au-dessous de celle des meilleures pierres de Saillancourt.

Soient données

(y = i9»,49o; /= 9^745; A = i»,i5, d'où ^ = 2;

on aura, parla Table 111,^=: 0,89769, d'où Y, = io*,857;

puis par les formules (x), A" = 1™, 1 1 3 ; e= — o",o38.

La valeur négative de e que nous rencontrons ici , et déduite de la relation e = h" — A, montre que la donnée h est incompatible avec les autres. 11 est visible, en effet, qu'en diminuant A, la valeur de e deviendrait positive , mais sans pouvoir dépasser la limite i™,i 12, ni même l'atteindre tout à fait en faisant A = o.

Nous allons changer les données, en conservant cependant la demi-ouverture g , et nous astreignant à conserver également l'ordonnée Y, des naissances : pour calculer cette ordonnée, nous ferons la somme des trois quantités

Charge approximative i", 1 5

Epaisseur à la clef adoptée 1 ,624

Flèche adoptée 9 ,745

d'où

Ordonnée des naissances Yi = i2",5i9

(*) On trouve dans une Note jointe au Mémoire de Perronet sur Vépaissear des piles et la courhare ie$ voûies, le rérallat d'expériences qu'il a faîtes sur les pierres de Saillancourt employées par lui a la construction du pont de Neuilly. L'babile ingénieur parait avoir fait usage des hauteurs de charge à la place des pressions par unité de sur&oe; il dit en e&t <{u'il &udrait, pour opérer la rupture de la pierre en question , la charger ia poids d'une colonne de 1580 pieds de hauteur de la même pierre. Ce nombre , ramené aux nouvelles mesures , donne 5i S'^a , résultat inférieur à celui que fournit notre taUeau pour les pierres de Saillancourt i** qualité.

Soient donc

d'où i.= 1,5568;

on en déduit, par la Table III, /= io",73i. Ce nombre, comparé à la donnée primitive , répond à mie smrélévation du sommet de rintrados d'un mètre à très-peu près : le niveau des naissances restant d'ailleurs le même qu'auparavant, il est clair que la nouvelle flèche sera plus favorable à la navigation et à l'écoulement des eaux que celle adoptée par Perronet. Il reste à voir si les avantages de la nouvelle solution se maintiendront dans les éléments qu'il nous reste à déterminer. Or, en poursuivant les calculs, on trouve

V = 1^7820; e = 1^2320; fto = 63^689;

puis So = i",238o.

Cette valeur de l'épaisseur réelle à la clef comparée à celle réalisée par Perronet présente une réduction de o"*,386 ou d'à peu

près un quart. Quant à la valeur de ftj, elle répond à -^ ou environ de la résistance absolue 6 1 3 mètres déterminée par Perronet : pour ne faire travailler la pierre qu'au —, il faudrait employer la roche de Châtillon par exemple, dont la résistance absolue est représentée par 7^2 mètres. La valeur de ft^ est loin d'atteindre la limite indiquée par Navier; mais sans recourir à l'autorité de cet auteur, il est admissible que la solution déduite de notre théorie aurait pu être réalisée avec des matériaux un peu plus résistants que ceux employés, et, à la rigueur, avec ces derniers, si l'on se rappelle que le coefficient — est proposé pour

des constructions qui ne jouissent pas d'un degré de stabilité comparable à celui que nous pouvons atteindre. Les avantages de notre

solution sont assez manifestes pour que nous ne croyons pas devoir insister davantage.

Pont d'Orléans , san la Loire,

Ce pont, construit sur le projet de M. Hupeau, est composé de neuf arches inégales, dont fes naissances sont établies à o°',3a5 au-dessus des basses eaux. L'arche du milieu a 3 2", 484 d'ouverture et 9",095 de flèche; l'épaisseur à la clef est de 2", 1 1 1 pour cette arche. Quant aux autres arches, leurs dimensions sont suc^ cessivement décroissantes. Les arches des culées ont 2 g*", 88 5 d'ouverture, 8", 1 2 i de flèche et i°*,787 d'épaisseur à la clef. Là longueur totale du pont entre les exilées est de 334",839 : quatre des piles ont une largeur de 5™, 622 ; la largeur des quatre autres est de 5™,847» ce qui donne, pour la largeur totale dès huit piles, 45^,476; en sorte que le' débouché des neuf arches est de 279"» 363. La pente longitudinale du pavé du pont a été ré^ée

de part et d autre à — -, d'où il suit que la difierence de niveau de

la chaussée au milieu du pont et à ses abords s'élève à — *- —

= i"*,5o4. La hauteur de charge h peut être évaluée approximativement à o™,85.

