f- cosotj == a
d'où, en multipliant membre à membre et extrayant ensuite les racines.
sma, = V 1 — cos'ax = \^ -^—^ — - 2 — ui^ — 1\
La première des deux équations précédentes donnerait d'ailleurs la valeur approchée de - ot, , en l'écrivs^nt comme il suit :
On a enfin
La valeur ci-dessus de x"^^ en passant tous les termes dans le premier membre» donne Téquation de condition
dans laquelle le second terme sera le plus souvent négligeable.
Cest maintenant du système des équations [s') jointes à (r*), [uf] et (x^), quil s^agit de tirer la valeur de finconnue e. On comprend rîmpossibililé de féHmination et la nécessité de recourir aux méthodes de tâtonnements ou d'approximations successives. On pourra y procéder, soit en s'aidant de tracés fondés sur l'expression [w) du rayon de courbure p*, soit au moyen des seuls calculs numériques. Voici, en nous en tenant pour le moment à ces derniers, comment il faudra s'y prendre : on attribuera à l'inconnue e ime valeur hypothétique plus ou moins approchée, dont nous allons bientôt donner le moyen de fixer les limites; puis, s'étant donné (Xi dans les limites indiquées plus haut, on calculera (i,, 9* et y^ par les équations [v*) et (w"); on calciJera ensuite x" par le système des équations (/) dans lesquelles on fera y" = y^, et Ton substitueria cette valeur pour a?^, dans le premier membre de Féquation [x") qui devrait s'annider, si la vaîeiu* hypothétique de e d'où l'on est parti se trouvait être égale à celle cherchée. Comme il n'en sera pas généralement ainsi, on fera varier ensuite cette quantité, et Ton recommencera les calculs, ce qui donnera, pour le premier membre de (a?*"), un résultat différent du précédent : xme simple proportion suffira pour corriger en grande partie l'erreur de e\ et, si l'on substitue la valeur qui a subi une première correction, on aura Un troisième résultat déjà beaucoup plus voisin de zéro que les deux premiers. Enfin ces trois résultats foiuiiiront un moyen de corriger la valeur de e au-
102 SUR L'JÉTABLISSEMENT
tant quil est nécessaire, soit en employant les courbes d'erreurs, soit en ayant recours à tout autre procédé d'interpolation. (Nous avons indiqué un de ces procédés déduit dû théorème de Taylor, au S XLVi de VEquilibre des voâtes en berceaux cylindriques, troisième article.) •
LIMITES DB LA YALBUR DB e, DANS LES ARCHES tNCOMPLÈTES, DITES EN ABC DE CERCLE ('}.
25. Nous obtiendrons une limite inférieure de la valeur de e, en partant de cette considération, que le rayon de courbure de Tintrados au sommet e$t plus grand que le rayon du cercle passant par les naissances et tangent à Tintrados en son sommet. Cette assertion se vérifie aisément : en effet, d'après l'équation [w) dans laquelle on fera, pour plus de simplicité, abstraction des fermes du premier et du deuxième ordre, le rayon de courbure va en décroissant à partir du sommet de l'intrados. Or, si le rayon de courbiu*e au sommet était égal à celui de l'arc tangent et passant par les naissances, la diminution du rayon de courbure ne permettrait pas à la courbe d'atteindre les naissances, et celle-ci serait embrassée par l'arc de cercle dont le rayon est constant; il en serait de même a fortiori si le rayon de courbure de l'intrados se trouvait au sonunet être plus petit que le rayon de l'arc tangent. Donc, pour que l'intrados passe par les naissances « il faut que ce rayon de courbure au sommet excède le rayon de l'arc tangent. On peut conclure de là que l'intrados embrasse l'arc de cercle vers le sommet, et de ce qu'ils passent tous deux par les naissances, il résulte que l'ange de la tangente extrême à l'intrados, avec l'axe des x, excède celui de la tangente à l'arc de cercle
(*) P. 5. Les Tables que nou» donaons a la fin de la deuxième partie de ce Mémoire dbpenseront de recourir aux formules proposées aux n** 25 et 27 pour obtenir une valeur approchée de Tinconnue e, dans le cas de î = i. Si le rapport i ne différerait pas trop de l'unité , la solution déduite des mêmes Tables serait une solution approchée qui dispenserait encore de Temploi de ces formides.
avec le même axe, ou bien que la normale à rextrémité de f intrados fait avec Taxe des y un angle plus grand que celui de la normale au cercle menée par le même point. Cette dernière remarque fournit le moyen de fixer une limite supérieure de la valeur de e.
Danis les calctds relatifs à ces limites, nous regarderons les intniudos réel et fictif comme se confondant en une même courbe, et nous négligerons les termes du deuxième ordre.
Soient p\ le rayon de courbure de Tintrados au sommet, et r celui du cercle tangent à Tintrados en ce point et passant par les naissances.
La première proposition s'exprime analytiquement par l'inégalité
Or on a entre la flèche, la demi-ouverture et le rayon r, Téquation
d'où l'on tire
d'un autre côté , si nous faisons j' = A' := A -f- c et cosa = i dans l'équation (w), nous aurons
>p'. = r^: Cr')
substituons ces valeurs dans l'inégalité a p'o :> 2 r équivalente à la première, et pour 7* sa valeur 2 -^, il viendra
..^— ii>/(.-H^),
d'où
et, a fortiori, '
,e[p,-iA-i/(n-^)]>tA/(t-+-^).
On en tire
Telle est la limite inférieure de e. Quant à la limite supérieure , elle se déduira de Tautre proposition, qu'on pourra traduire de cette manière : le cosinus de Tangle cLx de ia normale extrême à rintrados avec Taxe des y, est plus petit que celui de la normale au cercle; or ce dernier cosinus a pour expression ou
1 — -4^: mais à cause de la valeur ci-dessus de a r ou de a r/i la valeur de ce cosinus est i r^^\ on a donc l'inégalité
cosa. < 1 — ^..
