T, T + AD — -AD

Donc l'erreur commise, en posant 2=C, est moindre que la plus grande des quantités

C — T = - AD — — AD', T + AD — i AD f — C =- AD — — AD', 4 12 ' 2 - 4 12

c'est-à-dire évidemment la seconde. En pratique, on peut dire que s est moindre que f AD.

Seconde formule de Simpson.

23. Élément de la seconde formule de Simpson. I. Considérons la partie aècdDCBA de l'aire S, et enfermons-la entre deux limites.

Cette aire est plus petite que la somme des trapèzes

«6BX, bCfiA

dont il est question au n° 14. L'aire de ceux-ci est

ft 8 *-*-KM yi -./fcggLA

On peut remarquer que le second de ces trapèzes a la même aire que le trapèze 6BD'd, D' étant le point d'intersection de BC avec Dd. On a donc :

aire aXU'd=h ^^^\

résultat qu'il est facile d'établir directement.

Fig. 7.

II. L'aire courbe abcdDCBA est supérieure à l'aire polygonale oôcdDCBA, qui a pour mesure

III. Nous verrons ultérieurement que la valeur la plus convenable pour l'aire courbe aABCDd est

L'erreur commise est plus petite que la plus grande des deux différences,

= fc

c'est-à-dire que la première. Cette quantité est facile à interpréter géométriquement.

24. Seconde formule de Simpson. I. Supposons de même que Ton ait à chercher Taire 2 d'une courbe dont la concavité est tournée vers Paxe des x et dont on connaît (3n -h 1) ordonnées équidistantes 2/j, y 2 , ?/ 3 ,..., j/,^. On a > comme limite supérieure,

et, comme limite inférieure,

-h{y { + fyz + 2y 8 -h . . . -h 2y 8fI -h y^).

II. On prendra pour valeur approximative de Paire, le quart de la première expression plus les trois quarts de la seconde, c'est-à-dire :

La formule

S==s' (approximativement)

est la seconde formule de Simpson. L'erreur maxima commise

est plus petite que la différence de s' avec la limite supérieure. On a donc

III. On peut obtenir une autre limite de Terreur, plus facile à calculer à priori, par le procédé qui a servi plus haut pour la formule des trapèzes, au § V. On trouve immédiatement s <f M), D étant donné par la formule

ou représenté par la somme ou la différence de deux triangles analogues à ABP, EQF de la figure 3.

Formule de Weddle.

25. Limite supérieure et limite inférieure. Considérons une courbe ABCDEFG concave vers Taxe ag, et sept ordonnées ka, B6,. e .., Gg, équidistantes d'une quantité h, que nous désignons encore par j/i,^,..., y v Estimons l'aire S 1 =aABCDEFG#.

Par les extrémités B, D, F des ordonnées de rang pair, menons encore les tangentes B (1 B 2 , D d D 2 , F/jFg limitées aux ordonnées voisines. La somme M { des trapèzes

aB^c, cDjy^e, éF^g,

est supérieure à Sj. Or,

Menons les cordes AC, CE, EG. Le polygone aACEG# est inférieur à S^ et a pour mesure

Menons aussi les cordes AD, DG. Le trapèze aXDGg esl aussi inférieur à S/j et a pour mesure

Des inégalités

on déduit

3mj -+• 2m 2 < oS 4 , - (3?^ -f- 2m 2 ) < S 4 .

Or,

m 3= - (3^ -t- 2wi a ) = - h (2î/ 4 -t- 2î/ 3 h- 2j/4 -*- 2.V& +• %7)«

26. Formule de Weddle. L aire S 1 étant comprise entre M { et w 3 , on peut prendre pour valeur approximative de cette aire

toute valeur comprise entre M 1 et m 3 . La valeur la plus convenable est, comme on le verra plus loin,

io= - (3M^ m,) = — h(y { •*- Sy 8 + y, +. 6y< -+- y, h- 5t/ 8 -*- y,).

Nous poserons donc

S, = w (approximativement),

ce qui est la formule de Weddle.

