L -+■ RI
Lorsque h décroît, en général, le rapport R varie. Dans beaucoup de cas, on peut en déterminer la limite r, pour /i=0, sans connaître la valeur exacte de S. Supposons que nous prenions, pour valeur approchée de S, la quantité p, définie par la relation
L + rl
L'erreur réelle e ===== f/. — S sera donnée par la formule
L + rl L -+- R/ __ (L — /) (R — r) t "l -*-r ~~~ 1 -+- R "~(1 -4-r)(l -+-R)'
Le dénominateur de s est supérieur à l'unité; le numérateur est le produit de deux facteurs dont chacun tend vers zéro en même temps que h, puisque lim L = lim/=S, 1imR=»r. Si, dans l'expression de p, on mettait au lieu de r une autre quantité positive, Terreur aurait pour numérateur le produit de deux quantités dont une seule, L — /, aurait pour limite zéro.
Donc, dans les cas dont il s'agit, pour h suffisamment petit, il est préférable de prendre pour S la valeur f/. donnée plus haut. Dans les autres cas d'ailleurs, en général, on n'a aucune raison pour ne pas faire de même.
L'erreur s, comme on l'a dit au n° 4, IV, est plus petite que la plus grande des deux différences
Si r > 1, s .<. L — p; si r < 1, s < ■ /x — /.
SI. Cas ow le principe précèdent est applicable. Il existe un cas assez général, comme on le verra au § suivant, où Ton peut trouver r aisément et voir que p. est la valeur approchée de S la plus convenable. C'est celui où la courbe considérée est continue, où l'inclinaison de ses tangentes et sa courbure varient d'une manière continue et où, enfin, la courbure ne varie guère, soit pour la courbe entière, soit pour les diverses, parties dans lesquelles on est amené à la décomposer.
Ànalytiquement, si ?/.= F'x est l'équation de la courbe, F'x, F'x, ¥ f "x doivent être des fonctions continues et F'"x varier peu entre les valeurs extrêmes de x que l'on considère.
On observera que souvent l'on pourra vérifier rapidement ces conditions, soit au moyen d'un tracé graphique, soit au moyen de calculs assez simples, quand F'x ne sera pas une fonction trop compliquée.
Dans le cas où l'on ne parvient pas à voir si ces conditions sont remplies, et où aucune propriété spéciale de la courbe ne force à choisir pour \x une valeur autre que celle qui est donnée plus haut, le mieux évidemment est de s'en tenir à cette valeur, qui a, sur toute autre, l'avantage de se justifier dans le cas général indiqué ci-dessus.
XIT
CALCUL DE r.
32. Cas cte trapèzes simples. I. Considérons d'abord le trapèze curviligne aABb (Fig. 9). Appelons la première ordonnée F'(#), la dernière F '(oc -h A). Ce trapèze a pour mesure
F (a -h A) — F (a) = AF' -t- i A 2 F"-t- i AT'"^,),
F', F" étant écrits, pour abréger, à la place de F'(ac), F"(ac), et oc? 1 étant une valeur intermédiaire entre x et oc -h A.
Fig. 9.
Par le point A menons la tangente AA 2 terminée en A 2 à B6 prolongé. On aura
6A 2 = aA -h AF" (x) = F' h- AF".
Par suite, le trapèze «AA 2 6, circonscrit au trapèze curviligne aABb, a pour mesure
i h[F + (F' + AF")] = AF' h- * A'F".
Le trapèze inscrit aABô a pour mesure
^ A[F'(a;) •+- F'(x -*- A)] = AF' -h - A 2 F"-+- - A 3 F'"(x 2 ),
a; 2 étant compris entre xetx-h-h.
Dans le cas actuel,
s * I F "'( Xl )i F '''(*o
Par suite, si h tend vers zéro, et, par suite x { et x 2 vers x, on a lim R = r = 2. De plus, si F"'(x) varie peu de x à x -h A, R a aussi une valeur voisine de 2.
On trouve le même résultat si l'on remplace le trapèze circonscrit aAA 2 6 par le trapèze aB^Bb, B d B étant la tangente en B, prolongée jusqu'à sa rencontre avec l'ordonnée ak.
II. Soit 6 1 le point d'intersection de la corde AC avec 6B. On aura
66 1 = - (aA -*- cC) = z [F' (x) -h F' (x -+ 2fe)]
== -[2F' -h 2AF" -h 2A 2 F'"(x 3 )l = F' h- AF" -h A 2 F'"(x 3 ),
x 3 étant compris entre x et x -h 2A. L'aire du trapèze akb { b sera
-/i[F'+(F , +AF"+A 2 F'"(^))]=/iF'-+- - A 2 F" + i A 3 F'"(x 3 ).