Substituons à la place de coso^, sa valeur (a), en y mettant pour y" la valeur y, donnée par l'équation [vf) , puis A H- c à la place de V^ et négligeons les termes du deuxième ordre ; il viendra
/(/-hafc)-i>a€(/H-M
OU, en développant et réduisant,
ji-i:
Cette inégalité sera vraie, à plus forte raison, si, pour simplifier, on supprime au dernier terme la quantité — :— / qui sera positive dans les cas ordinaires de la pratique; midtipliant ensuite tout par 9" ou par sa valeur 2 -[^, il viendra
inégalité qui donne la limite supérieure de la valeur de e. Cette limite et celle précédemment déterminée laissent entre elles im intervalle assez considérable : nous indiquerons, sans toutefois en garantir la généralité, un moyen de déduire de ces limites ime valeur approchée de ^; il consiste à doubler la limite inférieure, prendre la moitié de celle supérieure, et ensuite la moyenne des deux résultats, ce qui revient à ajouter à la limite inférieure le quart de la limite supérieure, ou à preudre pour valeur afqprochée de e, Texpression
^/('-Hj.)(/-*->o^)
Le calcul des valeurs limites ou de la valeur approchée de e, suppose qu'on a préalablement calcidé fA« par la formule [v"), au moyen de la quantité donnée [ly. La correction de la valeur approchée s'opère ainsi qu'il a été dit au numéro précédent.
CAS DES ARCHES COMPLÈTES, OU SN AIVSE DE PANiEn.
26. Nous avons fait voir au n^ 23 comment les deux conditions résultant d'une flèche et d'ime demi-ouverture données, jointes à celle de la verticalité des tangentes extrêmes, suffisaient poiur déterminer les deux constantes inconnues e et (i^. Pour plus
de simplicité, nous substituerons à Tinconnue fio i^ quantité 9*/
liée à celle-ci par la relation
de sorte qu^ayant déterminé f* et e, on déduira de cette équation la valeur de jx,.
Nous exprimerons d'abord que la tangente extrême à Tintrados réel est verticale. Pour cela, observons que Tabscisse d'un point quelconque de cette courbe a pour expression
a;' — 2^sina;
nous aurons donc aux naissances de cet intrados,
d{x'^ — 2 S sina) = o , tfoù
d*' . d.iê ^ da
-j-z — sma -r^ — 2 d cosa — - = o.
dy df df
Or nous avons, par Tune des équations (x), on en tire
D'un autre côté, Ton a
i«r ds' da 1 ds' i
dy p dy p dy p'uam
substituant ces valeurs, il vient
cota 7 sma r- cota = 0,
ou
1 — — 7 sma tanga r = o,
et, par suite,
sinatanga = -^i — ^j.
Il y aurait à substituer à 3 ^, a et p\ leurs valeurs en fonctions de y", et à tirer la valexu* de cette ordonnée; mais nous opérerons plus simplement. L'écpiation précédente montre que le produit sina tanga est très-grand, ou que a est voisin de 90^ comme on pouvait le prévoir. Cette circonstance permet de faire sin a = 1
et de négliger -7 devant l'unité au deuxième membre : on a alors
tanga =:^.
Eliminant tanga entre cette équation et Téquation [a'), il viendra y ^ R
ou bien en affectant de Tindice 1 , les variables de cette exprès* sion qui répondent aux naissances de Tintrados réel, et prenant la valeur du dénominateur du second membre,
Désignons actuellement par y^, Fordonnée du point de Tintrados fictif où la tangente est verticale, et pour lequel on a cota = o, la même équation (a') fournira la relation
ou, à cause de h" — e = h,
y/« = 9* -h h\ Cette valeur permet de mettre Téquation précédente sous la forme
tfoù
/ii/.-^y.)
108 SUR LÉTABLISSEMENT
La différence des ordonnées des points de Tintrados^cfi/' correspondants aux tangentes verticales des deux intrados est, comme on le voit, une quantité du deuxième ordre, ce qui permet de substituer dans le second membre j^, ^^ et R, à f^^ S^ et R. , puis à ces quantités, leurs valeurs en y nég^geant les termes du premier ordre; de cette manière, on a d'abord
Actuellement, la valeur [z) de R" devient
et, en ayant égard à la valeur de y/*,
R.«==[^ — (A''» — A»)] [9«^^ *'• — *•], ou
mais à cause de A'^ — A = e, le dernier terme de cette expression est du deuxième ordre, ce qui la réduit à (j^. Substituant cette valeur et celle de ^, dans la différence ci-dessus, il vient
ou, à cause de j/' = y" -+- A%
On en déduit finalement
Quant à Fangle (90^ — On) du dernier joint avec Thorizontale,
il se déduira de la valeur de tiuaga obtenue fdus haut, et Ton aura
tang (90^ a,) = j ^*.
