III. Puisque S est compris entre les quantités

s hd, s+-hd",

on peut poser

S = s (approximativement),

avec une erreur moindre que f hd" 9 qui est la plus grande des deux quantités ~ hd, f hd".

IV. Nous avons donc la limite de Terreur que comporte la formule de Simpson sous trois formes différentes : 1° s<|^; 2°s< \hd; 5°g<{Ad".

La seconde est la limite la plus grande, mais la plus facile à construire. La première est au contraire la plus difficile à construire, mais elle est toujours inférieure à la seconde, et, probablement aussi, à la troisième, car

hâ = M — m', hd" = W — m\

et, en faisant un tracé graphique, on reconnaît que, le plus souvent M est inférieur à M'. Enfin, la troisième, certainement plus petite que la seconde, est presque aussi facile à construire (*).

Nouvelles démonstrations de la formule des trapèzes dans tous les cas.

17. Cas d'un nombre impair d'ordonnées. I. Le procédé qui a servi au numéro précédent à trouver de nouvelles limites de S. et

(*) On peut prouver que hd" est inférieur à Qhd, par un tracé graphique analogue à celui du § V, mais cela ne présente guère d'intérêt.

une seconde démonstration de la formule de Simpson, peut évidemment donner d'autres limites et d'autres formules en grand nombre. Voici, par exemple, une nouvelle démonstration de la formule des trapèzes, c'est-à-dire une nouvelle estimation de Terreur que l'on commet en l'employant.