LES COURBES DE JORDAN DANS L'ESPACE À TROIS DIMENSIONS

I. — Remarques sur les variétés enlacées et les surfaces simplement connexes.

28. J'aurai à utiliser, dans ce Chapitre et dans le Chapitre III de la deuxième Partie, certaines propriétés des courbes enlacées relativement aux surfaces simplement connexes. Ces propriétés se généralisent à un espace quelconque; je vais les établir dans toute leur généralité. Je rappellerai d’abord les définitions et les propriétés des variétés enlacées, données par M. Lebesgue (1) et par M. Brouwer (?).

La notion de variétés enlacées à été introduite par M. Lebesgue, qui l’a utilisée pour démontrer qu’une variété fermée à n—71 dimensions partage en régions l’espace à n dimensions. En voici la définition : Soient dans l’espace à p + q +1 dimensions deux variétés fermées T,, T, à p et g dimensions. Ces variétés sont enlacées si, &, et t, étant deux variétés polygonales très voisines de T, et de T, et leur correspondant, au cours de la déformation continue réduisant {,, par exemple, à un point non situé sur {,, il y a un nombre impair de traversées de 4, par t,.

() H. Lesescue, C. R. Acad. Sc., Paris, 27 mars 1911.

(2) Brouwer, On looping coefficients (Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 25 juin 1912, pages 113-121).

) ie L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. Sd

M. Brouwer à repris cette définition et a défini en même temps un nombre entier dit coefficient d'enlacement des deux variétés. Sa valeur absolue ne dépend que des variétés. Le signe dépend de la définition du sens positif sur chaque variété (!) et de l’ordre dans lequel on les considère. Les variétés enlacées, d’après la définon de M. Lebesgue, ont un coellicient d’enlacement impair.

29. Soient V,, V,», deux variétés fermées à À et n—h— 1 dimensions dans l’espace E, à n dimensions. M. Brouwer démontre sur leur coeflicient d’enlacement les propriétés suivantes que nous pouvons prendre pour définition de ce coellicient.

Le coellicient d’enlacement ne change pas si l’on déforme de façon continue l’une d’elles sans toucher l’autre. Il ne change pas non plus si lon remplace chaque vartété par une variété polygonale lui correspondant et très voisine. On peut préciser les mots très voisines en disant que les points homologues ont une distance inférieure à la moitié de l'écart des deux variétés.

Pour le calcul du coeflicient d’enlacement, 1l nous suflira done de considérer deux variétés polygonales #,, #, ;,. Construisons une calotte », ; de variété polygonale à n — hk dimensions ayant pour frontière #, 4, ,. Choisissons », ; de façon que (ce qui est toujours possible) #, et », , n'aient qu’un nombre fini de points communs. ?, et #, , étant décomposées en tétraédroïdes, nous supposerons en outre que ces points n’appartiennent pas à leurs frontières. Soit m un point commun intérieur aux deux tétraédroïdes tet 1,7. vet 9} 2 u(et par suite Pr») étant orientées, ces tétraédroïdes le sont. Il en résulte un ordre pour leurs sommets. Soierit do, di, das « : ., Ag et Do, D, b2, . .., by ces ordres. Menons par O lés vecteurs OA, OA,, .:., OA;, OB,, OB,, ..., OB,.; équipollanta ad Drome dti ni 00 De 01 léttétraedroide à nr dimensions de sommets OA, À., .,., A7 B,,B.,+../B,°;-dont les sommets sont pris dans cet ordre, oriente l’espace comme les

(1) Les variétés dont il sera question sont toujours bilatères. C’est à cette seule condition qu’on peut définir sur elles un sens positif.

axes de coordonnées, nous dirons que #; traverse positivement t, en m» et nous représenterons cette traversée par le nombre + 1. Si les orientations sont inverses, nous aurons une traversée négative représentée par — 1. Le coeflicient d’enlacement est la somme algébrique de ces nombres pour tous les points tels que m.

Envisageons une déformation continue de #, réduisant ?, à un point non situé sur #,;,. On définit de même un nombre affecté à chaque point de traversée de ?,; , par #, au cours de la déformation. Sa définition fait intervenir les tétraédroïdes qui se touchent et le vecteur représentant le déplacement du point commun. On démontre encore que le coefficient d’enlacement est la somme algébrique de ces nombres. Ceci n’est pas autre chose que la définition de M. Lebesgue.

Si l’on peut réduire l’une des variétés à zéro en coupant l’autre un nombre fini de fois, ou si une ealotte limitée par l’une coupe l’autre en un nombre fini de points, 1l ne sera pas nécessaire de faire appel à des variétés polygonales : ces points, en nombre fini, permettront de calculer le coefficient d’enlacement. En particulier, si l’on peut réduire l’une des variétés à un point non situé sur l’autre sans couper celle-ci, les deux variétés ne sont pas enlacées.

