MA R

et, d'après Téquation (a'),

1 (fe dx'

en faisant abstraction du douUe signe; on en tire

égalant le second membre de cette équation à la valeur de M A — tirée de l'expression de ^Adw" , il vient

^»+ ( A^-. e)^ -.y'» =r A--BA«+C (cos'ip -- sin*^ + c» îi^^^^

\{P) + D( — +ac'— ^;— .J + G( . ^. +3c'-— ^r-j.)

Cette relation entre y" et (p étant générale, doit pouvoir être aisément vérifiée dans certains cas particuliers.

Soit, en premier lieu, j" = A" ordonnée du sommet de Tintrados, Féquation (o') donne tang^ = o , d'où sin'^ = o, cos'^ = i , et A =: 1. Ces vdeurs étant substituées dans Téquation (p^), il en résulte la relation suivante entre les coefficients,

Soit, en second lieu i ^ = — f A*' -f- a ^-r-^ e\ ordonnée du point

de la branche supérieure le plus voisin de Taxe des x, Téquation (o') donnera pareillement tang(p r= o, et Ton aura comme tout à rheure sin*^ ^= o, cos*^ :r=: i ; mais le point dont il s'agit appartenant à la branche supérieure, nous devrons, d'après ce qui a été dit au n® 1 5 , donner à Â le signe — , d'où résultera A = — i . Substituant ces vdeurs dans l'équation (p^), il viendra

7*-!iA'e+e«-4^A'e-4{^)*e«-A-.B+C-D+G. (r")

Soustrayons membre à membre cette équation de la précédente , nous aurons d'abord

puis, en divisant par ^ et transposant,

Or cette vdeur de D est précisément celle qui fait partie des équations [n"); il est donc seulement nécessaire de vérifier la relation (/) pour que les deux équations (/) et (/) se trouvent à la fois vérifiées.

Il suflSt de jeter un coup d'œil sur les équations [n') pour voir que la somme des termes de Tordre de 7* contenus dans les seconds membres, en y changeant le signe de B, se réduit effectivement à (i\ ainsi que Texige la relation (9'). La somme des coefficients des termes du premier ordre qui ont tous h'e pour facteur

est — a -f- a — : t -h a — :— , somme qui se réduit évidem-

ment à — a, conmie dans Téquation {/). Enfin, cette même équation exige que la somme des coeflBcients de e*, dans le second membre de (n'), se réduise à Tunité. Or cette somme est

On pourrait encore appliquer Téquation {p") aux ordonnées extrêmes y' = 8 4- ^^ c, et y == — [8 — ^-7-^ ej pour lesquelles onatang(p=it: 00 etsin*^= 1 ; mais alors on a A= db vHT — c*,

OU, d'après la note du n® 19, A = ± r= , et la vérification

ne pourrait s'opérer algébriquement qu'au moyen de développements fort longs dans lesquels nous nous dispenserons d'entrer, pensant que les vérifications précédentes et la comparaison des valeurs numériques fournies par l'équation {0") avec de nombreux tracés déduits de l'expression [w) du rayon de courbure, prouvent suffisamment l'exactitude de nos formules.

DETERMIIfATION DBS CONSTANTES.

22. Avant de nous livrer à l'examen des deux cas principaux que présente la question des arches de pont, lesquels sont ceux

iS

des arches dites en arc de cercle et des arches en anse de panier, nous croyoos devoir résumer ici les diverses £drmules auxquelles nous sonunes. parvenu dans les numéros précédents, en les présentant dans Tordre de leur application, et modifiant l'expression de quelques coefficients suivant Les indications fournies par la note du n"" 19 ; et cela» dans le but d'éviter de faire dépendre un coefficient de la différence de grands nombres peu différents. Il résulte de cette note que Ton a

Or, d'après la note du n® 15, on a d'ailleurs

M*=:N--4«2K, et, par suite,

B = M« = N*-hC.

