III. — Les courbes tracées sur le tore

59. Soit T un tore dont nous désignerons les deux rayons par r et R (rR). Supposons que Porigine des coordonnées soit au centre du tore et que l’axe des z soit l’axe du tore. Nous pouvons alors exprimer les coordonnées +, y, z d’un point M quelconque de T en fonction de deux paramètres ©, © par les formules

æ—=(R+rcos27r9) cos27u, (1) (T){ y —=(R+rcos27p) sin2rw,

= TSiN2TO:

À chaque système de valeurs de w, © correspond un point et un seul de T et à chaque point de T correspond un système de valeurs de w, © dont chacune est définie à un entier près.

Soit un plan IT dans lequel nous avons pris deux axes de coordonnées 0 w, 0 #. À un point M de T nous ferons correspondre le point » de IT qui a pour coordonnées les valeurs w, © des paramètres de M. Si l’on prend les divers systèmes possibles pour w, &, on obtient les diverses représentations de M sur IT. Ces représentations se déduisent de l’une d’elles par les translations définies par des vecteurs dont chacune des projections est entière. Considérons dans IT les parallèles aux axes d’abscisse ou d’ordonnée entière. Ces droites décomposent IT en carrés dont chacun représente une fois et une fois seulement tout T, sauf en ce qui concerne les frontières de ces carrés pour lesquelles il y a lieu de prendre une précaution évidente. ”

Soit s une région de Il Hmitée par une courbe de Jordan sans point multiple, s refrésente une certaine région S de T. Supposons qu'il n'existe aucun vecteur de projections entières dont les deux extrémités appartiennent à s (frontière comprise). Dans ces conditions la correspondance entre S et s est biunivoque et continue. S est alors une calotte simplement eonnexe sans point multiple.

) , ; ; ç L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES, 47

A0. Soit C une courbe de Jordan tracée sur T. æ. y, z sont fonctions continues d’un paramètre { que nous supposerons varier de o à 1. Pour chaque point de la courbe, on peut alors définir des déterminations de & et © fonctions continues de t :

(2) w—w(t), pæo(t)

Le point représentatif sur I décrit alors une courbe de Jordan c. Soient &, $ les accroissements respectifs de w, © quand { varie de o à 1:œ—w(1) —w (0), 8 = o (1) —o® (0). Ces nombres sont évidemment Indépendants de la détermination prise pour 6, o.

Si l’on changeait de paramètre en posant & = f (t'), les nombres «, B ne seraient pas non plus. changés, sous la réserve que f soit une fonction croissante. Dans le cas contraire, ils seraient changés de signe. Ces deux nombres &, $ sont donc parfaitement définis par la courbe, si on la suppose orientée.

La courbe C est ouverte et sans point multiple, si, a et b étant entiers, les deux équations

ne peuvent être vérifiées sumultanément que pour a — 0, b = 0, t=1". La représentation c de C est alors un arc de Jordan sans point multiple. Deux représentations différentes de C sont sans point commun; et 1] n’y a pas de vecteurs à projections entières dont les extrémités soient sur une même représentation de C. L’un au moins des nombres &, £ relatifs à C n’est pas entier.

La courbe C définie par les fonctions (2) est fermée et sans point multiple, si les mêmes équations sont vérifiées seulement lorsque Ron robiemeet;de10, Do owbien tt: Vi="0 auquel cas a — &, b —f. Si x et B sont nuls, la représentation c de C est une courbe fermée sans point multiple. Il n’y a pas de vecteur à projections entières ayant ses extrémités sur € et deux représentations différentes de C ne se coupent pas.

Si l’un au moins des nombres x, Ê n'est pas nul, c est une courbe ouverte sans point multiple. Le vecteur qui joint ses extrémités est le seul vecteur de projections entières (d’ailleurs égales à & et 6) dont les extrémités sont sur c. Ces deux extrémités appartiennent

chacune à une autre représentation de C et il n’y a que ces deux points de € qui appartiennent à d’autres représentations.