Maintenant nous allons faire usage d'une autre expression.de y'^y que nous avons formée pour le cas des arches incomplètes; elle est
/.=/-f.A' + i!;{A'-/.co8«0:
or l'expression de tang a donne y, cosai = 2 ^1 sinot^; cette valeur n'introduirait dans y'^ qu'un terme du quatrième ordre, nous devons donc n'en tenir aucun compte, de sorte que la valeur précédente se réduit à
11 s'agit actuellement d'éliminer j"^ entre cette équation et celle obtenue plus haut qui exprimé la valeur de la même quantité. Cette dernière donne , en négligeant les termes du quatrième ordre ,
Elevons la précédente au carré et éliminons j/% il viendra
^f» -+. A» - i e» = (/-f- A')» H- i A' (/-H A') ^v on en tire, à cause de A = A*^ — e,
9.=/(/-H..A')^aA'e-î(,-^:i:^).., et en mettant au dernier terme, pour q\ sa valeur approchée
110 SUR LÉTABLISSEMENT
Il reste à former Féquatlon qui lie la flèche /à la demi-ouverture ^ : on a ici, comme dans les arches incomplètes,
x^ = 5 -f- 2 5, sinot, ,
et nous avons vu qu'on peut faire sinai = i , tandis que Ton a
Substituons ky^^ et y*, leiu^ valeurs approchées f-i-h" et f{ /-Ha A*), il viendra
et Ton aura Téquation de conditioli
La détermination des constantes e et q* dépend maintenant de la résolution du système des équations ((T), [e"') et [c") jointes aux équations [s") dans lesquelles on fera y" = y^ et x" = af^. L'élimination ne sera pas plus praticable ici que dans Fautre cas; on sera encore réduit à Temploi des méthodes de tâtonnement, et voici comment on devra s y prendre :
On partira d'une valeur hypothétique de e plus ou moins approchée, que nous ferons bientôt connaître; puis, au moyen de l'équation [d") dans laquelle on a A'^ = A -4- e, on calculera la valeur correspondante de y". Celle de j^ sera donnée par l'équa^ tion (c") ou celle qui la précède , et l'on se servira de cette valeur particulière de. j" pour calculer, au moyen des équations (/), celle correspondante de x^ qui deviendra x^i : cette valeur devra être portée dans l'équation de condition [e"') qui pourra n'être pas satisfaite. Il faudra alors avoir recours aux méthodes de correction indiquées à la fin du n^ 24, pour corriger la valeur de e d'où l'on est parti , et recommencer les calculs jusqu'à ce qu'on en ait dé-
terminé une qui satisfasse à Téquation [e"). Toutefois, il ne faut pas oublier que la valeur de ft| ne doit pas dépasser certaines limites dont il a été question au n"" 23. On devra donc, après avoir obtenu les valeurs de e et q* qui satisfont à Fensemble des équation» du problème, calculer la valeur de ft, par Téquation
et en déduire celle de ft^ par Téquation (f) que nous reproduisons ici,
ou de ia suivante qu on obtient en éliminant ft, et q* entre celleci et les é(piations (d*) et {f).
En changeant h' en h -h- e dans les deux premiers termes, cette expression devient ^
Le dernier terme est très-petit, lors même que e atteint quelques mètres; il suffit, poiu* cette raison, de considérer les seids premiers termes dans la discussion de la valeur de ft^ : on reconnaît ainsi que cette grandeur (X| est d'autant moindre que e devient plus grand. Si donc la valeur trouvée de e est très-grande relativement, et qu'il en résulte une valeur assez petite de (X| ou de faibles pressions dans les joints, ce qui serait contraire aux principes de Téconomie dans les constructions, on en conclura la nécessité de modi6er les données. Du reste, nos formules basées sur Thypothèse que e et (X sont Tun petit et Fautre très-grand cesseraient d'être applicables.
VALEUR APPROCHSB DB 9 DANS LB CA5 DBS ARCHES COMPLÈTEa, OU EN AW3S DB PANIEJt.
27. La discussion qui nous a servi, n^ 25, à fixer les deux li- • mites de e^ dans ie cas des arches incomplètes, pourrait être repro- ' duite ici; mais ce serait sans application utile à notre objet. En effet, si nous voulions appliquer les deux propositions sur lesquelles nous nous sommes appuyé pour arriver aux deux in^ar* lités (/) et {oT) , nous devrions , dans les calculs qui les précèdent, remplacer q* par sa valeur [(T) en e, et nous obtiendrions, au *lieu de Tinégalité (/) qui donne une limite inférieure, Texpression d'une limite supérieure fort éloignée de la vraie valeur de e, et telle que nous pourrons, en partant d'autres considérations, obtenir une autre expression de la limite supérieure dont la valeur sera exactement moitié moindre.
Quant à la condition qui nous a fourni Fautre limite, et qui est exprimée par Tinégalité
COSOti < 1
à cause que cosAi est ici égal à zéro, elle se réduit k
oii à
Cette condition, rektive aux données seulement, ne peut rien fournir qui soit relatif aux limites de la videur de e; eUe conduit à cette conséquence remarquable, que les arches chargées doivent toujours être surbaissées^
Nous ne nous proposons ici que de donner une limite supé-
rieure de la valeur de e qui no différera pas considérablement de la valeur exacte. Il résxdte de la comparaison de nombreux tracés de notre courbe intrados avec des demi-ellipses ayant pour demiaxes les longueurs /et jf, que l'intrados, présente toujours plus de convexité vers les reins que la demi-ellipse correspondante, et que, par suite, il embrasse complètement cette dernière depuis le sommet jusqu'aux naissances. Cette circonstance indique que le rayon de courbure de Tellipse au sommet est plus petit que celui de la courbe intrados au même point; écrivons cette inégalité, en mettant pour le rayon de courbure de Tellipse son expression
t S tirée de (y*), nous aurons
connue ^, et pour le rayon de courbure de Tintrados, sa valeur p%
Substituons pour 9*, sa valeur (cT), et faisons disparaître le déno* minateur du second membre; il viendra, à cause de A' =: A + ^t
or, I étant <C 1 * on peut le remplacer par Tunité, dans le premier membre, ce qui augmentera l'inégalité. On peut aussi nég^g^r le terme en e' dans le second membre; car le facteur de é^ est
très-petit, d'abord parce que 1 — i et le rapport — sont trèspetits^ ensuite parce que les deux petits [termes où entrent ces quantités sont de signes contraires et tendent à se détruire : on pourra donc écrire
2 (e-hA) ^ </• -4-2 (e H- A)/,
OU
M«-HA)(^-i)</
et Ton en déduit
e-HA<:i^.
