Soient deux courbes C et € d’un même plan. Enfermons-les

dans une courbe sans point multiple F (une circonférence par exemple). On peut passer de C à c par déformation de l’intérieur de F (n% 25 et 26). Or l’intérieur de F remplit les conditions du théorème précédent, done on peut passer de C à c par la déformation indiquée au n° 55.

Le cas des courbes planes non situées dans un même plan sera

étudié au numéro suivant.

38. COURBES SPHÉRIQUES. — Soit C une courbe de Jordan sans point multiple tracée sur une sphère S. Je dis qu'il existe un point O de S non situé sur C. Soit M un point de C, transformons $ en un plan Ë par une inversion de centre M et partageons C en deux ares C’, C7 par deux points situés de part et d’autre de M. L'are C7 contient M; nous le supposons assez petit pour que son transformé [7 soit tout entier extérieur à une circonférence À du plan È. L’arc L/ transformé de C’ ne remplit pas tout À; 1ly a done, dans À, un point © qui n'appartient ni à [’ mi à F”. Son transformé O répond à la question.

I suffit maintenant de faire une inversion de centre O pour déduire les propriétés de la courbe sphérique C de celles des courbes planes et prouver en particulier la possibilité de transformer, de facon continue, une courbe sphérique en une autre tracée sur la même sphère. : “

Soient maintenant deux courbes fermées C et c tracées sur des plans ou sphères P, p. Coupons P et p par une sphère S qui donne les intersections F, y. Nous savons déformer C en F, puis F en y, enfinyen c; si Cet c étaient ouvertes nous pourrions les considérer

. 1 A 4 eomme des parties de deux eourbes fermées C + C’, c + c. L'énoncé du n° 55 est établi.