Enfin, nous avons trouvé, n^ 17, il en résulte

Nous nous servirons de ces relations pour déduire des équations

(0» (^)' (n» (^')» i^")^ i^*')^ ^ {^)y ^^^ formules qui vont figurer dans le tableau suivant :

DES ARCHES DE PONt.

TobUaa dei formule» nktivti à l'équation de la couiie inUraiot. A' == A -4- c

iri--- 1

b = c-hn>

tang'® = - — ^— r-^ — L

1 — c' sin'(p

' J» ^ f par les fonoittlea 4u n* ao,

(> ou par les Tables d« fonetioD*«yi|>tiipM.

y/B.»' = A.F (tf, 9) — B.£ (c. (p)-+-*C

sin^ cos^

U -; hlj

Il résulte de Tinspection de ce tableau, que si Ton considère comme domié le rapport i de la densité du massif à celle de la voûte, les formules qui le composent ne se trouvent renfermer d^autres constantes indéterminées que les trois quantités e, fi» et h.

23. Les données ordinaires d'un projet d'arche sont : la demiouverture, la hauteur sous clef à partir des naissances, ou la flèche, puis la hauteur de la charge au-dessus de la clef, que nous avons désignée par A. (Nous verrons, dans la deuxième partie , comment on ramène à dépendre de ces données, la solution des questions où Tune d'elles serait remplacée par une condition relative à la difiérence de niveau des naissances et de la chaussée.) n résulte de cette énumération, que le nombre des' inconnues à déterminer se réduit effectivement aiix deux seules quantités e et fio. Souvent on se dispense d'avoir égard à la charge h dans le calcul d'une arche, et cependant elle mérite plus d'attention. Disons d'abord que la hauteur de cette charge provient ordinairement, dans les ponts, d'un lit de maçonnerie en béton, reposant sur le plan horizontal tangent à l'extrados, d'une couche de cailloux, d'une autre de gravier, d'une couche de sable, et enfin du pavé lui-même, quant à la chaussée; dans les ponts-canaux, plusieurs de ces couches sont remplacées par une couche d'eau. Nous supposerons remplacée, pour le calcul, la hauteiu* de chacune d'elles par la hauteur d'une couche de la matière du massif qui aurait le même poids, ce qui se fera en la multipliant par le rapport de sa densité propre à celle du massif; et ce sera la somme de ces hauteurs réduites que nous désignerons par h.

Actuellement, distinguons les deux espèces d'arches dont nous devons nous occuper. L'équation de l'intrados que nous avons obtenue ci-dessus est celle d'une courbe qui diffère assez du cercle pour qu'on ne doive pas nous supposer l'intention de lui substituer tm arc de cercle, même vers le sommet : néanmoins, pour éviter toute confusion, nous désignerons par arches incomplètes celles du genre des arches dites en arc de cercle, dans lesquelles les tangentes extrêmes à l'intrados réel feront, avec l'horizontale,

un an^e moindre que 90®; et nous nommerons arches complètes les arches en anse de panier où ces tangentes extrêmes sont verticales. Ces dénominations se justifient par la considération des angles que font les tangentes menées au sommet et aux extrémités de rintrados.

Soient / et jf la flèche et la demi-ouverture données. Dans le cas des arches incomplètes, se donner ces deux quantités, revient à faire passer la courhe intrados par un point donné dont la position est celle des naissances, et il ne peut résulter de Texpression des coordonnées x" et y" en fonction de f et g, qu'une seule équation de condition entre les données et les inconnues du problème; d'où il suit que, dans les arches dont il s^agit, on peut prendre arbitrairement Tune des quantités e et (i^. Dans le cas des arches complètes, outre cette condition résultant des données / et g, il en existe une autre introduite par la verticalité des tangentes extrêmes , et qu'on exprimera en écrivant dans Téquation propre à fournir le maximum de Tabscisse dé Tintrados réel, à la place de y", sa valeur en fonction de /. On a donc ici deux conditions qui suflBront pour déterminer e et fto.