Quand la courbe C est fermée, les nombres &, 6 représentent en orandeur et en signe les coefficients d’enlacement de C avec l'axe de T et le lieu des centres des méridiens de T. Par coeflicient d’enlacement avee laxe du tore, j'entends le coefficient d’enlacement avee une courbe formée par une demi-circonférenee concentrique du tore, de rayon supérieur à R + r, dont le diamètre est porté par l'axe du tore, et le diamètre de cette demi-circonférence. Elle est supposée orientée de façon qu’en la décrivant dans le sens positif, la cote aille en croissant sur la partie rectiligne. Le lieu des centres des méridiens est orienté suivant le sens positif du plan des æy. Nous supposons C orientée dans le sens des { croissants.

On pourrait démontrer dès maintenant ces propriétés des nombres &, G; je les établirai plus tard pour chaque cas.

#1. CourBEs OUVERTES. — Soit C une courbe de Jordan ouverte sans point multiple tracée sur T. Les diverses représentations c, c', ... de C sur le plan IT sont des arcs sans point multiple et sans

point commun. Chaeun d’eux a un écart non nul avec les autres. Soit € un nombre inférieur à cet écart (le fait qu'il y à une infinité de représentations n'empêche pas de déterminer € paree qu'il ny en à qu’un nombre fini dans une région bornée). Enfermons une représentation particulière c dans une chaîne régulière ouverte g

A 2 x 0 re x J .

dont chaque chaînon a un diamètre inférieur à - &. Je dis que g

représente de façon biunivoque et continue une région de T. Supposons en effet (n° 39) qu'il y ait un vecteur pp’ de projections entières ayant ses deux extrémités dans g. Il existe deux points mm‘

de c tels que mp < > AR D ES LE (n° 49). Soit m, un point tel

que (mm) = (pp'). m, représente le même point que m et $e trouve alors sur une autre représentation c’ de C. Mais on a

m,p'= mp, donc < 5€ et par suite m'm,<e. Ceci est impossible

puisque € est inférieur à l'écart de c et c’. Traçons dans g un segment de droite c, parallèle à l’axe 00,

Il représente un arc de parallèle C, de T. On peut passer de c à c, par une déformation continue de la région g n’altéraut par la frontière (n° 25). g étant homéomorphe à une région G de T, on peut passer de C à C, par une déformation continue de T en lui-même. Le tore T satisfaisant aux conditions du n° 56, on peut passer de a courbe C à la courbe plane C, par une déformation continue de l’espace n’altérant qu'une région bornée.

Les courbes ouvertes tracées sur le tore peuvent donc être ajoutées à celles qui figurent dans l’énoncé du n° 35.

42. COURBES FERMÉES DONT LA REPRÉSENTATION EST FERMÉE. — Soit C une telle courbe (x = 6 = 0). Considérons une représentation particulière c de C et soit € un nombre inférieur à l’écart de c avec les autres représentations de C. Enfermons c dans une chaîne régulière fermée g dont chaque chaïînon a un diamètre infé-

6 I : œ PRE rieur à —e. Soient l, l’ les deux contours de cette chaîne ([/ inté-

rieur à l). Je dis que l’intérieur s de ! représente de façon biunivoque ét continue une région 5 de T. Il me suflit de prouver qu'il n'existe pas de vecteur à projections entières dont les extrémités appartiennent à s. | Supposons qu'il existe un tel vecteur pp’. Déplaçons-le sur la droite qui le porte jusqu’à ce qu’une de ses extrémités p vienne sur l; l’autre extrémité p' appartient encore à s. Elle ne peut pas appartenir à g, car le raisonnement du numéro précédent s’appliquerait encore à la chaîne g et par suite il n’y a pas de vecteur à projections entières ayant ses extrémités dans g. Ainsi p'est intérieur à l’, donc à c. Soient m un point de c tel que mp < - cet m'le point tel que (mp) = (m' p'). mm’ est un vecteur à projections entières, done m' appartient à une représentation c’ de C différente de c. m/ ne peut pas être dans g, car il aurait un écart inférieur à 2e avec c; m' ne peut pas être extérieur à !, car le vecteur m!p' ayant ses extrémités dans deux régions différentes de c couperait c en un point m” et l’on aurait m'm"< m'p', donc

e. Donc m’ est intérieur à l’. La courbe c’ qui con-

encore <

tient m! a donc ce point à l’intérieur de c. Elle se déduit de c par la translation (mm'); elle a done des points à l’extérieur de c, par exemple le point qui se déduit par la translation (mm') du dernier point de rencontre avec c de la demi-droite mm’. Donc c' coupe «, ce qui est impossible. La propriété est établie.

