AD

D'après le n° 18, a* est inférieur à /L|>, ou

- h (3y M — 2/io) > ff.

Toutes les valeurs intermédiaires entre les deux limites ici indiquées peuvent servir à estimer approximativement or. Pour des raisons que nous indiquerons plus bas, l'a valeur la plus convenable est

o- = - (5/LAX ■+- /L?A) (approximativement),

c'est-à-dire, toute réduction faite,

L'erreur maxima est inférieure à

g (/LÇx — ;LA>) = — h {— y l0 ■+- 2y„ — y„),

d'après le principe IV du n° 4.

II. On peut trouver aisément une aire v inférieure au trapèze IaLI et, par suite, à a et telle que

^(2/LSx -h v)==~(5/La> h- /L?/).

On trouve sans peine :

On obtient géométriquement cette limite inférieure de <r, limite au reste toute artificielle, en menant a/ 2 parallèle à KL, L 2 \ parallèle à Ka. Alors v==ll 2 l 2 l.

£1. Extension des formules de Simpson, de Poncelet, etc., au cas d'un nombre pair d'ordonnées. Formule de M. Catalan,

comme extension de celle de Simpson. L Au lieu d'ajouter aux quantités s, p, p' (et aussi à n i9 p",p'", îr 2 ), Taire du trapèze ILa\ pour avoir une valeur approchée de S -ho-, comme on Ta indiqué au n° 13, il vaut mieux y ajouter la valeur approximative,

— h {—y io -*- Sy H + Sy«),

trouvée ci-dessus. L'erreur commise dans l'estimation de S-+-c est égale à la somme des erreurs commises en cherchant séparément S et c\ On prouve, sans peine, comme au n° 13, que cette erreur, dans le cas actuel, est inférieure, pour toutes les formules en question, à f AD.

IL La formule de Simpson devient ainsi :

S "*" 12 k ^~~ yi0 "*" Sy " "*" ^

= - h Uji -+- 4y a -H- 2y 5 h h — #«> -h ay« ■*-£#«

On trouve de même, pour une valeur approchée de la même aire :

En prenant la moyenne de ces deux valeurs, on obtient l'expression symétrique :

in i i i ri il

— L -*- - hd { hd[.

La formule approximative,

est due à M. Catalan. Nous allons la démontrer par une méthode au fond identique à la précédente, mais qui ne suppose pas que le nombre des ordonnées soit pair.

Formule de M. Catalan.

22. Formule de M. Catalan. I. Nous avons trouvé, aux n° 8 \\ et 19, que Taire

dans le cas d'une courbe tournant en concavité vers Taxe al, supérieure à Taire 1 de cette courbe, dont on donne les n ordonnées équidistantes i/ 1? y 2 v> î/n- On peut regarder M 2 comme la somme des trapèzes ayant

pour aire

dont le premier seul est un trapèze circonscrit de Poncelet, et dont les autres sont analogues à la limite supérieure de o* considérée au n° 20. On peut aussi regarder M 2 , comme la somme des trapèzes ayant pour aire

II. D'après le n° 20, la somme des trapèzes qui ont pour mesure

■a (yi-*- ys), ^ (^ y* — ïs + ^y*

dont le premier est un trapèze inscrit à 2, les autres sont analogues à la limite inférieure v de <r considérée au n° 20, est inférieure à 2. Cette somme est

* \ yi + 4^ 2 + 4 ^ 3 "*" ^ 4 + ^ 5 + " ' "*" y - f "*" 4 y "- 4 + 4 y "j"

Pour la même raison, les aires

ont une somme,

inférieure à 2.

Il en sera de même de la moyenne de ces deux sommes:

III. Nous avons dit, à propos de la formule de Simpson et au n° 20, et nous prouverons ultérieurement, qu'en général, la valeur la plus convenable à choisir pour chaque trapèze curviligne composant 2 est égale aux f du trapèze appartenant à la suite (1) ou (2), augmenté de f du trapèze correspondant de la série (3) ou (4). Donc, si Ton pose

la valeur la plus convenable pour 2 sera donnée par la formule de M. Catalan,

S = C (approximativement).

On trouve d'ailleurs :

M 2 =T -h AD, m 8 = T — - AD — . - AD' ,

G = T -h - AD — AD'.

IV. Les principes généraux du n° 4 conduisent à une estimation de l'erreur beaucoup trop grande. On trouve s<C— m 2 ,

G — w 2 = -AD ■+ -AD':

mais il est facile de trouver une limite moins élevée. Puisque U>D', on a C et I, compris d'après le n° 19, entre les quantités