Nous ferons remarquer qu'en construisant le pont d'Orléans, l'on a cru convenable de réserver, dans le massif, des cavités qui ont pour eflet de diminuer la charge. Cette manière de décharger les voûtes nous paraît vicieuse dans .l'application que l'on en a faite jusqu'ici. Pour concilier de semblables dispositions avec les exigences de la théorie, il faudrait que les voûtes des arches présentassent des solutions de continuité dans leur courbure , aux endroits où les naissances des voûtes en décharge s'appuient sur les reins de la voûte principale. Nous ferons abstraction de ces particularités dans ce qui va suivre, en supposant le massif plein.

Nous nous dispenserons d'étudier en particulier l'arche du milieu, et nous examinerons s'il n'aïu^aitpas été possible d'établir à Orléans un pont horizontal formé d'arches égales et en même

nombre, sans changer les niveaux des abords du pont et des naissances. En conservant la largeur totale des piles, on a pour chacune d'elles 5°*,6845, moyenne des largeurs inégales qui ont été adoptées dans la construction. L*ouverture d^une arche

devient égale à - 279"*,363 = 3i™,o4.o3. L'ordonnée des naisss^ces, pour Tarche du milieu, est égale à 9^,095 ^- 3", 1 1 1 H- o",86 = 1 2^,056; déduisant la différence de niveau i"»,5o4» nous aurons io"',5Ô3 pour ordonnée des naissances, dans le pont horizontal , en conservant le niveau des abords. Nous réduirons la hauteur h en la prenant, comme dans l'exemple précédent, égale à o™,55. De cette manière nous aurons d'abord les données suivantes :

j=i5°',5qo2; y, = io'»,552; A = o"*,55, d'où |-= 1,47086.

On en tire, au moyen de la Table III, /= 8^,8 54 2, ce qui donne

lieu au surbaissement r-r-tr-* La flèche que nous déterminons ici

est moindre que celle de l'arche du milieu du pont d'Orléans de o"*,a4iï et plus grande de 0^,733 que celle des arches extrêmes. En ayant égard à ces différences, et observant que nos intrados sont plus convexes vers les reins que ceux pratiqués jusqu'ici, on aperçoit, sans calcul, que le débouché correspondant à la valeur de /que nous venons de déterminer, excède celui que présentent les arches du pont d'Orléans. Nous devons cependant constater que la réduction o°^,24i de la montée de l'arche dite marinière, bien qu^elle soit assez faible, apporterait peut-être quelques obstacles à la navigation par les hautes eaux. En poiumiivant les calculs, on trouve

h" — 1^6909; e = iM4o9; 1x0== 48» 863;

ft, = 58^447; Y = 66-S682,

puis «» = i"*,i478.

L^épaisBeur à la clef que nous obtenoos est de beaucoup moindre

que celles adoptées dans la construction, et qui varient de a^^^i 1 1

à î"',787; la réduction dans les épaisseurs varie par conséquent

de — à — . La valeur de a. répond très-sensiblement au — de la

résistance absolue des pierres de Saillancourt i*^ qualité. Nous ignorons quelle était la résistance des pierres de Mignier et de Beaugency qui oixt été employées; celias de Beaugency sont signalées conune dures. Malgré le défaut d^indications plus précises, nous sommes porté à regarder la solution précédente comme offrant d'assez grands avantages sur celle adoptée. ^

Pont de Gignac, sur ΎrauU (arche da mUiea).

L'arche du milieu de ce pont est surbaissée au tiers, et son ouverture est de 48", 70, d'où

g = a4^35; /= 16» 2333, et ^ =: i,5.