Soient m un point de l'intérieur de Let Mle point de T qu'il représente. Traçons de M comme centre une sphère de rayon assez petit pour qu’elle coupe T suivant une courbe GC, sans point multiple et dont tous les points appartiennent à la région S de T homéomorphe de l’intérieur s de L. C, est représentée par une courbe c, intérieure à L; ce, est fermée et sans point multiple. On peut passer de c à c, par déformation homéomorphe des sans altérer {, donc on peut passer de GC à la courbe sphérique C, par déformation homéomorphe de T sur lui-même et par suite de C à C, par déformation homéomorphe de l’espace n’altérant qu’une région bornée.

Les courbes fermées C tracées sur un tore et pour lesquelles x = 6 =0o peuvent donc encore être ajoutées à celles de l’énoncé du n° 55.

« et $ sont bien les coellicients d’enlacement de C avec lPaxe du tore et le lieu des centres des méridiens, car c peut se réduire à o à l’intérieur de l, donc C peut se réduire à o sur T, c’est-à-dire sans couper ni l’axe, mi le lieu des centres des méridiens.

45. COURBES FERMÉES DONT LA REPRÉSENTATION EST OUVERTE. — Nous supposons maintenant que l’un au moins des deux nombres «, Bn'est pas nul. Les représentations de C sont des courbes ouvertes. Soit c l’une d'elles d’extrémités m,, m,, avant respectivement pour coordonnées &,, 0,; &,, ©,. Le vecteur m,m, est le seul vecteur à projections entières dont les extrémités soient sur c; ses projeetions sont d’ailleurs «, 6.

Supposons que nous fassions une déformation homéomorphe de T en lui-même, &,, &,,©,, ©, varient de façon continue; donc &, — w,, 2, —%, varient de façon continue et par suite restent fixes et égaux à &, 5. Au cours d’une telle déformation, c restera donc une courbe ayant la même propriété que c : le vecteur joignant ses extrémités est le seul vecteur à projections entières dont Îles extrémités sont sur € et ce vecteur a pour projections &, 8. Nous allons

envisager dans la suite un certain nombre de telles déformations que nous définirons chacune par la déformation d’une portion du plan IT représentant de façon biunivoque et continue une région de T. Nous arriverons finalement à amener c à être un segment de droite, qui aura alors pour projections &, 8 et aucune portion de ce segment de droite n’aura ses deux projections entières.

44. Traçons, ce qui est possible, deux chemins reliant m, et m, et constituant une courbe fermée Y contenant c à son intérieur, les points m, et m, étant les deux seuls points de c situés sur Y. De plus, y devra être telle qu’elle ne contienne que le segment m, m, qui ait ses deux projections entières. Sauf en ce qui concerne m, et m,, l’intérieur de y est une image univoque et continue d’une région du tore.

Traçons une ligne polygonale c, joignant m, et m,, intérieure à y et n'ayant que m, et m, pour points limites de ses sommets. On peut (n° 27) déformer c en c, en n’altérant que l’intérieur de +.

Soit m, un point de c, autre que m, et m, et prolongeons c, au delà de m, en effectuant sur l’are m, m' de c, la translation m,m,. La courbe c’ ainsi obtenue, m,, m\ est analogue à c, seulement elle est polygonale et n’a un nombre infini de côtés qu’au voisinage du point m,. 51 donc on opère sur c’ comme sur c, on pourra prendre un contour y! formé d’un nombre fini de segments et une ligne c polygonale d’un nombre fini de côtés.

