MIE

lé CRC - —— = f, Soit p,-un point quelconque

du segment m,m, tel que Mots

de l'intérieur de ç. La demi-droite OP, COUPE €, en un point my, €,

en un point m, et c en un point q. Si p, est entre g et m,, je prendrai PT = HT

m étant le point défini précédemment, Si p, est entre 0 et m,, Je prerdrai p tel que É = RS Quand on fait varier 0 de o à tr,

l'intérieur de c se déforme et cette déformation réalise manifeste-

pour position de p, au stade 4 le point p de 0gq tel que

mert les conditions imposées.

Si C, n'est pas intérieur à C,, nous nous ramènerons à ce cas en passant par l'intermédiaire d’une courbe C’ (dont nous allons prouver l'existence), intérieure à C et ayant C, et C, à son intérieur, On déformera d’abord l'intérieur de C de façon à amener C, sur C’, puis de façon à amener C’ sur C,. Pour prouver l’existence de C’, faisons une représentation de E sur un plan e de façon que C soit représentée par une circonférence c. C, et C, sont alors représentées par deux courbes c,, c, ne touchant pas c. Ces courbes ont un écart non nul avec c; donc on peut construire une circonférence c’ concentrique à c. intérieure à c et ayant €, et c, à son intérieur. L'image de c’ est Ja courbe C’ cherchée. Le théorème est démoatré.

TAÉSE ANTOINE 5

26, La même propriété a lieu si les courbes C,, C, sont ouvertes. Si C, et C, ne se coupent pas, nous ferons la représentation de E sur un plan e de façon que C soit représentée par une circonférence c, GC, CG, par deux-arcs de circonférences c,, €, ayant même centre que ec et homothétiques par rapport à ce centre. Si nous complétons les circonférences c,, €, et que nous fassions la déformation du plan e indiquée au numéro précédent, elle réalisera les conditions exigées.

Si C, et C, se coupent, nous passerons par l'intermédiaire d’un are C/ intérieur à C et ne coupant ni C, ni C,. Un tel arc existe, puisque ni C, ni C,, ni par suite leur ensemble, ne peuvent remplir

l’intérieur de C.

27. Soient dans un plan E une courbe fermée sans point multiple C et deux courbes ouvertes sans point multiple C,, C, intérieures à C, sauf leurs extrémités À, B qui leur sont communes et qui appartiennent à C. On peut passer de C, à C, par une déformation homéomorphe de E n’altérant que l’intérieur de C.

Désignons par F, l” les deux arcs de C déterminés par À et B. Supposons d’abord que C, et C, n’ont en commun que leurs extrémités À et B. L'intérieur de C est divisé en trois régions ayant respectivement pour frontières les courbes F + C,,C, + C,,C, + T”. Considérons dans un plan e une circonférence c sur laquelle nous marquons deux points diamétralement opposés ab. Joignons ces points à l’intérieur de c par deux ares de cerele c,, c,. Appelons y, y! les deux arcs de € déterminés par a et b (fig. 8). L'intérieur de c est partagé en trois régions ayant pour frontières respectives y, + cs, Co + Ci, €, + y’. Faisons une représentation de E sur e faisant correspondre P, + CG, à y + c,, À et a, B et b et conservons de cette représentation ce qui concerne les intérieurs de ces courbes. Faisons de même pour les courbes CO, + C,, c, + c,, en ayant soin que la correspondance entre C, et c, soit la même que celle obtenue dans la correspondance précédente. Enfin opérons de même pour C, + l” et c, + y’ avec la même précaution pour C, c,. Il ne nous reste plus qu'à déformer lintérieur de ç de façon à amener ç, sur €,.

Il en résultera la déformation cherchée. La déformation de l’intérieur de c s’obtiendra par un procédé analogue à celui du n°9 95. I suflira de faire décrire à chaque point une portion de la perpendiculaire au diamètre ab et d'écrire les mêmes égalités où les

points o et q auraient été remplacés par les deux points de rencontre de cette perpendiculaire avec c.

Si C,, C, se coupent, il me suffira de passer par l'intermédiaire d’un arc C’ d’extrémités À,B, intérieur à GC et ne touchant C,, C, qu’en À et B. Prouvons l'existence d’un tel are.

Pour cela, faisons une représentation de E sur un plan e dé façon que C-soit représentée par une circonférence c. C, C, sont alors représentées par deux ares de Jordan c,, ce, aboutissant aux deux points à, b homologues de AÀ,B. Partageons l’un des arcs ab de c en deux parties égales par un point m,. Partageons l’are am, en deux parties égales par un point m,. L’are m, m, a un écart non nul avec €, et c,. On peut done construire un are Po 4: concentrique à m, m, et homothétique et ne rencontrant ni ç, ni c,. Il en sera de même des portions de rayons m, p, et m, q,. D'une façon générale, je partagerai Parc am,, en deux parties égales par un point m, et j'en déduis un arc homothétique et concentrique à m,, m,, SOit Py 1 Qny Qui ne coupe pas €, et c,. Je fais les mêmes constructions pour l’arc bm,. La courbe c’, somme des ares p,, q, et des segments rectilignes p,, qn, réalise les conditions exigées. Le théo-

rème est démontré.

Remarquons que comme courbe auxiliaire C7 nous pouvons prendre une ligne polygonale dont l’ensemble des sommets a pour seuls points limites les points A et B. I suflit qu'il en soit de même pour c'. La correspondance entre E et e se décompose en effet en un nombre fini de correspondances homographiques pour toute région qui ne contient pas de points de C ou c (n° 46). Or, on peut manifestement prendre pour ’ une telle ligne; il sullit de remplacer les arcs p,,, g, par des lignes polygonales voisines.