Je vais maintenant établir le théorème suivant

THéorème. — Soient C une courbe de Jordan fermée sans point multiple tracée sur un tore et x, B ses coefficients d’enlacement avec l'axe et le lieu des centres des méridiens. Pour que la correspondance entre C et une circonférence puisse s'étendre à tout l’espace, il faut et il suffit que l’un des nombres «, 8 soit égal à 0, à + 1 ou à — 7. Quand cette extension est possible, on peut passer de C à la circonférence par une déformation homéomorphe de l’espace n’altérant qu’une région bornée.

48. Montrons d’abord que ces conditions sont suffisantes. Ceci est déjà fait pour le cas à = 8 — o (n° 42). Supposons que lun au moins des nombres &, ne soit pas nul, et raisonnons sur la courbe C’ définie par les équations (3). Si « ou 6 est nul, C’ est un méridien ou un parallèle de T, donc une circonférence et la proposition est évidente. Il ne reste donc à étudier que le cas a$ = o.

Soit d’abord & — + 1. Un demi-plan quelconque mené par l’axe du tore coupe C'.en un seul point. En effet, ce demi-plan coupe T suivant le méridien w — w, et les points de C/ sur ce méridien ont pour paramètres les racines de l’équation æ, + k = «1, k étant un entier quelconque. Mais comme &« = + 1 et que t est compris entre o et 1, cette équation a une racine { et une seule. La projection C, de C’ sur le plan des xy est donc sans point multiple. Soit 5 le cylindre projetant C’ sur le plan des ay, limité à deux courbes’ L, L/ de cotes + r et —r. Nous pouvons passer de C’ à C, par une déformation homéomorphe de S n’altérant pas les

1 pe L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. 57

frontières L, L', qu'on définirait comme celles considérées précédemment, n°5 25, 27.

Comme S vérifie manifestement les conditions du théorème du n° 56, on peut passer de C/ à la courbe plane C! (donc aussi à une circonférence) par une déformation de l’espace n’altérant qu'une région bornée.

Reste le cas 8 — + 1. Mais il n’y a, en réalité, aucune différence essentielle entre & et 6; une inversion dont le pôle est sur le lieu des centres des méridiens de T, transforme T en un tore T’, les méridiens de T en les parallèles de T’ et inversement, donc elle transforme C en une courbe C' pour laquelle &' = 6, 8! = «.

Les conditions sont done bien suffisantes. |

A9. Pour montrer que les conditions sont nécessaires, supposons que la correspondance entre C et une circonférence puisse s’étendre à tout l’espace. Il en est alors de même de la correspondance entre C' et la circonférence. Au cercle limité par la circonférence, correspond une calotte simplement connexe sans point multuple Ÿ ayant C’ pour frontière. Nous allons montrer que s’il existe une telle. calotte À et st aucun des nombres à, 5 n'est nul, l’un d'eux est, en valeur absolue, égal à 1.

Considérons une surface auxiliaire T', enveloppe d’une sphère de rayon constant p dont le centre décrit C’. Nous prendrons p assez petit pour que T’ soit sans point multiple. Alors T’' est le lieu d’une circonférence G dont le centre décrit C’, qui a 9 pour rayon, et dont le plan est normal à C'; par chaque point de T'il passe une circonférence C et une seule. G, étant petite, coupe T en deux points M,, M, qui décrivent deux courbes L,, L,. Si le point M décrit C’ dans le sens positif, M, et M, décriront L,, L, dans des sens que je prendrai pour sens positifs de ces courbes. Les trois courbes C/, L,, L, étant ainsi orientées, je dis qu’elles ont deux à deux un coefficient d'enlacement égal à «f, donc différant de o dans les hypothèses où nous nous sommes placés.

Envisageons une représentation de T sur le plan IE Soient c un vecteur de projections &, $ représentant C’, et m la représentation sur €’ d’un point M de C’. L'arc M, MM, suivant lequel le cercle

limité par G coupe T est représenté par un arc m, mm,. Nous supposerons o assez petit pour que mm,, mm, soient toujours inférieurs

ed | . . « Ê . .