50. SURFACES SIMPLEMENT CONNEXES DE L'ESPACE A N DIMENsIONS. — On appelle ainsi une variété fermée homéomorphe à une hypersphère à n— 1 dimensions. Elle peut donc être regardée comme constituée de deux éléments de surface et est homéomorphe à la frontière d’un tétraédroïde à n dimensions. On appelle calotte simplement connexe dans le même espace une variété non fermée à n— 1 dimensions constituée par un seul élément. Elle est homéomorphe à un tétraédroïde à n — 1 dimensions, ou encore à une demi-hypersphère à n— 1 dimensions, ou encore à une hypersphère à n — 2 dimensions de l’espace à n — 1 dimensions et à son intérieur.

Soit S une surface simplement connexe de l’espace E,. Étant homéomorphe à une hypersphère Z à n— 1 dimensions de cet

ES

espace, Je peux aps établie une correspondance biunivoque et continue entre S et Z. Pour étudier les propriétés de S, il sera commode de définir les tétraédroïdes sphériques de Y

Soient &, 6 deux points de À non en ligne droite avec le centre O. Les points O, «, 8 déterminent un plan à deux dimensions qui coupe È suivant une hypersphère X, à une dimension (circonférence), &, 8 partagent À, en deux parties. J’appelle le tétraédroïde sphérique à une dimension de sommets &, B, l'arc de X, limité par ces points et inférieur à la moitié de Y,.

Supposons définis les tétraédroïdes sphériques jusqu’à la dimension k— 1. Soient æ, B, ..., À, k + 1 points de È non dans un même plan à h dimensions avec O. Ces points et le point O défininissent un plan à hk+: dimensions qui coupe Ë suivant une hypersphère Ÿ, à h dimensions. Les h + 1 points &«, B, peuvent former À + 1 groupes de À points, chaque groupe dr issant un tétraédroïde sphérique à k — 1 dimensions. Ces À + 1 tétraédroïdes forment une variété fermée sans point multiple à h—1 dimensions qui partage >; en deux régions. J’appelle tétraédroïide sphérique à h dimensions de sommets x, B, ..., À celle des régions de X, inférieure à la moitié de X,. Ces définitions sont

valables jusque k = n — 1.

J’en déduis la définition de lélément à h A 6e de S ayant pour sommets À + 1 points À, B, ..., L. J’appelle ainsi le correspondant sur $ du tétraédroïde sphérique à k dimensions de ÈŸ qui a pour sommets les points &, 8, ..., À homologues de À, B, ..., L.

5A. Tuéorème. — Étant donné un nombre A,, il existe un nombre €, tel que tout élément à h dimensions d’une surface simplement convexe S, dont les sommets ont des écarts mutuels inférieurs à e,, soit intérieur à une hypersphère à n — 1 dimensions de rayon A,.

Les fonctions qui définissent la correspondance de $S et £ sont continues et définies sur des ensembles fermés, donc uniformément continues. Par suite, à À, je peux faire correspondre 1 tel que aÿ 7 entraîne AB < A,. De même, à n je peux faire correspondre &, tel que CD <e, entraîne yà <<. Ce nombre e, est le nombre cherché.

Si en effet À, B, ..., L ont des distances mutuelles inférieures à &,, a, 8, ..., ont des distances mutuelles inférieures à 7. On voit alors facilement que tout point m du tétraédroïde sphérique à, 8, ..., À est à une distance de & inférieure à 1, done tout point M de lélément À, B, ..., Lest à une distance de À inférieure à A,.

Le nombre £#, est manifestement inférieur à A,; il est valable quel que soit le nombre des points À, B, ..., L jusqu’à la valeur n de ce nombre.

Taéorème. — Étant donné le nombre À, il existe un nombre &, tel que a, b, ..., l'étant h + 1 points ayant des distances mutuelles inférieures à €, et chacun ayant avec S un écart inférieur à £,, on peut amener le tétraédroïde 1,, ayant ces points pour sommets, sur un élément T, de S par une déformation continue au cours de laquelle chaque point de t, conserve avec S un écart inférieur à A.

Prenons le nombre &, correspondant par le théorème précédent

\ I I SE O0 Se .