L'élimination de q* entre l'équation (eT) et l'inégalité (/) eût conduit à une limite supérieure de e -h A, double de celle que nous venons de déterminer. On peut obtenir une valeur approchée de € -h A en prenant les - de la valeur limite donnée par
l'inégalité (jf^) (nous donnons cette indication conune ressortant de nombreux calculs et tracés); on pourra même en faire usage pour se former une idée approchée deb dimensions auxquelles on arrivera au moyen de valeurs données de /, g et h. La correction de la valeur de e s'effectuera comme il a été dit au n^ 26 Q.
S'il nous est permis de raisonner sur la valeur approchée de e^ conune si elle était exacte, nous dirons que l'épaisseur augmente
avec la flèche et aussi avec le rapport -, c'est-à-dire avec/, lorsque
f ) N. B. Les Tables qui sont à la fin du Mémoire nous ont permis de rechercher ultérieurement des formules empiriques pour calculer Tépaisseur à la def e^, dans le cas des arches complètes ou Ton a i = i. Nous avons trouvé, pour les surbaisse*
ments usités qui sont cimpris entre les limites - et -:*
*,^4« ^ f, à-— près;
.&=-; {o,92a4i —0,19839-: )•, à—— près.
9 __ \ Jt *^^<^
g reste constant, et nous ajouterons que lorsqu'on aura trouvé e et fil , Tun évidemnient trop grand et Tautre beaucoup au-dessous de la limite loo mètres par exemple, il faudra, pour diminuer e et augmenter fi^ , diminuer la flèche , ce qui augmentera en même temps le surbaissementj il ny aura aucune difficulté à le faire, puisqu'il suffira, d'exhausser les naissances, pour avoir la même hauteur de la def au-dessus des eaux. Si l'épaisseur était évidemment trop petite et donnait lieu par conséquent à de très-grandes valeurs de (Xi, ce serait l'indication d'un trop grand surbaissement, ou de trop petites valeurs de/; il serait moins facile de remédier à cet inconvénient.
Ces considérations montrent que les arches en anse de panier se prêtent plus difficilement aux conditions qu'on peut vouloir leur faire remphr, que les arches incomplètes; cela tient à ce que, dans les premières, tout se trouve déterminé au moyen des données, au lieu que, dans celles-ci, l'une des deux constantes reste arbitraire. Il ne faudra donc point s'étonner si nos formules relatives aux arches en anse de panier conduisent quelquefois à des valeurs de e et |X| inadmissibles dans la pratique.
La deuxième partie du Mémoire présentera des exemples propres à mettre en évidence les effets produits par la variation des données. Nous ne pouvions ici que les indiquer sommairement.
P0U5S1ÉE DB LA YOOtB ET DU MASSIF CONTRE LES CULEES.
28. Nous n'aurons que peu de mots à dire opncemant les piles. En admettant que le pont se compose d'arches égales, on voit que les poussées horizontales exercées au sommet des piles se font équihbre, et que chaque pile doit résister à une action verticale égale à la somme des composantes verticales des pressions exer* cées sur les joints des naissances. des deux arches contiguës, augmentée du poids de la partie du massif qu'elle supporte directement.
Désignons par Ti la valeur de la pression totale T dans le plan des naissances, et soit toujours A la longueur de la voûte
parallèlement aux génératrices; on aura T, par Téquation [k) ou
celle qui suit :
la valeur de jXi sera donnée a priori dans lô cas des arches inconH plètes, et par f équation {h") dans le cas des arches complètes. Les composantes horizontale et verticale de cette pression seront
T. cosa,, T, sinot., (f)
et Ton déduira la valeur de Tangle a^ de l'expression de la tangente —, qui devient, en vertu de (a') et (rf'),
après qu'on y aura mis pour y'i, sa valeiu* {w") dans le cas des ardies incomplètes : dans le cas des anses de panier, on a
tang(9o»-a.) = ^ = j^.
La somme des projections verticales des pressions exercées par les deux arches voisines sur une même pile, est généralement
2T1 sina,.
Maintenant supposons que les plans de joint extrêmes des deux voûtes se rencontrent suivant les arêtes extrêmes des extrados, de sorte que la pile n'ait à supporter directement aucune partie du massif; la section horizontale de la pile sera égale à la somme des projections horizontales des surfaces de joint passant par les naissances; ^e aura pour expression
a Xe sinai
En «bvisaat k somme des pressions verticales par cette section, on aura pour valeur de la pression par unité de surface que supportera la pile à sa partie sypérieure ,
ou, d'après Féquation (A^),
Dans cette hypothèse, on voit que la pression par unité de surface transmise verticalement à la pile sera précisément celle qui a lieu dans le plan des naissances; de sorte que si les assises de la pile présentent la même résistance que les voussoirs inférieurs, il suffira de donner à la pile., lorsqu'on n aura égard qu'à la chaîne supérieure, une section horizontale égale à la somme des projections des plans de joint extrêmes.
S'il existe un intervalle horizontal entre les deux arêtes extérieures des deux derniers plans de joint, la pile aura à supporter directement une partie du poids du massif qui donnera lieu à une pression par unité de surface de beaucoup inférieure à tarfti, de sorte qu'on pourra évidemment donner à la pile toute largeur qui ne sera point inférieure à la somme des projections horizontales des épaissem*s extrêmes, lorsqu'il suffira d'avoir égard à la charge supérieure.