Or les opérations qui nous ont ainsi fait passer de c à c, sont les images de déformations continues n’intéressant que le voisinage. de C. Par de telles déformations, on peut done amener c à être formé d’un nombre fini de segments. J’appelle encore c la ligne ainsi obtenue.

45. La ligne c ayant un nombre fini de sommets, nous pouvons supposer, quitte à faire une déformation représentée par un accroissement de w et de ©, que les sommets de cette ligne n’ont aucune de leurs coordonnées entières. c est alors découpé par les côtés du quadrillage de IT en, tronçons. Les extrémités de ces tronçons appartiennent chacune à un seul côté de c et ce côté traverse en

h2 LOUIS ANTOINE.

ce point le côté du quadrillage. Je supposerai encore, ce qui est également légitime, qu'aucun sommet du quadrillage n’est sur c.

Considérons le carré y du quadrillage qui a pour côtés les segments (0, 1) de o w et 0 ®, soit oabc son contour. Faisons subir à chaque tronçon de c la translation qui l’amène dans y. Nous avons une nouvelle représentation c, de C. c, est formé de tronçons allant d’un côté de y à un autre côté. Leurs extrémités en nombre fini se correspondent deux à deux : sur oa et cb par abscisses égales; sur ab et oc par ordonnées égales. Il n’y a pas d'extrémité aux sommets:0, 4,4 b, etde y.

Les tror ço1s de c, soit de trois sortes :

Première catégorie. — Trorçons dort les extrémités sont sur un

même côté de y. Soit mm’ un trorçon de cette nature dont les

extrémités sont sur o&, par exemple. S'il y a d’autres extrémités

Fig. 9.

de tronçons entre m et m', ils ne peuvent être que de cette nature, puisque c, est sans point multiple. Il y en a alors un, mm', tel que :] 4 2 r eo

l'arc mm’ et le segment mm/ déterminent une région ne contenant pas de points de c,. Cette région est homéomorphe à une portion P

de T (fig. 9).

Par une déformation n’intéressant qu’une portion de T contenant P et différant aussi peu de P que nous le voudrons, nous pouvons remplacer C par une courbe telle que la partie n mm'n' de c,, net n'étant très voisins de m et m', devienne le segment nn’. Par cette opération répétée nous supprimerons tous les tronçons de c, qui sont de première catégorie.

Deuxième catégorie. — Les tronçons dont Îles extrémités sont sur deux côtés de y comprenant un angle de y. Je dirai qu’un tel tronçon est relatif à cet angle. S'il existe un tronçon relatif à l’angle o il en existera un relatif à cet angle, soit mm’, tel qu'entre o et m et entre o et m', il n’y ait pas d’autres extrémités de tronçons. Supposons alors qu’il existe des tronçons relatifs aux angles consécutifs o et a et soient mm’, pp' ceux de ces tronçons tels que mm” et pp’ sont les extrémités de tronçons les plus rapprochées de o ou a.

On a alors om! — ap! (fig. 10). Envisageons le carré y’ contigu à y le long de oc et dans ce carré le tronçon m'p, homologue de pp". On peut comme tout à l'heure remplacer un arc un peu supérieur à p,m!m par un arc sans points dans y et y’ et coupant en un seul

point m, le prolongement de co. Dans cette opération nous faisons disparaître les quatre extrémités m, m', p, p' et nous faisons apparaître les deux extrémités homologues de 7"»n,, donc nous diminuons le nombre des extrémités de tronçons. Il peut d’ailleurs réapparaître des tronçons de la première catégorie que nous ferons aussitôt disparaître comme il a été dit plus haut et cela ne peut que diminuer encore le nombre des tronçons.

Nous pourrons répéter une telle opération tant qu'il restera des tronçons relatifs à deux angles consécutifs. Comme nous diminuons chaque fois le nombre des tronçons, nous arriverons à ne plus en avoir de cette sorte, le nombre total des tronçons étant fim.

” Les tronçons de deuxième catégorie qui restent sont alors néces- Sairement relatifs à deux angles opposés, supposons, pour fixer les idées, qu'ils soient relatifs aux angles a et c.