AA — A ete=ze. Ce nombre satisfait aux conditions 1mposées. Sorent, en effet, À, B, ..., L des points de S tels que Aa, Bb, ..., LI soient inférieurs à «.. Il en résulte que les points À, B, ..., L ont des écarts mutuels inférieurs à €, et par suite que

tout lPélément T, avant pour sommets ces points est intérieur à. une sphère de centre À et de rayon A,, donc de diamètre A. On a aussi À a, Ab, ..., Al<e,, donc t, est intérieur à cette sphère. Donc tout le tétraédroïde {, est intérieur à cette sphère. Considérons le tétraédroïde sphérique +; ayant pour sommets les points &, 8, ..., À homologues de À,B, ..., L. +, et t, sont homéomorphes, done aussi t, et T,. Réalisons la correspondance entre 4, et T}, et faisons décrire à un point m de t, le segment de droite qui le joint à son homologue M de T,. Faisons de même pour tous les points tels que m en supposant qu'à un même instant, les segments tels que mM seront partagés par la position prise par m dans un même rapport. Nous amenons ainsi t, sur T;. Mais le segment Mm est intérieur à la sphère envisagée plus haut. Done Mm < A et m garde au cours de la déformation un écart inférieur à À avec M donc avec S.

Remarquons que la déformation continue que nous énvisageons ici pour {, ne laisse pas {; constamment homéomorphe à lui-même, car ilse présentera en général des points multiples au cours de cette déformation. Il n’en était pas de même pour les déformations envisagées aux n°% 95, 96 et 27.

Taéorèue, — Le nombre e, du théorème précédent est tel que toute variété polygonale +, à h dimensions (h=n— 2) dont chaque point a avec S un écart inférieur à €, peut se réduire à zéro, chaque point de +, gardant, au cours de cette déformation, un écart inférieur à À, avec S.

Décomposons #, en tétraédroïdes tels que pour chacun d’eux les sommets aient des distances mutuelles inférieures à &,. À chaque sommet 4 nous faisons correspondre un point À de Stel que Aa <&,. Faisons correspondre chaque tétraédroïde de », à un élément de $ avec la condition suivante : Une face à hk— 1 dimensions commune à deux tétraédroïdes aura pour homologue un élément à h — 1 dimensions de S, la correspondance étant la même quel que soit celui des deux tétraédroïdes de »; auquel on fait appartenir cette face. Cette correspondance est rendue possible par lintermédiaire des tétraédroïdes sphériques. La déformation indiquée ci-dessus amène alors #, sur une variété V, de S en remplissant les conditions imposées.

V, a pour homologues sur È une variété V’ formée d’un nombre fini de tétraédroïdes sphériques ayant moins de n — 1 dimensions, Donc V' ne remplit pas tout Ÿ. On peut alors ramener V’ à zéro sur Ÿ comme on le voit facilement en faisant une inversion ayant pour pôle un point de È non sur V’, Dans cette inversion, une portion de 2 contenant tout V’ devient l’intérieur d’une sphère à n — 2 dimensions d’un espace à n — 1 dimensions. La réduction à zéro à l’intérieur de cette sphère est immédiate. Done V peut se réduire à zéro sur $. La réunion des deux déformations indiquées démontre le théorème.

Taéorème. — Étant donné À, on peut déterminer € tel que toute variété V, à h dimensions (h=n— 2) dont chaque point a, avec S, un écart inférieur à € peut se réduire à zéro, chacun de ses points gardant avec S un écart inférieur à A.

= €, €, étant le nombre déterminé 5 €» €

Nous pouvons prendre € = par le théorème précédent. Prenons en effet une variété polygonale #; correspondant à V, et dont chaque point ait avec son homologue sur V, un écart inférieur à e. Soit M un point de V,;, m son homologue sur »#, et M’ un point de S tel que MM'<&e. On a alors M'm<e,, et comme on a aussi MM'<&,, tout point du segment Min est à une distance de M’ inféricure à &,. On peut donc passer de V, à v, de façon que tout point garde avec S un écart inférieur à e,, donc à A. Mais », est dans les conditions du théorème précédent. Le théorème est établi.

92. THÉORÈME. — Sotent S une surface simplement connexe sans point multiple et d un ensemble de points dont chacun a avec S un écart supérieur à un certain nombre AIT existe-un nombre & tel que toute variété V, à h dimensions (h£n— 2), dont chaque point a avec S un écart inférieur à £, n'est enlacée avec aucune des variétés à n— h— 1 dimensions qu’on peut constituer avec les points de d.

Le nombre € déterminé par le théorème précédent remplit ces conditions. On peut en effet réduire V, à zéro, chaque point de V, gardant avec $ un écart inférieur à A, donc sans couper d.

Ces théorèmes sont encore vrais si S est une calotte simplement connexe sans point multiple, homéomorphe par définition à une demi-hypersphère È à n — 1 dimensions. Le théorème précédent est même dans ce cas valable pour h — n — 1. En effet, on peut toujours réduire à zéro sur la demi-hypersphère Ÿ une variété à n—1 dimensions tracée sur elle. Ceci tient à ce que Ÿ est homéomorphe à un tétraédroïde à nr — 1 dimensions.

