SI

IV. La valeur donnée par la seconde formule de Simpson a été établie de manière qu'elle fût exacte pour une parabole du troisième degré par Newton lui-même (Gauss, Werke, III, p. 202).

La méthode qui a servi à trouver la formule de Weddle revient aussi à faire en sorte qu'elle donne l'aire exacte d'une parabole du 5 e degré dont on connaît sept ordonnées (voir plus bas, les notions historiques sur les diverses formules). Le second et le troisième résultat donnés plus haut, n'ont donc rien que de très naturel.

Il n'en est pas de même du premier. La valeur approchée 1 h(jj) 4- 4t/ 2 -+- Vz) de l'élément a été obtenue, comme nous le dirons dans l'historique, en cherchant l'expression qui donne l'aire exacte d'une parabole du second degré. Cependant, cette formule est exacte aussi, comme nous venons de le voir, pour une parabole du troisième degré. C'est là un théorème curieux (*) dont la formule de Gauss exprime, au fond, une belle généralisation pour les paraboles d'ordre supérieur à ordonnées non équidistantes (Gauss, Werke, III, pp. 165-196,202-206).

Il en existe une autre généralisation pour les paraboles quelconques d'ordre pair, comme nous allons le montrer, avant de continuer la recherche de l'erreur pour les autres formules.

Théorèmes sur les paraboles.