Quant aux culées, elles sont d'abord soumises à Faction de la force totale T| [équation [k")], faisant l'angle otj avec l'axe des x; les coordonnées de son point d'application sont
a?,=a^,-f- - c sina,, j
yi=yi — -«cosa»; J
mais les cidées reçoivent en outre les actions horizontales exercées par le massif qu'elles encaissent. Pour déterminer la résul-
tante de ces actions et son point d'application, nous aurons recours
à la relation (o) obtenue au n® 8, laquelle est
H'==iiïy/,
U' désignant la pression horizontale par unité de surface exercée par les prismeq tiîangûlaires sur les parties adjacentes du massif. L'équilibre de celui-ci exige que la culée exerce des réactions égales et opposées. La pression transmise à la cidée sur une étendue superficielle verticale Xdy située à la profondeur y\ est donc
i^Xydy\ et son moment
i7sXy*dy\
le tout, comme dans Thypothèse de la fluidité.
Pour obtenir les valeurs de la résultante et de son moment, il suffît d'intégrer ces expressions entre des limites qui sont les ordonnées du sommet et du point inférieur de l'extrados : soient y\ et y\ ces ordonnées, nous aurons ^
yo==h, ]
y\ = y\ — e cosa^. )
Intégrons maintenant les expressions difiérentielles précédentes et désignons par U et a l'intensité de la résultante et l'ordonnée de son point d'application, il viendra
et l'on en déduira, par division membre à membre,
résultat cfu'on mettra sous la forme
afin de faire disparaître rindétermination qui se manifesterait dans le cas où la différence de niveau y\ — y\ serait très-petite.
La partie de la culée située au-dessus du plan des naissances devra être construite d'après les mêmes principes que les murs de réservoirs, pour résister aux pressions élémentaires dont la force CI se compose, à cela près qu'il faudra substituer la densité du massif à celle de Teau et tenir compte de la pression représentée par ia hauteur h qui s'exerce au niveau du spmmet de l'extrados.
Connaissant maintenant les forces T^ et U, leurs directions, et les coordonnées de leurs points d'application, on aura toutes les indications que la théorie abstraite de l'équilibre de la vo^te et de son massif peut fournir, pour procéder au calcul de l'établissement des culées. %
CALCUL DBS GOORDONMBES , INCLINAISONS DBS JOINTS, HATONS DE COtRBCAB; ETC.
29. Ayant déterminé par les procédés indiqués aux n"^ 22 et suivants, les valeurs des constantes e, ft» ou 9*, les coordonnée^ des points extrêmes de l'intrados seront coimues : on se trouvera dès lors en mesure de procéder au calcul des coordonnées intermédiaires et des diverses quantités qui leiu* correspondent; on aura en mîème temps un moyen de vérifier l'exactitude des calculs, si l'on emploie la méthode des différences finies, comme nous allons le faire. Il est facile de se figurer quelle difficulté il y aurait à calculer, au moyen des formules (/), l'abscisse x" en fonction de l'ordonnée j" qu'on se donnerait arbitrairement; en admettant qu'on fit ce calcul, il resterait à faire celui de l'inclinaison des joints, par l'équation différentielle (a'). Le moyen que nous allons indiquer, fondé sur l'emploi du rayon de Courbure , aurait pu nous dispenser, à la rigueur, d'effectuer l'intégration des
i20 SUJR L'ÉTABLISSEMENT
équations différientielles du problèaie, mais la détermÎAation des constantes aurait présenté plus de difficultés.-
Nous allons nous proposer d'abord de calculer les différences finies des coordonnées de la courbe intrados, en prenant pour variable îndépeadante Tangle a des normales avec la verticale : nous ferons varier a de quantités constantes que nous désignerons p«r A a, et les coordonnées a;^ y' du point où la normale fait Tangle a varieront de quantités Ax", Aj' qu'il s'agit de délter-*miner. Nous ne prétendons point donner l'expression exacte de ces différences, mais seulement des ex[»'essions dont le degré d'apprpidmation sera d'autant plus grand que la différence Aa sera elle-même plus petite. Pour fixer les idées, nous supposarons qu'on veuille teaiiT compte, dans les valeurs de àx" et ày", des termes du deuxième cipdfe ou en e\ s£n qu'on soit sûr que le« valeiura de x" et y" obtenues par les additions successives das Ax' et iiy" ne soient point en erreur dans les, termes du premier ordre : il faudra, pour simplifier les calculs, choisir Att de telle sorte que les termes en Aa soient, ainsi que ceux en Ax" et Ay", de l'ordre de e ou du premier ordre. La différence Aa sera Assez
petite quand elle nlexcédera pas de beaucoup le rapport - qui s'est
présenté au commencement de nos calculs comme type des quantités du premier ordre.
Ceci posé, nous déduirons les expressions de Ax'', Aj^', de celles des différentielles dx" et dy", en mettant à profit ime proposition due, nous le croyons, à Legendre, et qu'on peut énoncer de cette manièrp : Si dans un système d'équations différentielles du premier ordre, on change les différentielles en différences finies, on peut donner au résultat un degré d'exactitude qui s'étende aux termes du deuxième ordre inclusivement, en augmentant en même temps chaque variable dépendante ou indépendante de la moitié de sa différence finie.
' Appliquons cette proposition aux valeurs suivantes de dx" et dy"^
dx* z=zfl' coha da^ dy' =:: p" eina da^ ,
DES ARCHL£5 DE PONT. ISl
ttona aurons .