En admettant ces données, on trouve parla Table III, Yi=:3 2% 1 60, d'où Yi — fony\ — /= 5™,92 7. Or, on voit qu'en supposant par exemple e compris entre 2 mètres et 3 mètres, 'A serait compris entre 3™,9 et 2^,9 : ces valexu^s de h étant de beaucoup supérieures à la hauteur de chaîne strictement nécessaire, on voit qu'en admettant la valeur donnée de /, on serait conduit à surcharger la voûte d'une masse énorme de matériaux, tout à fait inutile. L'inconvénient que nous rencontrons ici tient au surbais-

sement ^, qui conduira toujours à de pareik résultats dans les arches

de grande ouverture. Mais nous avons la ressource de diminuer la flèche , ce qui nécessite simplement une élévation égale du sommet des piles ou des naissances. Pour fixer les idées, nous substituerons aux données primitives les suivantes :

5= 24'»,35; /= l3^25; |x, = loo^oo, d'où ^ = 1,8377.

A l'aide de la Table III, on en déduit Y, = lÔ^.SÔyô; puis, en

achevant les calculs, il vient

En prenant ft, moindre que loo mètres, la valeur de.e croîtrait et celle de h diminuerait. Nous ne donnons les chifires précédents que pour montrer TefiFet de la variation du surbaissement. Il est clair qu'en considtant certaines convenances locales, on trouverait le moyen de fixer d'une manière moins arbitraire les valeurs de y et de ft, ou h.

Pont de Vizille, sur la Romanche.

Ce pont, construit par M. Bouchet^ sur la route de Grenoble à Briançon, consiste en une arche unique de 4i",90 d'ouverture et de 1 1"*,69 de flèche. Nous supposerons la hauteur de chaîne h e à o™,66. Les données seront ainsi

3f = 2o-,95; 7=11^69; A=:o%66, d'où ^ = 1,79213.

Par la Table III, on en déduit Y, == 1 3°',742 6 ; et, en achevant les calculs,

h' = 2^0464; e = 1^3854; ft, = 68^234; ft,:=z8o™,826; \= iii"^98, puis 60 = 1^,3926.

L'épaisseur adoptée dans la construction estde i°^,9Ô; notre solution aurait donc permis une économie* de o°',557 sur l'épaisseur des voussoirs, ou de — de l'épaisseur réalisée. La valeur de fti n'est pas excessive, elle supposerait l'emploi de pierres présentant

la résistance du calcaire de Jaumont i** qualité, travaillant au—.

La roche douce d'Arcueil employée à Paris ofirirait une résistance plus que suffisante.

Le surbaissement du pont de Vizille est > et par consé-

quent assez éloigné de - et -; c*est à cette circonstance que nous

devons de n^avoir pas rencontré les difficultés relatives aux données, qui se sont présentées dans quelques-uns des exeimples précédents.

Pont de Céret, sur le Tech.

Comme presque tous les ponts qui datent de la même époque , le pont de Céret a été construit en plein cintre. Il se compose d'une seule arche de 45 mètres d'ouverture, dont les pieds-droits s'appuient contre des rochers. La forme de plein cintre a tellement exhaussé le sommet de la voûte, que Ton est obligé de franchir des pentes très-rapides pour arriver au milieu du pont. Malgré l'abondance des eaux torrentielles qui descendent des Pyrénées , il n'est guère probable que l'on ait élevé si considérablement le sommet de la voûte dans le but unique d'offirir un grand débouché' à l'écoulement des eaux.

En examinant les dessins du pont de Céret, on reconnaît aisément qu'il aurait été possible d'établir à sa place un pont horizontal formé d'une arche en anse de panier, %t de se passer des fortes rampes qui existent aux abords. Admettons, par exemple,

le surbaissement—, qui donne, pour l'ouverture de 4 S mètres,

une flèche de 12"',857. Cette flèche, comparée au rayon 2 2"*,5o de l'arche en plein cintre, présente une diflerence de 9®, 643 dont on aurait pu abaisser le sommet de l'intrados, en conservant le même plan des naissances; en élevant les naissances d'une fraction de cette quantité, pour ne pas trop réduire la hauteur du débouché, on abaisserait le sommet de l'intrados d'une quantité égale au reste. Dans tous les cas, l'établissement des culées serait

256 SUR rÉTABLISSEMENT

facilité par la présence des rochers contigus. (Voir l'exemple du

Faisons le calcul avec les données suivantes :

5 = 22^5o; /= l2^857; A = o^,65, d'oii^= 1,76. Nous trouverons, par la Table III, Yj = lô^'jSSS; puis ensuite A" = 3^4690; 6== 1^8190; fto = 64^854; ix,= 78",888; y = i43"S5o.

