DEUXIÈME PARTIE

33. La deuxième partie de notre travail- di£f%re, à quelques égards, du mémoire qui a été présenté à TAcadémie des Sciences dans la séance du ]4 décembre i846, et sur lequel un rapport a été fait dans la séance du 26 octobre i852.

Ce mémoire, dans lequel nous avions restreint nos formules au cas ordinaire où les matériaux qui forment le massif peuvent être considérés comme présentant sensiblement la même densité que les voussoirs, renfermait divers exemples de l'application de ces formules par voie de tâtonnements, au cas des arches incomplètes dites en arc de cercle^ et des Tables à double entrée pour le cas des arches complètes ou en anse de panier, tables qui dispensaient d'effectuer les calculs par tâtonnements dont il vient d'être question pour le cas des autres arches. Nous avions profité de la faci-* lité que nous ofiraient ces tables pour nous livrer à Texamen d'un assez grand nombre d'arches en anse de panier construites depuis longtemps. Le mémoire était suivi d'une- application de la théorie générale, au cas où la charge qui s'élève au-dessus de la clef est trè»-grande, et nous avions choisi pour exemple celui que nous oflBre l'appareil connu, dans l'art des constructions, sous le nom de poitrail.

Dans leur rapport, MM. les Commissaires ont exprimé le désir que des tables fiissent aussi construites pour abréger les calculs relatifs à l'établissement des arches dites en arc de cercle. Au moment où l'impressioa de notre mémoire a été décidée, nous avons songé sérieusement à nous rendre au vœu exprimé par la Commission, et à combler ainsi une lacune que nous regrettions nousmème de laisser dans notre travail.

Après un mûr examen, nous avons reconnu que le problème relatif aux arches incomplètes, qui nécessiterait la construction de tables à triple entrée, si l'on tenait à conserver les données et

iocoimues que nous avions introduites dans la première partie de notre mémoire et dans le mémoire présenté en dernier lieu , n exige que le calcul de tables à double entrée, si Ton exclut les termes du deuxième ordre ou dépendants du carré des épaisseurs « et que Ton substitue aux données et aux inconnues d'autres quantités. (Par exemple, à Tégard des données, il <^nvient de substituer la quantité A'' = A H~ « à la donnée h.) De cette manière, on naïuait, il est vrai, que des valeurs approchées des inconnues, et qui conviendraient dans les cas les plus ordinaires; mais on aperçoit la possibilité de construire une nouvelle table à double entrée, d'ime petite étendue, qui fournisse la correction de la valeur de TinccMmue principale. Le même ordre d'idées s'applique au cas des arches en anse de panier, et la construction d'une t^le à simple entrée est alors sufi&sante. Théoriquement, la solution déduite de cette table exige une correction; mais on peut s'assurer que, dans les circonstances les plus défavorables, la correction qui porterait sur la différence de niveau du sommet de l'intrados ou des naissances avec la chaussée, dépasserait à peine un millimètre, et que, dans les limites ordinaires de la pratique, la correction qui resterait presque toujours au^lessous de cette quantité, serait toujotu^s négligeable : en sorte que la table relative aux arches en anse de panier peut être considérée comme donnant des solutions exactes au point de vue pratique. Cette table, d'un usage très-simple, remplace la table à double entrée que nous avions construite tout d'abord. Quant à la transformation que nous faisons subir aux données, elle est telle que l'une ou l'autre arbitrairement, des deux quantités A et ft,, peut toujours être donnée a priori.

Nous exposerons dans cette deuxième partie les principes qui nous ont guidé dans la construction des tables pour les deux espèces d'arches dont nous traitons, et nous insérerons ces tables à la 6n du mémoire. Comme elles dispensent d'effectuer, par voie de tâtonnements, les calculs ou tracés qui seraient indispensables sans leur secours, nous ne donnerons point d'exemple de ce genre.