^x" = (p' -h - Ap") cos (a -H ; Aa) Aa, i
A/ = fp' -+- - ApM sin (a-f- - Aa) Aa. \
Or, observons qu'en présence du facteur Aa , Fexpressîon p''--\ — Ap*
n*a besoin d'être exacte que jusqu'aux termes du premier ordre inclusivement; nous déduirons cette expression de. cpUe (w) di| rayon de courbure p"^ en mettant cette dernière sous la forme
et désignant par y^ une fonction des deux quantités y' et a. Différentions cette expression, il viendra
si ocms passons des différeDtiell^s aia différancfs iini^^, et que nous divisions tout par 2, nous aurons, aux quantités près dy deuxième ordre,
ajoutons maintenant^ membre à mambre, c^tte équation etcfMt qui donne la valeur de p", il viendra
mais, en vertu du théorème de Taylor, et en négligeant les termes du deuxième ordre, cette expression équivaut à
('] Nous aurions évité ce tour de démonstration, en appliquant immédiatement la proposition de Legendre aux expressions de daf éiBy^s mises sous la forme
Pour faire usage de cette formule dans le calcul des valeuiiB de A a;" et Aj", reprenons la valeur dep" équation (w), que nous écrirons comme il suit :
'coset
7 H : — e cosa
En vertu de la formule précédente et de la définition de la fonction yp, nous aurons
Cette expression, qui" contient plusieurs termes constants, se sinlplifiera nbtableiment dans Thypothè^e i ±=: t; mais, quoi qu'il
eii soit? elle renferme encore Tinconnue - A j^' :* rappelons à cet
égard qu'il sufiQt ici d'étendre l'exactitude aux termes du premier
ordre, d'où il suit qu'on peut substituer à - A j'*, sa valeur obte-
wtf à ce àegré d'approximation ; nous écrirons de cette manière
iA/=p%ma^", (a")
et c^e sera cette v^eur dont il faudra faire ujsage dans la formule(r).
Résumons ces diverses opérations. .
Après avoir fait choix d'im intervalle A a, d'après les principes énoncés plus haut, et avoir exprimé en rapport d'arc au rayon cette quantité qui répondra à uii petit nombre de degrés tel que 2^ 3° ou 4^ oh disposera un tableau par colonnes verticales en tète desquelles on écrira les diverses valeurs de a qui seront équi-
distantes ; deux lignes horizontales seront réservées pour inscrire les valeurs de y' et x* (celles de ces valeuw que Fon connaît tout d'abord répondent à a = o, elles sont V == A -4- e et zéro); on écrira ensuite les logarithmes de sina et cosa, puis de sin [aH — A a] et cos [a -h - A a] : au moyen des valeurs inscrites dans4a première colonne verticale, on calculera p" par la formule (/), et - Ay'
par la formule (tt^); il sera facile ensuite de calculer p" -+- - Ap'
par la formule (T), et les équations (r^) feront connaître A y" et A«'. On inscrira ces diverses valeurs au fur et à mesure; puis, en ajoutant A^ à la valeur de y" inscrite en tête de la colonne, et de même ûkx" k x' , on aura les valeurs de y'' et x*^ qui devront être inscrites en tête de la colonne suivante. La vérification des calculs contenus dans deux colonnes verticales consécutives s'obtiendra en prenant la moyenne arithmétique des deux valeurs de p',
et comparant cette moyenne à la valeur de p" H — Ap* qui répond
à la première des deux colonnes. Si les calculs sont exacts, ces .deux résidtats devront être sensiblement égaux.
On continuera de la sorte jusqu'à ce qu'on ait dépassé' les valeurs de y^i et a?'i , dont Tune aura été employée dans le calcul des forjnules {5")^ et Tautre en sera résultée. Par interpolation, on * pourra déduire des nombres contenus dans le tableau , la valeur de x" correspondante à ^ =;: j',; et, si l'on a bien opéré, cette valeiu" devra coïncider avec x', , sauf quelque légère différence provenant de raccumulation des erreurs dues aux termes du troisième ordre qu'on a négligés, en supposant que Aa ait été pris assez petit.
Les calculs étant vériGés, on pourra compléter le tableau p^r la détermination des coordonnées de l'intrados réel et de l'extrados et des épaisseurs.
Le calcul dea coordonnées de l'extrados se fera par les formules
y = y" — e cosa, «'=•«'-4-^ sina.
La distance des deux intrados, suivant la normale i rintrados
fictif, est donnée par la double ibrmtde
On en déduit, pour les ordonnées et abscisses Y et X de Fintrados réel, les deux eipressions
Yr=j'^ -+-2 ^ cosa, X=î=x" — 2 usinât.
Enfin les épaisseurs seront données par la formule
Ces divers calculs sont de la plus grande simplicité , et les valeurs obtenues étant réunies aux précédentes, il en résultera un ensemble propre à représenter complètement la forme et les dimensions de Tarche* parvenue à son état permanent. Le problème que nous nous étions posé se trouve dès lors complètement résolu sous le rapport analytique et sous celui des abdications numériques : quelques mots nous suffiront pour indiquée Tusage qu'on peut faire des procédés graphiques, dans le but d'éviter Tem^oi des formules {**'), quand on n a pasr en vue une exactitude supérieure à celle que Ton peut obtenir en ayant recours aux tracés. .
SOLtTIOM DU PROBLEME AU MOYEN DBS PBOCKD^S OBAPHIQUBS.