33. Soient une surface simplement connexe sans point multiple S et d un ensemble de points dont chacun a avec S un écart supérieur à A. Considérons le nombre € donné par le théorème précédent. Envisageons maintenant un pavage de l’espace E, à l’aide de cubes à n dimensions, égaux et ayant un diamètre inférieur à &.

Conservons ceux de ces cubes qui touchent $. Ils forment un domaine D d’un seul tenant, contenant S à son intérieur et dont

chaque point à avec S un écart inférieur à #. Donc toute variété ayant au plus n — 2 dimensions, tracée dans D, n’est enlacée avec aucune des variétés extraites de d. D est un domaine limité par des variétés polygonales à n — 1 dimensions.

Je dirai, pour abréger, qu’en construisant D, J'ai enfermé S dans un domaine polygonal D non enlacé avec d.

La même définition s'applique si S est une calotte simplement connexe sans point multiple. Les variétés envisagées dans D peuvent alors aussi avoir n — 1 dimensions.

94. Comme première application de ces propriétés, démontrons le théorème suivant :

THéoRÈmE. — Soient, dans l’espace à n dimensions E,, une surface simplement connexe sans point multiple S et deux variétés fermées V,, Vs, àhetn— h— 1 dimensions, sans point commun, enlacées, el sans point commun avec S. Ces deux variétés sont dans une même région de S.

Dans cet énoncé, on suppose 12 An — 2, donc n23 Enfermons S dans un domaine poly Pa D non Ve avec Pensemble V,+ V,,,. Soit V' une variété polygonale correspondant point à point à V,, très voisine de V,, de sorte qu’elle n’a pas de points communs avec D. V'et V,,-, sont enlacées. Je dis que V,,., et V', donc aussi V;, sont dans la même région extérieure à D, donc dans la même région par rapport à S. Faisons en effet passer par V' une calotte polygonale à h + 1 dimensions W et modifions-la légèrement, si c’est nécessaire, de façon qu’une variété à r dimensions de W ne coupe une ste à s dimensions bHinitant D que pour r +sZn. Dans ces conditions, les interseetions de W et de la frontière de D sont des variétés polygonales à h dimensions V', V;. ..., V,. Nous ne considérons que celles qui limitent la portion W, de W située dans la région R extérieure à D qui contient V”.

Si V,,-, n’était pas dans cette région R, W, ne rencontrerait pas V,». Donc (n° 29), la soinme des coellicients d’enlacement

desivanetés V', V,,-V,, ..., V, avec V,;, serait nulle, et

comme V', V,, ..., V,, tracées sur D, ne sont pas enlacées avec V, ra il en serait de même de V', donc de V.

Il faut remarquer que les variétés V', W, V', V,, :.., V, peuvent avoir des points singuliers. Mais cela n’influe à aucun moment sur notre raisonnement, car, si l’on décompose ces variétés en éléments convenablement choisis, ces éléments seront sans points singuliers: seulement il arrivera que deux éléments aient des points communs bien qu'ils ne doivent pas être considérés comme contigus, de sorte qu'il faudra parfois considérer des points oéométriquement confondus comme analytiquement distincts.

Il. — Les courbes planes et les courbes sphériques.

53. Nous allons étendre les résultats du Chapitre I et justifier l'énoncé suivant : Soient, dans l’espace E,, deux courbes de Jordan sans point multiple C et c (toutes deux ouvertes ou toutes deux fermées) planes ou sphériques, on peut passer de l’une à l’autre pas une déformation homéomorphe de l’espace, n’altérant qu’une récion bornée. Il en résultera que la correspondance entre C et c s'étend à tout l’espace.

96. Théorkme. — St, par une déformation homéomorphe d'une surface bornée S en elle-même, laissant fixes les points frontières de S, s’il y en à, on peut transformer une figure F en une figure F'; on peut aussi transformer F en F' par une déformation homéomorphe. d'une partie bornée de l’espace en elle-même, pourvu que, en chaque point m de S, il existe une normale à S qui varie de façon continue avec m, el poureu que, pour H assez petit, le segment N'mN normal à S, de nulieu m et de longueur 2 H passe, quand m varie sur $, une seule fois par chaque point du domaine D qu'il balaie.

Tout point P de D est bien déterminé par le pied.m du segment normal, unique, qui passe par P et par le nombre À, (—H2Zh:+H), qui mesure le segment mP, le sens positif étant celui des normales dirigées d’un côté déterminé de $. Le point P sera dit le point im, RJ

La déformation homéomorphe de S' est supposée donnée en

fonction d’un paramètre { variant de o à 13; p [m, t] désigne la posi- Uon, à Pinstant {, du point qui, à Pinstant o, est sur S en m.

La déformation homéomorphe de l’espace est ainsi définie : elle laisse immobiles les points extérieurs à D. Le point P qui, à l’instant Oo, était en }m, h! est, à l’instant t, (o£4£ 1), en

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