Il ne serait nécessaire de recourir à ces procédés , que si Ton voulait avoir égard à la différence de densité du massif et des voussoirs. Or nous pensons que les ingénieurs qui tiendront assez à la précision pour avoir égard à cette différence, ne reculeront pas devant Temploi des méthodes -de calcul ou des méthodes graphiques qui ont été indiquées dans la première partie. Faisons remarquer, à ce sujet, qu'en supposant seulement le produit (i — i) h" du même ordre de petitesse que les épaisseurs, ou du premier ordre, ce qui est très-admissible dans les arches de pont, il serait possible de joindre à nos tables de nouvelles tables destinées à corriger la solution obtenue en faisant î = i . Le temps nous manque absolument pour entreprendre ces nouvelles re-* cherches.

L'étendue déjà considérable de notre travail, et la crainte d'abuser de la facilité que l'Académie a bien voulu nous offrir pour l'impression, nous déterminent à ne point publier ici le chapitre sur l'établissement des appareils dits poitrails , lesquels, bien qu'ils présentent une grande analogie avec les ^ches de pont, ne doivent point cependant être considérés comme étant des cas particuliers d'arches de pont proprement dites.

SIMPLIFICATION DES FORMULES GÉNÉKâLES POUR LES CAS ORDINAIRES QUE PRESENTENT LES ARCHES DE PONT.

34. Les deux éléments de réduction auxquels jious aurons recours sont le rapport désigné par i, de la densité du massif à celle des voussoirs, et la hauteur h de la charge qui s'éîève au-dessus du plaâ horizontal tangent à l'extrados.

Le plus souvent, et c'est d'ailleurs l'habitude du plus grand nombre des ingénieurs, on peut néghger la différence de densité du massif et des voussoirs. C'est ce que nous ferons dans tout ce qui va suivre, en posant

Cette relation permet d'effectuer immédiatement une grande simplification dans les formules (/), en y réduisant à zéro les coefficients D et G et les termes des autres coefficients qui ont (i — i) pour facteur.

Quant à la hauteur de charge h , cette quantité est* très-grande par rapport à l'épaisseur dans les tunnels et dans les poitrails dont il a été question au numéro précédent, La grandeur de h permettrait aussi des simplifications, et rendrait praticable Temploi des séries à la place des fonctions elliptiques; mais nous ne nous occuperons point de ces constructions, par la raison énoncée en terminant le même numéro. Dans les ponts, au contraire, la hauteur h est très-faihle, et presque toujours plus petite que l'épaisseur de la voûte. Nous avons déjà dit au n® 20 que la petitesse de h permet de réduire l'échelle des modules des fonctions elliptiques au premier de la série , et qu'il suffit de calculer une seule amplitude en outre de celle qui sert de point de départ à la série des amplitudes. Nous avons fait de diverses manières le calcul de l'erreiu* qui en résulte, et nous nous sommes assuré qu'elle est à peu près insensible dans le cas des ponts. Néanmoins, dans le calcul des tables, nous nous sommes astre jpt à ajouter la petite correction nécessaire pour obtenir le degré d'exactitude que l'on atteindrait en tenant compte, dans le calcul des fonctions elliptiques, d'un module et d'une amplitude de plus.

Nous commencerons par opérer sur les fonctions elliptiques des transformations indiquées par. la petitesse de h ou de A'\ L'expresaion de tang*^, équations i^"), montre que si l'on y prend y" égal à l'ordonnée du point inférieur de l'intrados, l'angle ^ sera plus voisin de 90^ que de zéro : comme nous ne ferons usage des équations [s") que pour établir ime relation entre les coordonnées du point inférieur de l'intrados, il convient ici de substituer à l'angle p son complément; posons donc

Nous avons dit en outre que le module c est très-voisin de l'unité

136 SUR LÉTABLISSËMENT

dans la même hypothèse relative à h" : pour cette raison, nous

lui substituerons son complément h donné par la formule

si Ton fait, de {dus,

sin>^ = 6, tfoù