La constante |x« est la valeur au sommet de Tarche, de la variable |x dont nous avons expliqué le caractère au n° 6. Cette variable exprime, ainsi que nous l'avons dit, la hauteiu* d'une colonne de la matière des voussoirs dont le poids produirait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans les joints normaux. Cette quantité, d'après l'expression (v), croît depuis le sommet de l'arche avec les ordonnées, et il importe que la plus grande valeur qu'elle puisse prendre ne dépasse jamais ime certaine limite fixée par la résistance des matériaux employés. Nous désignerons par [k^ la valeur de |x au point inférieur de la voûte, ou dans le joint des naissances. Il est bon de connaître à peu près la plus grande des valeurs de |x ou de jx^ qu'on puisse adopter. Or Navier, dans son Résumé des leçons sur V application de la Mécanique, n® 176, fixe la limite des pressions que l'on peut employer avec sécurité dans les arches, à 6 1 o kilogrammes pour ime surface de 2 5 centimètres

carrés. On en déduit ft=: loo mètres, si Ton prend pour poids du mètre cube, *&= a44o kilogrammes; c'est le poida du liais de Bagneux : les autres pierres employées aux environs de Paris donneraient des valeurs de |x un peu plus fortes, à cause de leur moindre densité. Suivant Navier, on ne s'exposerait donc point à trop chaîner les voûtes, toutes les fois que |x ou f*i tte dépasserait pas 1 oo mètres. Il va sans dire que les matériaux employés doivent présenter, quant à lai résistance, les qualités des pierres em** ployées dans les bonnes constructions, comme celles <jue Navîer a dû avoir en vue, lorsqu'il a énoncé son assertion. Nous poiicvODS présenter un exemple frappant dans lequel on reconnaîtra tellement que la limite |x == loo mètfes a été dépassée; les piliers prismatiques de laqueduc de Spotette oni|4usde loo aotètres de hauteur, et sont chai'gés d'une énorme construction à leur pcartîe supérieure : il est facile d'en conclure^ malgré le défaut d'indications sur la dureté et la densité des pierres employées, que la valeur de ^ à la partie inférieure des piliers, doit excéder 1 oo mètres.

Nous allons maintenant t^rer de l'équation {v) une relation entre fA« et (Xi. Cette équation est

nous rappellerons qu'on y a négligé les termes du deuxième ordre qtii se trouveraient être du troisième par rapport à |x : or, si nous négligeons les différences des coordonnées de Tintrados réel et de l'intrados fictif, qui sont du deuxi^e ordre de petitesse, nous aurons, à ces différences près, ati point Inférieur de l'intrados,

d'où et

^f^ih',

substituant cette vateur dans Féquation précédente, et écrivant fAi au lieu de |x, on en déduira

on tire inversement de cette équation

exp^ssion dans laquelle /pourrait être négligé devant (x^ au dénominateur du dernier terme.

L'usage de ces équations est facile à saisir : dans le cas des arches incomplètes où fi» est arbitraire, on fixera la limite |Xi arbitrairement, mai« de sorte qu'elle ne dépasse pas loo mètres par ex^nple, et Ton déduira jx, de Téquation (a^). Lorsqu'il s'agira â!arches complètes , et que fi^ et e auront été déterminés de manière à satisfaire aux deux conditions éncmcées plus haut, on fera usage de l'équation {f) pour calculer pt, et s'assurer que sa valeiu* ne dépasse pas la limite de (i qu'on aura adoptée; si elle la dépassait, il faudrait nécessairement modifier les données du projet.