L'erreur commise est plus petite que

T (3M 4 -t- m 3 ) — wt 5 = 7 (Mi — m 8 ) = 5(M 1 — w).

On peut déduire de ce qui précède une formule servant à trouver les aires dont la base est divisée en 6n parties égales.

Exemples numériques (*).

%7. Premier exemple. Soit à chercher Taire de la courbe dont l'ordonnée est égale au logarithme népérien de x, diminué de 3, x variant de 1000 à 1006 et h étant égal à l'unité. On trouve, en dix-billionièmes (l'aire exacte étant donnée par le calcul intégral)

d =10793, ef= 6476, d"= 18110, 6 =12951.

« <4317 e < 6475 f < 12951 fi < 4396 fi < 6476 £ < 5396 s < 7195 e < 6476 fi < 7555 e < 10073 e < 8634

(*) Les exemples traités ici ont exigé de nombreux calculs, pour le premier à douze décimales, pour les autres à huit décimales et avec deux ou trois groupes de données dis-

Les calculs ont été faits en allant jusqu'aux trillionièmes, c'est-àdire, en prenant deux décimales de plus que celles qui sont conservées. La première formule de Simpson et celle de Weddle donnent un résultat exact jusqu'aux trillionièmes. Même si l'on n'emploie que trois ordonnées, pour la première formule de Simpson, c'est-à-dire si l'on pose s=y { h- 4î/ 4 -4- y 7 , la différence S — s est moindre qu'un cent-billionième.

Quand les erreurs théoriques peuvent être- calculées de plusieurs manières, nous n'avons inscrit dans la dernière colonne que l'erreur maxima la plus faible.

28. Autres exemples. Dans le cas précédent, p, p', ^ sont calculés au moyen de cinq ordonnées seulement (?/ 3 et y% étant exclus), p", p"\ 7r 2 au moyen de 6 (y A étant exclu); les autres valeurs ont été trouvées au moyen des sept ordonnées. Voici trois autres exemples, où, pour chaque formule, on a employé seulement sept ordonnées : /& = £ pour les S premières, h===~ pour les trois suivantes ; enfin h=± pour les dernières. Tous les résultats sont donnés en millionièmes.

Courbe I.

Courbe II.

Courbe III.

Aire exacte Simpson I .

Simpson II.

Weddle .

Catalan. .

Trapèzes .

Poncelet .

Parmentier Dupain. .

. ttj = S — 43 vi =S-*-45 tt 4 =S-t- 7

Formule nouvelle . jt 2 = S — 3

tinctes. Il se pourrait donc qu'il se fût glissé quelques erreurs dans nos résultats, mais elles ne sont pas bien considérables, pensons-nous. La courbe I a sa convexité tournée vers l'axe al, autrement dit, cl, cl', d", $ sont négatifs.

La courbe I est une hyperbole équilatère, de sorte que l'ordonnée est égale à [1 : oc], et x varie de 1 à 2. Dans la courbe II, l'ordonnée est égale à [1 : (1 + x 2 )], x variant depuis jusque 1. La courbe III est une circonférence de rayon égal à 2; on estime l'aire comprise entre cette circonférence, un premier rayon, un second rayon perpendiculaire au premier et une parallèle au premier par le milieu du second. On peut prouver, par la géométrie élémentaire, que les aires de ces trois courbes sont pour I, le logarithme népérien de 2, pour II, \^ y pour III, |tt + 1 1/5.

29. Exemples dans le cas d'un nombre pair d'ordonnées. Voici, pour une partie des formules précédentes, les résultats que l'on trouve pour les courbes I et II, en se servant de huit ordonnées. Pour les formules de Simpson et de Weddle, on les applique à l'aire comprise entre la première et la septième ordonnée; on ajoute ensuite au résultat trouvé une valeur de <r calculée comme il est dit au n° 20.

Aire exacte Simpson I .

Simpson II.

Weddle. .

Catalan . .

Trapèzes .

Courbe I.

Courbe II.

Choix d'une valeur (i intermédiaire entre une limite supérieure