Si l'on prend cette aire pour limite inférieure, dans la valeur de R, il vient :
valeur peu différente de ^, si F'"(œ) varie peu de x à x 4- 2A. Si A tend vers 0, on trouve lim R = r = f .
On arrive au même résultat encore, si l'on remplace le trapèze circonscrit aAA 2 6 par aB d B6.
III. Soit X le point d'intersection de CB avec Xa. On a, comme on l'a vu au n° 14,
aX = 26B-- cC = 2F'(# -h A) — F'(x -t- 2A).
Le trapèze aXBôa pour mesure
-A[5F'(a;-4- A) — F'(ai+2*)]
= I A pp h- 3/>F" -4- - A»F'"(ic«) — F' — 2/jF" — 2tfF'" (x s )]
= AF' -*- - A 2 F" + j-A'Ff"(a? 4 )— A 5 F"(a?,),
x 4 étant compris entre x et x h- A, % entre x et ac -+- 2A.
Si Ton prend cette aire pour limite supérieure, dans la valeur de R, et akBb pour limite inférieure, il vient
1 If-^-If"^^
valeur voisine de 5, si F" '(oc) varie peu de x à x -+• 2A. Si A tend vers 0, on trouve lim R = r =5.
33. Somme de trapèzes. I, Dans l'élément de la seconde formule de Simpson, faisons y l = F' (se), ?/ 2 = F' (x -h A), etc. L aire de cet élément sera
F (a + 5A) -¥x = 3AF h- ~ A 2 F"-4- ? A 5 F'" (a? f ),
x 6 étant compris entre x et x -4- 3A.
La limite supérieure est
= 5 A [2F' -h 3AF" -4- A 2 F'"(a; 7 ) + 2A 2 F'" (a;,)]
ji
=3ftF' + - A 2 F" -+- - fe 3 F'"(a; 7 ) + 3ft 3 F'"(x 8 ), 2 4
% étant compris entre x et x -4- A, x 8 entre x et x •+- 2A.
La limite inférieure est
- h[F'x h- W{x +• h) 4- 2F' (x -h 2ft) -+• F'(x ■+- 3 A)]
= 3AF' -4- -ft s F"-+- ift 8 F"(x 9 ) -+ 2ft 8 F"'(a? 10 )'-*- - A 3 F'"(xii), 2 2 4
x 9 étant compris entre x et œ ■+ A, x 10 entre a? et x -+- 2/*, sc^ entre x et x -*- 3h.
Par suite,
jF'"(a? 7 ) + 3F'"(* 8 )-^F'"(ar 6 )
~ F"> 6 ) - i F'" (x 9 ) - 2F'" (* 10 ) - - F'"(x ld )
valeur qui a pour limite r = 3, et qui est d'ailleurs voisine de 3, si F'" x varie peu de oc à x -f- 3A.
II. Des calculs absolument analogues prouvent que, dans le cas de l'élément Weddle, r = | et que R a une valeur voisine de |, pourvu que F f " varie peu de x à x -+- 6h.
Application aux diverses formules précédentes.
34. Formules de Simpson, de Weddle, et de M. Catalan. La première valeur de r trouvée au n° 32 prouve que la formule de Simpson, sous la forme
S = s (approximativement),
M ayant le sens indiqué au n° 6, est bien établie d'après le principe du § XIII. On voit de plus qu'elle sera probablement très exacte, si F'" (x) varie peu dans chaque intervalle h.
La seconde valeur de r (n° 32) conduit aussi à la valeur s,
sous la forme
m' ayant le même sens qu'au n° 8. On ne voit pas aussi bien, au moyen de cette valeur de r, pourquoi la formule de Simpson est généralement si exacte; car, pour établir que R est voisin de r = {, on doit supposer ici que F'" (x) varie peu dans chaque intervalle 2A.
La formule des trapèzes n'est pas aussi rationnelle que la formule de Simpson, puisqu'elle suppose que R, dans ce second cas, est égal à 1, valeur qui n'est pas voisine de f .
La troisième valeur de r, combinée avec les considérations du n° 20, II, conduit naturellement à la formule de M. Catalan; la quatrième à la seconde formule de Simpson, la cinquième à celle de Weddle. On admet que F"' varie peu, dans un intervalle %h pour la première, 3h pour la deuxième, &h pour la troisième.
35. Formule de Poncelet, de Parmentier , de Dupain, etc. I. Pour une aire divisée en 2w trapèzes curvilignes, les limites M et m données au n° 6 sont telles que dans le premier et le dernier de ces trapèzes, la valeur de R est voisine de 2, pourvu que -F'" (x) varie peu dans un intervalle h; la valeur de R est voisine de |, pour les (2n — 2) autres trapèzes curvilignes, pourvu que F"' (x) varie peu dans un intervalle 2/i.