30. La sotutidtf ^lie nous allùns dôfmér dépend de la construction de la ccfùrbe intrados au* moyen de son -rayon de courbure. Il n'entre pai ^tas. notre intention d'ei^liquer ici comment on trace une courbe dont le rayon, de couirbure est dottné en fonction des coordonnées; chacun sait comment on peut remplacer un petit arc de la courbe par un arc de cercle d'une petite ampKtude décrit avec le rayon de courbure correspondant au point milieu de cet arc. Nous renverrons, quant aux précautions à prendre lors-* qu'on donne aux arcs une certaine amplitude, à ce que nous avons
dit sur ce BfOj%%, dans le troisième article de notre. Théorie de Féquilibre des voûtes, S xxxvi. Pour que les procédés indiqués dans oet article s'appliquent au cas actuel, il nous sufilra de donner . une construction du rayon de courbure : nous transformerons son équation (10), en posant
et Téquation (10) deviendra
Pour construire cette expression, ayant mené deux axes OX, OY,
126 StlR L'ÉTABLISSEMENT
Yxm horizontal, rantre vertical, on fixera le sommet d^ Tintrados sur Taxe des y, à la distance OS = A'' = A -f- ^; par le point S * on mènera la droite SB faisant Fangle BSY = |3; on prendra ensuite sur le prolongement de OX une distance OQ = - qr, et sur
OY, 0Q'=: q' : cette partie des constructions servira pour tous les rayons de courbure. Nous supposerons, pour plus de généralité, la construction de l'intrados fictif parvenue en un point I par lequel est menée la normale IN: Prenons sur cette normale les distances 11' = a, vers Textrados; IV z= b, dans le sens opposé. Projetons les trois points I, T, T sut Taxe des y, et soient P, F, P leurs projections; nous aurons OP =y^ PP' = a cosa, PP* = 6 cosa, et, par suite.
OP" = / + 6cosQt.
Actuellement, prolongeons la droite IP jusqu'à sa rencontre avec la droite BS en L, nous aurons PL = (y' — h") ta ngjS ; rabattons le point L en L' sur la droite Y, de sorte qu'on ait PL'= PL , il viendra
P'L' = ± [ (j^ — A") tang|3 — a cosa], suivant que Ton aura PL' ^ PF : pour former le numérateur de *la fraction qui multiplie - f , dans la valeur de p*^, il reste à
ajouter avec le 'signe convenable la quantité zh PL' à ç', cemû se fera en transportant par^^èlement à elle-même la droite FL en Q'p', de façon que le point L' tombe en Q', et le point P' en p qui devra être situé par rapport à Q' du même côté que P' par rapport à L'. De cette manière , on aura
Oj7 == v' -h (/ — A'') tangjS — a cosa.
Le rayon de courbure s'exprimera au moyen des lignes que Ton vient de construire , et l'on aura
Pour éviter la ccmstruction de lignes de grandes dimensions dans le sens des x, ce qui obligerait à donner à Fépure de grandes dimensions à la fois dans le sens des x et dans celui des y^ nous rabattrons le point P^ en F* sur le prolongement de Taxe des x, de sorte que l'on ait OP* = OP*. Or, si nous joignons Vp\ et que nous menions QR parallèle à V"p\ il est facile de voir que Ton aura OR = p^ car les triangles semblables OQR, OP^p' donnent la relation
OR Op
qui coïncide avec l'équation précédente. La position C du centre de courbure s'obtiendra ensuite , en portant sur la normale , de I en G, la distance IC = OR.
Cette construction du rayon de courbure de l'intrados fictif donnera le moyen de construire en même temps l'extrados, puisque ces courbes sont parallèles et distantes de la quantité e. Quant à l'intrados réel, il sera facilement donné par ta construction des épaisseurs dont l'expression {y) est
6 fH -^ 3 9'^
En effet, prenons sur l'axe des x la distance OE' =:==; e, et menons par le point Ë' une droite E'E\ parallèle à OY; menons ensuite par le même point E' une autre droite Ë'E'' faisant avec la pre-
mière un anfi:Ie dont la tangente soit -—ou - *-: l'abscisse PJ,
du point J de la droite E'E* ayant y'' pour ordonnée, sera la valeur de l'épaisseur 6 correspondante au plan de joint qui se projette en IN. Si donc on fait lE = e, et que l'on porte ensuite de E en i la distance FI = e, le point i ainsi déterminé appartiendra k \mtrado» réel.
Il ne serft peut-être pas san» intérêt, d'incbquer par une figure la disposition qu'affectant l'extrados et l'intrados fictif construits pur le procédé qui vient d'être indiqué, et dans l'hypotbèse i ::=? i ,
La figure ci-jointe rend sensibles les particularités de la
sition dont il s'agit:
31. Voici maintenant Tusage que Ton poiura faire dû tracé de rintrados au moyen du rayon de courbure, pour la détermination des constantes (n~ 22 et suivants), lorsqu'on voudra obtenir leurs valeurs approchées, sans avoir recours aux formules [s")^ ou qu'on pourra s'en tenir à l'exactitude dont les procédés graphiques sont susceptibles. On déduira des considérations relatives aux limites de e exposées n~ 25 et 27, une première valeur approchée de cette inconnue. L'équation (/), n*" 24, dofmera (i^ en fonction de l'arbitraire fi^ dans le cas des arches incomplètes, et q se déduira
de la relation ^ * == 3 -7^ déjà plusieurs fois mentiqnnée. Dans
le cas des arches en anse de panier, la quantité q devra être tirée de Téquation (d')^ rfi 26. Au moyen de e et q\ il ftera possible de construire l'intrados réel, et si Ton a préabfaiemtnt traeé^un^ droite parallèle à l'a^e des' ;r, à la distance / ârà-desfisous du
DES AvUCHES DE PONT. 129
sonuMit de cet intrados i on constatera si cette droite rencontre la courbe à une distance de f axe des y %ale à la demi^ouverture g ou différente de celle-ci. Dans le premier cas, la valeur de e d'où Ton ^era parti sera la valeur cherchée; dans le second, il faudra recommencer le tracé en adoptant ime valew de e différente de la praniène, et appliquer pour la correcti<m de cette valeur Tune des méthodes dont il a été question à la fin du n^ 24. U est clair que le dernier tracé correspondant à la valeur de e qui donne la demi-ouverture oû abscisse 9, pour une flèche /ou une ordonnée égale à A H~ e» H- /« présente la solution g;raq)hique du problème qui consiste à déterminer la forme entière de Tintrados et de Textrados, puis les inclinaisons des {dans de joint et les rayons de courbure. Dans le tracé définitif comme dans les tracés préliminaires, la construction des courbes se trouve ramenée k celle d'arcs de cercle de plus ou moins d'étendue, ainsi que nous Tavons annoncé dans le n^ 1 .
