RÉFLEXIONS GBMBRALES SUR LA THEORIE EXPOSEE DANS CE MEMOIRE

52. Les deux conditions que nous avons établies pour obtenir une très-grande stabilité dans les arches de pont« sont que la résidtante des pressions dans les joints passe très^près du milieu de Tépaisseur des voussoirs, et que cette résidtante soit normale aux plans de joint. Pour remplir le mi«ux possible la première de ces deux conditions, nous avons supposé, dans la mise en équa* tion, les surfaces de joint réduites à celui de leurs éléments qui rencontre la courbe des centres de gravité, et nous avons admis que le contact étant ensuite rétabli sur des portions égales du plan de joint de part et d'autre de l'élément primitif, les pressions se répartiraient uniformément sur toute l'étendue du nouveau joint :

les défauts d'exécution des surfaces de joint ou d'homogénéité des Youssoirs et des mortiers pourraient empêcher qu'il en fût ainsi ; mais ce sont là des causes accidentelles. La seconde condition, relative à la direction normale de la résultante des pressions, a été remplie par le seul fait que les actions tangentielles ou frottements n ont point été introduites dans les équations de Téquilihre : il est facile de réaliser cette condition dans la pratiquera l'aide de quelques précautions apportées dans la pose des voussoirs.

Nous avons vu comment les accidents de ruptiu'e qui se manifestent après le décintrement, dans les voûtes partiellement extradossées en gradins, peuvent être attribués à ce que la résultante des actions exercées par les assises sur les voussoirs est alors dirigée obliquement à l'extrados. L'indétermination des actions exercées sur la voûte dans ce genre de constructions et dans le cas où le massif est un simple blocage, jointe à des considérations théoriques, nous ont fait rechercher une disposition des matériaux formant le massif, qui, au frottement près (et il est inutile d'y avoir égard), donne lieu à des pressions normales égales à celles que produirait un liquide de même densité que le massif et soumis supérieurement à la même charge que celui-ci. C'est à cette disposition que s'appliquent ensuite nos calculs. Il n'est pas indispensable qu'elle soit réalisée en toute rigueur ; il suffit, pour que nos calcids fournissent des indications satisfaisantes, que l'on supprime la disposition en gradins^ comme le font déjà beaucoup d'ingénieurs, ou que la surface extrados soit sensiblement continue , sinon dans toute l'étendue de la voûte, du moins dans l'espace où l'inclinaison des joints avec la verticale s'étend de 18® à 76® environ.

Les résultats auxquels nous sommes parvenu [*) sont essentiel-

(*) D ne sera pas sans intérêt de montrer jusqu'à quel point la manière abstraite dont les géomètres du siècle deraier ont traité les questions de statique , leur permettait cependant d^obtenir des solutions applicables aux cas de la pratique. Ces géomètres assimilaient l'équilibre des voûtes à celui d'un système d'éléments matériels de dimensions infiniment petites : c'est de cette manière qu'ils ont trouvé que la forme d'équilibre d'une voûte infiniment mince et d'épaisseur constante devait

lement relatifs à Tétat de la voûte après le décintrement, celle-ci étant supposée soumise aux actions de son poids, de la surcharge permanente et aux réactions mutuelles de ses parties; de sorte qu'il faut encore rechercher quelle doit être la forme de la voûte sur ses cintres, pour cpi'elle prenne, après leur enlèvement, la forme déterminée par la théorie que nous avons exposée. En un

être celle d*ime chaînette renversée, lorsque la voûte est soumise uniquement à l'action de son propre poids.

Dans la question des arches de pont soumises à des forces normales dues à la pression d*un liquide, la manière de laire des anciens géomètres conduirait a des résultats identiques avec ceux quon déduirait de nos équations en y faisant i = i , et nég^geant les termes dépendants des épaisseurs autres que le terme fini

efio = -^' : l'expression (w) du rayon de courbure traitée ainsi, donne immédiatement

Nous avons obtenu cette équation sous une autre forme , dans notre deuxième article sur Y Equilibre des voâtes en berceaux cylindriques, en nous plaçant au point de vue abstrait des géomètres.