La valeur de e n'a rien d'exagéré ; celle de ft, exigerait dans les matériaux des voussoirs une résistance comprise entre celles de la roche de Châtillon et celle du calcaire de Jaumont i*^ qualité. On doit prévoir assez aisément l'effet des variations de / et de A par rapport à e et fi^, pour que nous n'insistions pas davantage siu* ce sujet.

Pont de Tours, sur la Loire.

Ce pont est composé de quinze arches en anse de panier surbaissée au tiers, de 2 4°'»4' d'ouverture, ce qui donne 8™, 1 333 de flèche; les piles ont 4"»87 d'épaisseur.

Avec les données / = 8"'ti333 et | = i,5, on trouve, par la

Table III, Y, £== 1 i",io3 , d'où Y| — /= 2^,970, quantité é^e à la somme de l'éjpaisseur réelle k la clef et de la surcharge h. En prenant h dans les limites usuelles, l'épaisseur serait encore trèsconsidérable pour une assez faible ouverture, et les pressions dans les joints resteraient très-faibles, ce qui impliquerait un emploi peu économique des matériaux. La cause des inconvénients qui se présentent ici est, comme pour le pont de Gignac, dans le

surbaissement -.

Nous pourrions obtenir une solution exempte de pareils inconvénieiits en diminuant la flèche des arches, ce qui .permettrait d'élever les naissances et favoriserait l'écoulement des eaux, sans

que le nWeau de la chaussée fût changé; nous irons plus loin. La construction du pont de Tours a été signalée par une suite de désastres paraissant avoir eu pour origine la difficulté de fonder les piles , et la facilité avec laquelle se sont produit; les affouillements. Il nous semble qu'en réduisant le nombre des piles et leur largeur, on aurait réduit d'autant les difficultés du travail des fondations, et que, (fun autre côté, la largeur du débouché se trouvant augmentée, les afibuillements auraient été moins à redouter. On peut objecter à cette manière de voir» que les conséquences de la chute des arches, par suite de vices de fondation des piles, seraient plus graves que dans le cas d'arches de moindres dimensions; cependant il faut reconnaître que les chances de pareils accidents seraient bien diminuées : en outre, il n est pas impossible aujourd'hui de s'assurer que des piles établies dans des conditions déterminées pourront résister à des charges données. En nous plaçant à ce point de vue , nous proposerions de composer le pont de treize arches, et de donner aux piles 4 mètres seidement de largeur. Le débouché des quinze arches est de 366 mètres; la somme des épaisseurs *des piles est de 68°*, 1 8, ce qui donne une longueur totale entre les culées de 434°*, 1 8. De ce nombre déduisons 48 mètres, épaisseur totale des douze piles, et nous aurons pour le nouveau débouché SSô*", 1 8, nombre

qui excède celui du pont de Tours de 20", 1 8, et dont le -^ est

2 9"»7o6i5. Telles seraient les dimensions des ouvertures dés arches. Au lieu de nous donner la flèche , nous admettrons la condition que l'ordonnée des naissances reste la même : or, d'après les planches de l'ouvrage de Gauthey, cette ordonnée peut être évaluée à environ 10™, 80. Soient donc

5= 1 4^853 1; Y, = 10^80; Ac=o^65; on trouve la solution suivante :

lti.= 44^169; jx, = 53^837; \ = 71-^182.

On observera que la flèche excède celle adoptée dans la construction, de G""; 6 84; elle est donc plus favorable à la navigation et à l'écoulement des eaux. L'épaisseur ne présente rien d'exagéré, et la valeuï de fs^ répond à — - de la résistance absolue des

pierres de Saillancourt i** qualité. Si Ton admet que les matériaux présentent ime résistance même un peu inférieure à cette dernière , la solution que nous venons d'obtenir pourra être regardée comme préférable au projet qui a servi de base à l'établissement du pont de Tours.