On pourra vérifier l'exactitude des tracés successifs ou du tracé définitif dans le cas des ardies incomplètes ^ en calculant l'angle extrême a^ par la formule {nC), où y\ doit avoir la valeur donnée par l'équation {w")^ et comparant cet angle à cekû donné par le traoé; ces angles doivent coïncider, quelque fausse que soit l'hypolhèse sur la valeur de e. Dans ie cas des arcbesKJi anse de panier, si Ton mène une droite parallèle à Taxe des x à une distance égale à/ au-dessous du sommet de l'intrados réel, il faudra que la normale au même intrados menée par le point d'intersection de la droite et de l'intrados coïncide avec cette même droite.
COMPARAISON DES ARCHES ETABLIES^UIYANT LES PRINaPBS PRECEDENTS, AVEC CELLES DONT L1NTRAD0S PRESENTS LES FORMBS AU100RD*HUI EN USAGE.
32, Ayant efiectué divers tracés d'arches incomplètes, conformément à la théorie que nous venons d'exposer, nous avons comparé ces. tracés à ceux loumis par des intrados ayaaat en réahté la forme d'arcs de cercle^ et assujettis aux méiQes conditions rela-
tives à la flèche et à l'ouverture que les précédents. Les voûtes en arc de cercle présentent, ainsi que cela doit être, moins de convexité vers les reins que les intrados déduits de notre théorie , et il semble, au premier abord, qu'il ne doive y avoir aucim inconvénient à s'en tenir à l'emploi de l'arc de cercle, à cause de la facilité de sa construction. On tomberait néanmoins dans une grave erreur en admettant cette conséquence. En effet, si, comme il est vrai, l'arc de cercle et la courbe théorique, qui coïncident au sommet et aux naissances, laissent entre eux un assez faible intervalle vers les reins, on admettra aisément qu'en remplissant cet intervalle, c'est*-à-dire en passant de l'intrados indiqué par la théorie à l'arc de cercle, on n'ajoutera pas sensiblement à la chaîne totale de l'arche, et que dès lors la situation de la résultante des pressions restera sensiblement la même que dans le premier. cas. Cette résultante passera vers le milieu des joints qui répondent à Pappareil théorique. Or supposons qu'en substituant l'appareil en arc de cercle à ce dernier, on conserve néanmoins les mêmes épais* seurs, ou encore, des épaisseurs constantes égales à celles qui ont lieii aux naissances, il arrivera que vers le tiers de la distance de celles-d au sommet, à l'endroit du plus grand écart que présentent les deux courbes, les points qui correspondaient au milieu des anciennes épaisseurs se trouveront plus voisins du nouvel extrados, au point de n'en être éloignés que du - ou du - de l'épaisseur totale : la résultante des pressions s'approchera donc d'autant de ce nouvel extrados, et la distribution des pressions dans chaque joint se trouvera considérablement modifiée. On peut facilement reconnaître que l'addition de matière provenant du passage de la courbe théorique à l'arc de cercle, doit avoir poiur effet une augmentation dé la charge générale de la voûte, si la différence de convexité est notable, et qu'il en doit résulter une plus grande convexité dans la courbe de la résultante des pressions; celie-ci doit donc en réalité se rapprocher plus du nouvel extradt>s que s'il n'y avaitaucime augmentation de charge. Admettons seulement qu'elle
DES ARCHES DE PO'iNT. 131
s'en rapproche en définitive d'une quantité égale au tiers (*) de Tépaisseur du voussoir, la pression totale dans le joint n ayant pu qu'augmenter, il en résultera qué^'la pression par unité de surface deviendra au moins double de celle primitive qui était uniforme : or, si la pression primitive était déjà égale à la limite des pressions qu'on peut faire supporter sans inconvénient aux voussoirs, il arrivera que ceux-ci ne seront plus capables de résister à l'action de forces dont les intensités ont été doublées; de là naîtront des phénomènes plus ou moins prononcés de rupture par écrasement, et qui pourront compromettre gravement la stabilité de la construction. Inversement, on conclura de ces considérations, que si des arches en arc de cercle présentent toute la stabilité désirable, on pourrait leur substituer des arches établies suivant nos principes, et dans lesquelles les pressions maximum par unité de sur^ face se trouvant réduites de moitié, par exemple, il serait facile de réduire en même temps les épaisseurs, et, par suite, les frais de construction, d'une quantité notable.
Enfin nous ajouterons que les mêmes considérations s'appliquent aux arches en anse de panier construites d'après des procédés qui donnent à l'intrados une forme plus ou moins voisine de celle des ellipses. Toutes ces courbes présentent, comme Tare de cercle, moins de convexité vers les reins que celles que nous proposons. La deuxième partie de ce mémoire sera accompagnée d'épurés qui présenteront la comparaison des profils circulaires ou elliptiques avec ceux dont nous avons exposé la théorie.
(*) En se basant sur le principe assez généralement admis de la proportionnalité des profondeurs d*impres9ion aux intensités des pressions, on démontre ce résultat bien connu : que si deux corps prismatiques sont en contact suivant une face plane, et qu*on Tienne k les soumettre k des pressions dont la résultante perpendiculaire à cette face, et située dans un. plan qui la partage symétriquement, passe à une distance d*une arête, égale au tiers de la distance de cette arête à celle opposée, la pression par unité de surface, vers la première, 9*âèvera au double de la pression moyenne, tandis qu*dle décroîtra jusqu*à devenir nulle vers Tarête opposée.
132 SUR LÉTABLISSËMENT