Or si Ton néglige seulement les termes du deuxième ordre dans le cas de i = i , la première équation (xxiv) se réduit à

on a d'ailleurs par Féquation (vî) , entre ç*. Q", h' et e, la relation

d*oà il suit que les deux rdations précédentes seraient identiques, si les termes h^e — - e* pouvaient se réduire à zéro ou être négligés. Or, dans les arches de

pont, k' étant généralement supérieur à e dune fraction assez faible, le produit ft^^ est du deuxième ordre, et l'opposition de signe de ces termes atténue l'erreur commise en les né^igeant entièrement. On peut donc dire que la solution abstraite ne diffère de celle plus approchée que nous avons obtenue, que de quantités du deuxième ordre, et nous avons vu qu'en pratique ces termes sont presque négligeables. La transition de la solution abstraite à la solution pratique consisterait à

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mot, ia question de Tinflexion est encore à résoudre; mais* elle ne nous pai^t pas susceptible d^étre traitée rigoureusement, si Ton n étudie en même temps celle de l'équilibre du cintre luimême, question dans laquelle le mode de pose des voussoirs ne devra pas être négligé. Toutefois; nous croyons avoir établi que, si Ton s'astreint aux formes que nous proposons, si Ton prend les

décomposer la constante - q* en un produit de deux facteurs finis 6 et fu, le premier étatit très-petit par rapport au second, mais non pas infiniment petit.

L^assimilatioD faite par les anciens géomètres, de leur système idéal avec une voûte ou une arche de pont, n^étaît pas suffisamment justifiée a prim, et l'on conçoit que les ingénieurs n'aient tenu aucun compte de résultats théoriques ainsi obtenus ; mais il n'en faut pas moins remarquer l'espèce d'intuition qui a permis aux premiers de poser le problème de manière à obtenir des solutions beaucoup plus approchées qu'on ne devait rationnellement s'y attendre.

La solution approchée dont il vient d'être question donne lieu à une remarque digne d'intérêt : c'est que, à ce degré d'approximation, la courbe intrados coïncide avec la courbe dite élastique, dans un de ses cas particuliers. Considérons, en effet, l'équilibre d'une verge élastique assujettie à la condition de couper normalement l'axe des y en un point fixe dont l'ordonnée^soit fc', et sollicitée du côté des x posi* tife par une force P parallèle à l'axe des x et de même sens que cet axe» dont Tor* donnée du point d'application soit i" ; on aura , la concavité delà Yerge étant tournée du côté des y positifs (voir le Traité de Mécaiùquede Poisson, a* édition, n* 3o8),

équation où ^ désigne un coefficient qui dépend des dimensions de la section transversale de la verge et du coefficient d'élasticité de la matière dont elle est formée. Les conditions d'identité de cette équation et de l'expression renversée du rayon de courbure

sont

? Q" La première indique que la force P doit être appliquée dans le plan qui limite le massif supérieurement. Cette condition est fiicile à remplir au moyen d'une tige rigide di^Mwée parallMement à Taxe des y et liée invariablement à la courbe éHmtique en son extrémité libre : ia force P s'appliquerait au point ou cette tige rencontre l'axe des x» Si l'on conçoit une disposition toute par«Ue pour la partie de la verge située du côté des x négatiTs, et dans laquelle la force P soit de sens

précautions convenables dans Texécution et la pose des voussoirs, et que, d'ailleurs, on ait le soin de ne décintrer qu'après un certain avancement, sinon Tacbèvement entier du massif, Tinflexion de la voûte sera très-faible, ou du moins incomparablement plus petite que les inflexions observées jusqu'ici (*).

.Quant à l'action des surcharges accidenteUes et des chocs- proopposé à la première, il est érident que Ton pourra supprimer le point fixe; il y a plus : les deux forces P égales et de sens opposés pourront être remplacées par une troisième tige rigide de longueur égale à la corde qui joint les deux, extrémités libres de la vei^e , et placée dans rintervalle compris entre les deux premières tiges , de manière a coïncider avec Taxe des x. En supposant mesurée la compression qu*éprouverait )a troisième tige, sa valeur P permettrait de déduire, de la seconde équation de condition, la valeur du paramètre Q de Téquation de Tintrados.

Nous ne^ pouvons exposer ici comment l'appareil que nous venons d'examiner pourrait être utilisé dans la résolution des questions relatives aux arches de pont, ni comment on parvient, par de simples raisonnements, à vérifier la dépendance mutuelle des trois quantités/, ^ etYi dans les arches complètes, et à distinguer le cas où ces arches se réduisent au plein cintre ; chaèun le devinera aisément. Mab la construction de nos Tables permettant d'obtenir une exactitude très^sufpsante , le rapprochement de deux problèmes aussi difiiérents en apparence que ceux des arches de pont et des lames élastiques n'oflre plus qu'un intérêt puren^ient spéculatif.