CAS DBS AACHBS IJXCOMPlÀnS, DITB8 EN AMC DS CERCLE,

24. Nous avons vu dansie numéro précédent qu'une des deux constantes è et fi, reste arbitraire dan64es arches incomplètes : cela résultera avec évidence des calculs qui vont suivre. En général, on n'a aucime raison de se donner a priori l'épaisseur à la clef, ou Qn un joint quelconque, tandis qu'au contraire on est intéressé, dans le but d'économiser les matériaux, à utiliser leur résistance, à faire supporter à chaque joint la plus grande charge possible par unité de surfieice. U est clair; en effet, qu'un joint devant résister à une chai|[e totale déterminée, si la pression par unité de surface est inférieure à celle maximum que la pierre

ou le mortier pourraient supporter sans inconvénient, la surface du joint, et par suite, le volume du voussoir seront plus grands que si la pression par imité de surface était portée au maximum, la pression totale restant la même. Nous ajouterons, à ce sujet, une observation qui eût peut-être été mieux placée ail^ leurs, c est que la condition que la résultante des pressions passe par le milieu de Fépaisseur est également favorable à la diminution de rétendue des surfaces de joint; cela résulte de ce que la pression par imité de surface va en augmentant vers les extrémités de la surface de joint dont se rapproche la résultante des pressions : en effet, lorsqu'elle a atteint son maximum vers ces points, elle se trouve, dans les autres, plus ou moins au-dessous de ce maximum, et la pression totale devient moindre que pour un joint d'égale étendue dans lequel la résultante des pressions passerait par le milieu, et où la pression par unité de surface serait portée à la même valeur maximum que dans le premier. Donc, si la pression totale que supporte le premier est donnée, en faisant passer la résultante des pressions par le milieu du joint, on pourra réduire son étendue sans augmenter la pression maximum par unité de surface.

Ces considérations doivent engager les ingénieurs à adopter autant que possible les plus grandes valeurs des pressions par unité de surface dans les joints, ou de la quantité (x qui les représente. On pourra se donner généralement fti a priori, pourvu qu'il n'excède pas loo mètres suivant Navier, et l'on déduira jx, de l'équation {u") que nous reproduisons en y joignant sa relation avec q* :

Disons cependant qu'on pourrait au besoin profiter de ce que la quantité |x» reste arbitraire pour l'assujettir à quelque condition particulière.

Il reste maintenant à déterminer e. Nous allons former une équation entre cette quantité, la flèche / et Tordonnée du point inférieur de Tintrados» que nous désignerons par f^. Rappelons que l'intrados fictif et Tintrados réel sont distants de la quantité 2 ^, différence entre l'épaisseur réelle t et Tépaisseur fictive e, mesurée suivant la normale [voir équation [e] ]. Il en i:ésQhe que la valeur de l'ordonnée du point inférieur de Tintrados réel est

/i-f-2^iC0saM

en désignant par l'indice i les quantités qui se rapportent à ce point. L'ordonnée du sommet de l'intrados réel est

mais la différence de ces ordonnées est égale à la flèche /, d'où il suit que l'on a

/ = /i — V — 2<îo-+- atîiCOSOi:

mettant ici pour 2 j, et 2 ^1 leurs valeurs tirées de [x) « et prenant la valeur de j^,, il vient

/.=/-l-A'-f-ij;(A'-/.co8«.).

Or le dernier terme du second membre étant du deuxième ordre ^ on peut y substituer à y'^ et cosOi leurs expressions privées des termes du premier et du deuxième ordre. Remplaçant d'abord A' par^,^- — /, la parenthèse devient

/, (1 — cosOj) — /;

mettant ensmte pour 1 — - cos ot, sa valeur approchée -^ — - — ou

toc SUR L'ÉTABLISSEMENT

/ , eif-h h!^ à la place de /,, l'expression précédente se

réduit à

et il vient finalement

On pourra le plus souvent négliger le dernier terme de cette expression.

Soit de môme x\ Tabscisse du point inférieur de l'intrados fictif, on aura évidemment

x^ = ^ -+- 2 ^i sina, ,

et la valeur de sina^ dans cette équation pourra se déduire de celle de 1 — cosfti obtenue plus haut en négligeant les termes du premier et du deuxième ordre : nous aurons ainsi les deux relations

cosai