Troisième catégorie. — Les tronçons dont les extrémités sont sur deux côtés opposés de y. S'il y a de tels tronçons allant de og à bc, 1l ne pourra pas y en avoir qui aillent de ab à oc. Supposons par exemple que nous soyons dans ce cas.

Supposons qu'il y ait r extrémités de tronçons sur ab et oc et s sur oa et bc. Parcourons à partir de a les deux chemins abc et aoc, et numérotons sur chacun de ces chemins les extrémités de tronçons dans l’ordre où nous les rencontrons. Les extrémités d’un même tronçon portent le même numéro, car les tronçons ne se coupent pas et chacun d'eux passe entre a et c.

Enfermons un segment un peu inférieur à ab dans un rectangle homéomorphe à une portion de T et déformons l’intérieur de ce rectangle de façon que les extrémités de tronçons sur ab viennent aux milieux des segments obtenus en coupant ab en r parties égales. Faisons une déformation analogue relativement à oa. Ceci fait, nous pouvons par des déformations successives du type envisagé, faire en sorte que les tronçons deviennent des segments de droite joignant les extrémités que nous venons de déterminer. Ces segments sont alors parallèles et par suite c est un segment de droite.

Nous pouvons enfin faire une dernière déformation amenant l'extrémité initiale de c au point a (accroissement fixe de toutes Les:

valeurs de w et accroissement fixe de toutes les valeurs de 9). Soit c’ le segment ainsi obtenu et soit C/ la courbe de T qu'il représente.

46. D’après la remarque de la fin du n° #5, c! a pour projections «8, les coordonnées de-son extrémité sont x, 8. Il en résulte que €’ et par suite C’ a pour équations

63} : (C7) DAT, pt (OS AE r):

On passe de C à C’ par déformation continue sur T, donc C a les mêmes coeflicrents d’enlacement que C’ avec lPaxe et le lieu des centres des méridiens. Calculons par exemple ce dernier. Le cercle limité par le lieu des centres des méridiens coupe T suivant la cir-

Fe 1 5 F —..

chaque fois que c’ coupera une droite $ — ; + entier, la coordonnée

2 allant en croissant sur c’. La somme de ces traversées est manifestement B; ce nombre est donc le coefficient d’enlacement de C avec le lieu des centres des méridiens. On trouve de même que «est ie coefficient d’enlacement de C avec axe de T. #;

Nous avons également remarqué qu'aucune portion de €’ n'avait ses deux projections entières. [l en résulte que si aucun des nombres &, @ n’est nul, ces deux nombres sont premiers entre eux. Si 8 par exemple est nul, c’ est porté par l’axe ow et la même remarque montretvae x =""2"T1) Denmémesiw—6 ET)

Si l’un au moins des nombres &, 8 n’est pas nul, C est enlacée soit avec l’axe, soit avec le lieu des centres des méridiens. Elle ne peut donc pas se réduire à o sans couper une de ces courbes, c’està-dire sans quitter T. Je dis de plus que C ne partage pas T en régions. Il suffit de le prouver pour C’. Les représentations de C’ forment des droïtes parallèles qui découpent B segments égaux

(1) Si une courbe fermée C a des points multiples, les accroïissements «, B de et #, quand on la décrit complètement, sont encore ses coefficients d’enlacement avec l’axe et le heu des centres des méridiens ; mais ces nombres ne sont plus nécessairement premiers entre eux.

sur oa et « sur oc. Soient m,, m, les points de y qui représentent deux points donnés M,, M, de T, non sur C’. Menons par m, m, des demi-droites parallèles à o9 et soient p,, p, les premiers points de rencontre avec les représentations de C'; p, sera sur une certaine représentation c’ et p, sur c,. Soit p, le point de c, homologue de p, et construisons le vecteur p,m, équipollent à p, m,. Le segment de droite m, m, représente une courbe qui, sur T, joint M, M, sans couper C/. Ces points étant quelconques, C’ ne partage pas T en régions. |