(*) Nous ne pouvons exposer dans ce mémoire les recherches que nous avons entreprises sur la détermination de la forme à donner aux cintres supposés parfaitement rigides, pour que le profil de la voûte, après le décintresient, devienne identique avec celui qui résulte de notre théorie , dans le cas où l'opération du décintrement serait effectuée après l'achèvement du massif : le résultat de ces Techerohes est trop incomplet Nous avons pu obtenir l'expression des limites de Taccroissement de flèche qu'il conviendrait de donner aux cintres : malheureusement, on ne possède aucune notion satisfaisante sur l'élasticité des pierres à bâtir et ^es mortiers ou ciments. Pour nous faire une idée de l'ordre de grandeur de l'inflexion du sommet d'une arche, inflexion qui est toujours en raison inverse du ooefiicient d'élasticité de la matière de la voûte , nous avons été réduit à supposer que les ciments solidifiés se contractent à peu près comme les voussoirs eux-mêmes , et à prendre un coefficient d'élasticité moyen entre ceux que l'on emploie ordinairement pour le bois et la fonte de fer. En faisant l'application de nos formules et de ce coefficient moyen aux grandes arches que nous avons étudiées n*" 47 et 48 , nous avons trouvé des variations de flèche notablement moindres qu'un centimètre. Ces résultats nous paraissent confirmer l'opinion énoncée dans le t^te, malgré l'incertitude que présente le coefficient d'élasticité employé. Beaucoup d'ingénieurs assurément regarderaient de pareilles inflexions comme négligeables dans la pratique.

duits par le mouvement des lourdes voitures {*), nous avons vu que l'un des moyens à employer pour en prévenir les efiPëts désastreux consiste à faire en sorte que dans Tétat d'équilibre de la voûte non soumise à ces actions, la résultante des pressions passe très-près du milieu de l'épaisseur, et soit normale au plan de joint. Or notre théorie comprend déjà ces conditions. Mais il résulte des remarques du numéro précédent, que Tune des arbitraires du problème est assujettie pratiquement à rester dans des limites assez restreintes, pour qu'on doive plutôt la regarder comme une indéterminée dont on ait à profiter pour satisfaire aux nouvelles conditions statiques ou dynamiques* résultant de la considération des surcharges accidentelles. Voici donc une nouvelle question à traiter dont la solution devrait précéder l'application de la théorie de l'inflexion de la voûte et de l'équilibre des cintres (").

Tels sont les deux importants problèmes à résoudre pour que la question de l'établissement des arches de pont soit entièrement résolue : la théorie exposée dans le présent mémoire nous paraît

(') Le mouvement des locomotives sur les ponls- et viaducs détermine des pressions variables dues au mouvement relatif de leurs différents organes; en sorte que pour tenir compte de la surcharge qui en résulte, il faudrait connaître les valeurs de ces pressions : à cet égard, nous renverrons aux n** 20 et 28 de notre Théorie de la stabilité des machines locomotives en mouvement

(*') Ici ks difficultés provenant de Tindétermination des pressions dans les joints ne pourraient être levées par le procédé qui nous a réussi lors de la mise en équation; il serait de toute nécessité d'introduire Télasticité des voussoirs. En attendant qu'une solution rigoureuse se produise, on pourrait procéder pa^ voie de tâtonnements. Attribuant, par exemple, à Findéterminée dont nous avons parlé, une valeur prise entre de certaines limites, et faisant Tapplication de notr« théorie, on examinerait, à Taide des procédés en usage, quelles sont, pour un mode donné d action des surcharges accidentelles, la situation du point d application, la direction et l'intensité de la résultante des pressions en chaque joint; et l'on ferait varier l'indéterminée jusqu'à ce que l'on parvienne à des valeurs telles , que les trois éléments de la résultante des pressions restent compris dans des limites que la pratique tolère. Si l'étendue des valeurs de l'indéterminée qui satisfont à ces conditions restait sensible, on en profiterait pour choisir celle qui se rapproche le plus de la valeur donnée primitivement.

être le véritable point de départ dans Tétude de .cette matière difficile.