III. Posons encore

t -+- (t -+- -hd"

. t -*- 7 hd",

S = t' (approximativement).

D'après le principe II, l'erreur maxima que comporte cette formule des trapèzes corrigée est inférieure à { hd" et le sens en est inconnu.

18. Cas d\m nombre pair d'ordonnées. Prolongeons la courbe AL (Fig. 6), jusqu'à une douzième ordonnée A^=j/ 12 , située à une distance h de U. Appelons <r l'aire curviligne /LaA, et cherchons une valeur approximative de S -ho*. Pour cela,

prolongeons, la corde KL jusqu'à sa rencontre, en £, avec ).A. L'aire ILÇl surpasse cf. On aura, d'après le n° 14,

tLfr=-h(3y ii — y l0 ).

Ajoutant cette aire à M, qui est plus grande que S, il vient :

h (Zy 2 + % 4 + 2?/ 6 -f- 2*/ 8 + -t/ 10 + - 2/iiJ > S ^- (T.

On trouve, de même,

D'où, en ajoutant et divisant par 2 :

Le premier membre de cette inégalité peut s'écrire :

Posons :

-*- 2/io -*- 2/n

2/3 -*- 2/io -d;.

On pourra écrire là dernière inégalité :

h -4- - Adï >S + <r.

La quantité ^ est la mesure de la somme des trapèzes intérieurs inscrits dans S-4-ff. On a donc :

On déduit des inégalités précédentes, ces deux conséquences : 1° Si l'on fait

S h- a = t { (approximativement),

on commet une erreur, par défaut, inférieure à | Ad/. 2° Si Ton

fait

S -t- o- = < 4 -i- - Ad/,

on commet une erreur de sens inconnu, inférieure à | Ad'/.

f». Démonstration analytique de la formule des trapèzes dans tous les cas, sous la forme donnée au § V. I. Considérons l'aire- 2 d'une courbe dont la concavité est toujours tournée dans le même sens et dont on connaît n ordonnées équidistantes y { , y 2 , 2/ 3v .. ? y n i9 y n9 leur distance commune étant A. Posons:

D = 5 (2/2 -*- 2/»-i) — 5 (yi + 2/n), D' = - (y 5 + y B ,) — - (y, -h y n ,).

Les résultats des deux numéros précédents peuvent s'écrire :

T<2 <T-h AD — -hW;

ce qui prouve que la formule des trapèzes 2= T (approximativement) comporte une erreur par défaut moindre que AD — | hD'. II. On remarquera que D surpasse D', comme il est facile de le prouver (n° 10). On a donc v à fortiori,

ce qui équivaut au résultat démontré graphiquement au § V. En voici une démonstration analytique qui ne diffère pas essentiellement de celle du n° .11 (Fig. 1, à compléter par le lecteur). Ajoutons à un premier trapèze analogue à aBjB^c, compris entre y { et y z , des trapèzes analogues à ILÇk, compris entre ?/ 3 et 2/4-» y il et 2/ s , etc. La somme de ces trapèzes sera :

ce qu'il fallait démontrer.

Nouvelle extension des formules de Simpson, de Poncelet, etc., au cas d'un nombre pair d'ordonnées. Formule de M. Catalan.

20.' Estimation approchée de l'aire g. I. L'aire a étant plus grande que le trapèze ILaI (Fig. 6), on a

* > ^ h to« + »«)■