Théorème I. Soit

h (ay ï h- by* -*- cy z -t- . . . -*- gy n ), une formule donnant Vaire exacte d'une parabole d'ordre p, p

O Ce théorème, donné par M. Catalan, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, i Te série, t. XVI, p. 312, et dans le Manuel des Candidats à l'école polytechnique, t. II, p. 295, a été retrouvé par M. Parmentier {Congrès de Montpellier de l'Association française pour l'avancement des Sciences, 1879).

étant inférieur à ri, au moyen de n ordonnées de cette parabole , distantes entre elles d'une quantité h. Si on applique cette formule à une courbe y = F'x, V erreur commise s sera de la forme

En effet, considérons une parabole d'ordre p, y = f (oc), osculatrice à y = F' (oc), en un point quelconque [X, F'(X)], de sorte que

f(X)-F'(X), /"(X) = F"(X), ,.., p^(X) = F^(X). (1) Soient

x 1 = X -4- M, x 2 = # 1 •+- />, x 3 = a; 2 H-/i ? ... tf n = x n 4 -t- A , lès abcisses correspondant à y { , i/ 2 , 2/ 3 , ..., ?/„. Posons : S = F(ag-F(* 4 ),

s = fM — f( x i)>

S' = h [a¥ f (x { ) -+- 6F' (x 2 ) -+- • • • -t- flfF' (*?„)], «' = h [af (x â ) + 6/' (x a ) -*- . . . -h gf (x„)],

Développons, suivant les puissances de A, la différence S — s, en ne laissant dans le développement d'autre abcisse que X. A cause des relations (1), on aura évidemment

S — s = A i hr**F"*(x /l ) i

car les autres dérivées de F, f sont égales et / p+ " 2 (x) = 0. Pour

la même raison,

Mais, d'après Phypothèse faite sur la formule qui donne s', on a s' == s. Donc :

£ = S — S' = (A* — A 2 ) A" +a F" +2 (^) = AA^F^ 2 ^);

ce qu'il fallait démontrer.

En particulier, si p = (n — 1), on a S — S' = A h n+1 F (a^), ce qui est la justification de la méthode de quadrature approchée, due à Newton, dont il est parlé au n° 1, pour les courbes dont 1 ordonnée F' (x) vérifie les conditions énoncées au n° 36 (*).