On reconnaît aisément qu'il n'y a pas moyen d'employer la valeur 2 pour estimer le premier et le dernier trapèze, et la valeur f pour les autres, parce que l'on introduirait ainsi dans la formule les dérivées des ordonnées extrêmes. Poncelet a choisi une valeur intermédiaire, savoir 1, en posant
M. Parmentier, remarquant que le nombre des trapèzes intérieurs est en général supérieur à celui des extérieurs, a fait r = f ,
ce qui lui a donné
II. Nous sommes arrivésà la valeur tt^, plus rationnelle encore, de la manière suivante. Appelons u, la petite aire analogue à ANB comprise entre un arc ANB de la courbe, et sa corde AB dans un intervalle h (Fig. 9); l'aire ANBA 2 , comprise entre la tangente à une extrémité de Tare et la courbe, sera sensiblement 2w, puisque la limite de leur rapport est égal à 2. L'aire analogue à ANB6 1 entre la courbe ANB et la demi-corde Ab { correspondant à un intervalle 2A, sera, pour la même raison, à peu près égale à bu. On aura donc approximativement
M = S -t- 2n .2t* = S -4- inu, m = S — u — (2w — 2) hu — u = S — (8n — 6)u ,
On tire de là, en éliminant u, les relations approximatives (4n — 3) M -*- 2wm- = (6n — 3) S,
en posant, comme au n° 7,
Wi = - (2M -«- m) --(M — m)=M M Ad.
3 ' 2rc — 4 3 v ; 3 2rc — 4 3
Les valeurs 2m, 4w, données plus haut, représentent exactement les aires analogues à ANB, ANB6 1? dans le cas d'une parabole du second degré. Il en résulte que la formule S =7r 1 donne exactement l'aire d'une parabole du second degré, et, par suite, d'après un principe général que nous établirons dans le paragraphe XVII, aussi celle d'une parabole du troisième degré.
III. Des considérations analogues à celles qui précèdent prouvent que les valeurs/)",/)'" du n° 15 peuvent être remplacées par la valeur plus rationnelle .
;r 2 ==l(2M'-*-m')-- — §(M ; — ro')
= à (E + 21) 4- - faT - -hd".
La formule nouvelle, S = 7r 2 , est exacte aussi dans le cas d'une parabole du deuxième ou du troisième degré.
Calcul de l'erreur par le théorème de Taylor. Formules de Simpson et de Weddle.
36. Hypothèses préliminaires. Dans ce qui suit, nous allons ajouter les hypothèses suivantes à celles que nous avons faites jusqu'à présent : 1° Les dérivées F iv x, F v x, etc., qui vont entrer dans nos calculs ultérieurs, sont continues pour les valeurs de x considérées. 2° La dérivée d'ordre le plus élevé parmi celles que nous emploierons varie peu pour les valeurs de # considérées.
L'erreur commise en employant les diverses formules données plus haut est de la forme
e = aPOn) -*- 6F p (x 2 ) h- cF p (xz) 4- etc.,
F p x étant la dérivée d'ordre le plus élevé dont nous ayons besoin, a&j, # 2 , x$, ... des valeurs de x inconnues, mais comprises, entre les valeurs extrêmes de x. Cela posé, soit x^ une valeur de .t, comprise aussi entre ces valeurs extrêmes de x, on aura
Par hypothèse, la partie de s écrite sur la seconde ligne est très petite. On pourra donc écrire approximativement
Cela revient à mettre, dès le début, dans l'expression de s, ou même dans les quantités qui ont servi à trouver s, x^ au lieu de ac 1? # 2 , x 3 , etc. C'est ce que nous ferons désormais, de sorte que toute égalité où entre x n'est qu'approximative.
37. Formules de Simpson et de Weddle. I. L'élément de la première formule de Simpson, c'est-à-dire f h (y^ -h % 2 -+- y 2 ), devient, en posant j/. 2 = F (se),
-h[i¥'(x) h- F'(x + h) -h F'(ar— ft)],
et, en développant,
2hF'+-h*F'" + — F'(ar„).
L'aire exacte est
F(x + A) — F (a? — /i) = 2ÂF' -*- - /* 3 F'" + — F v (^.).
L'erreur est donc approximativement
Si F' (oc) est du second ou du troisième degré, F v (x)est nulle. Donc la formule de Simpson est exacte pour une parabole du deuxième ou du troisième degré.
Si la base de l'aire à mesurer est 2nA, l'erreur pour chaque élément de base 2A est de la forme ~ W> F v (x^) et ces erreurs s'ajoutent, puisque F y (x) variant peu, ne peut pas, en général, changer de signe.