Quant aux piles, les nombres précédents donnent 6i t= i"',376, dont le double est 2^,^62 : or cette quantité est de beaucoup inférieure à la largeur 4 mètres des piles; les matériaux intérieurs des piles n'auront donc pas besoin de présenter une résistance aussi grande que celle des voussoirs, les parements extérieurs seront seuls assujettis à la condition d'être aussi résistants que les voussoirs siu» une profondeur égale à l'épaisseur de ceux-ci, et encore suffîra-t-il qu'il en soit ainsi vers la partie supérieure des piles.

Pont des Chavamies, à Chalon-sur-Saône.

Ce pont, construit par Gauthey, est composé de sept arches surbaissées au tiers, ayant i3 mètres d'ouverture, et par conséquent 4°',3333 de flèche. L'épaisseur des piles est de 4"*,66. Si nous admettons que la charge au-dessus de la clef soit o™,65, les données seront

g = 6^5; /= 4^3333; A = o^66, d'où.^= 1,6,

et l'on obtiendra la solution suivante :

Y,= ô^giôS; ^A"'^! 1^6681; e=z 0^9181;

fi, = 18^,980; ft, = a3*,884; 7 = 21-^928.

L^épaisseur est un peu forte pour des arches d'aussi faible portée; la valeur de fti est en même temps très-faible : les pierres de la moindre qualité présenteraient une résistance suffisante. Construites avec ces valeurs, les arches pécheraient plutôt, si cela était possible, par un excès de stabilité que par l'excès contraire.

Si le pont était à reconstruire, nous ne nous arrêterions pas aux chiffres que nous venons de trouver. On lit, en effet, dans l'ouvrage de Gauthey, page i o i : « La disposition du terrain ne permettant pas d'élever suffisamment la surface du pavé du pont, les grandes eaux montent jusqu'à la clef des arches; et afin de compenser la diminution de largeiu* que leur débouché éprouve à mesure qu'elles s'élèvent, on a pratiqué dans la partie supérieure des piles des ouvertures ovales de 2™,6 de largeur. » En considtant les planches qui accompagnent le même ouvrage, on trouve que la hauteur du pavé au-dessus des naissances est de 6°*,3o environ.

Pour obvier à l'inconvénient signalé par Gauthey, il faudrait augmenter le débouché, ce qui peut se faire de diverses manières: par exemple, en réduisant l'épaisseur des piles. Réduisons cette épaisseur -à 3™, 60, les six piles donneront un accroissement de débouché égal à 6.i™,o5 = 6°',3, lequel, réparti également entre les sept arches, donne pour chacune un accroissement d'ouverture égal à 0*^,9 : les nouvelles dimensions des ouvertures seront de la sorte 13°*, 90. Nous pourrions aussi élever les naissances; mais conservons leur position et celle du niveau de la chaussée: l'ordonnée des naissances pourra être prise , d'après les dessins de Gauthey, égale à 6",3o environ. En partant des nouvelles données

on trouvera la solution suivante :

/= 4^6a48; h' = 1^6593; e z= i",oo93;

(Xo = 19^621; jx, =24^872; j= aS-'Sioil.

Indépendamment de Taccroissement du débouché dû à la réduction de la largei^* des piles, la flèche que nous trouvons ici, et qui excède celle adoptée de 0^,291, détermine un nouvel accrois* sèment du débouché; et l'on aperçoit, sans calcul, que l'accroissement total excède de beaucoup cdui qui est dû aux ouvertures pratiquées au sommet des piles. Les considérations présentées dans l'exemple précédent, au sujet de la laideur des piles, sont applicables ici. L'épaisseur à la clef est très-admissible, et la valeur de |x, excède à peine celle trouvée dans la première solution; en sorte que les pierres les moins résistantes pourraient encore être

employées. La surface -- du profil de la demi-arche et de son

massif est augmentée de - environ, mais cet accroissement est en