à —- Soient /,, L, les lieux de m,,m,, quand M décrit C'. Les projec-

tions de /,, 1, sont entières puisque L,, L, sont des courbes fermées. Mais comme les extrémités correspondantes de /, et de c’ sont dis-

. I . . 2 \ tantes de moins de =, les projections de /, sont égales à « et 6,

de même pour /,. Done les coeflicienits d’enlacement de L, et de L, avec l’axe et avec le lieu des centres de méridiens de T sont « et B.

Déformons C’ intérieurement à T (donc sans couper L, et 154 chaque point de C7 décrivant un rayon de méridien. Nous-amènerons ainsi C’ sur le lieu des centres des méridiens, & point de C! venant en un même point de cette courbe. D’ailleurs C’ étant enlacé & fois avec l’axe. du tore, nous pouvons dire que nous amenons C’ sur & fois la circonférence lieu des centres des méridiens. L, est enlacé B fois avec cette circonférence, donc «8 fois

avec C’. Nous aurions pu également par une déformation extérieure à T amener C’ sur $ fois une circonférence concentrique à un méridien et un peu plus grande. Le résultat est le même. On a le même résultat pour les coefficients d’enlacement de C/ avec EF et de L, avec L..

Fixons un système de coordonnées w/, &’ sur T”’. Soit M/ un point de T’. Il est sur une circonférence G de centre M. Le point M est déterminé sur C’ par une valeur du paramètre t, entre o et 1 [équatons (2)]. Nous prendrons w’' égal à & à un entier près. Orientons la crconférence G, par exemple dans le sens qui va de M, à M, extérieurement à T. Nous prendrons pour +/ le rapport d’une déterminaton quelconque de l’are M, M’ à la longueur de G. &’ est déterminé à un entier près. La courbe L, a pour équation 9’ = o à un entier près. Les courbes G ont pour équations &' = constante.

Si nous considérons une courbe fermée tracée sur T’, nous pouvons lui faire correspondre deux nombres &!, 8! qui seront les accroissements respectifs de w' et de 2’ quand on décrit la courbe. Pour, les=courbes Lit et -L, «=11, 87 :0 :; pour les: circontérentree di 0, PT,

Nous pouvons faire la représentation de T' sur un plan H' comme nous avons fait la représentation de T sur un plan IL Au point M’ de paramètres w”, 9", nous ferons correspondre le point m' de coor-

données w', 2’.

Cette représentation aura des propriétés tout à fat analogues à celles de la représentation du tore.

50. Je vais montrer que, si £ existe, 1l existe sur T'une courbe G, : Re nelle net I ne coupant pas 2 et pour laquelle 5 n est pas nul.

È étant une calotte simplement connexe sans point multiple peut se représenter sur un cerele 5 limité par une circonférence c”. L'ensemble des points communs à È et T” se représente alors suivant un ensemble fermé ayant un écart non nul avec c’. Je peux donc tracer une circonférence €!” concentrique à c’ et telle que dans l'anneau compris entre ces deux cireonférences 11 n’y ait pas de points représentant des points communs à Ÿ et T”, Soient C7 l’homologue de ec” et ZX’ la calotte simplement connexe sans point mul-

tiple correspondant à l’intérieur de €”. E' a C7 pour frontière et

l’on peut passer de C/ à C/ sans couper T’ puisqu'on peut passer de c” à c” sur l'anneau que forment ces deux courbes. C” est donc enlacée comme C'-avec toute courbe tracée sur T”.

S' n'ayant pas de points sur C/, nous pouvons enfermer £’ dans un domaine polyédral D non enlacé avec C/ (n° 53). Soient D’ lensemble des points de D sur T'et [,, L,, ... les frontières de D”. La courbe C, que je cherche est une des courbes I.

Tout d’abord, les courbes [ existent, c’est-à-dire qu'il y a sur T” des points de D et des points n’appartenant pas à D. Si tout T’ n'appartenait pas à D, une circonférence G étant extérieure à D ne couperait pas X’ et par suite ne serait pas enlacée avec C7, ce qui n'a pas lieu, puisque G est enlacée avec C’. Si tout T’ appartenait à D, la circonférence G étant intérieure à D ne serait pas enlacée avec C', ce qui n’a pas lieu. Donc les lignes [ existent. Remarquons en outre que le domaine D est formé de cubes d’un pavage de l’espace et que ces cubes satisfont à la seule condition d’avoir un diamètre inférieur à un nombre déterminé € et de toucher ”. Nous pouvons donc choisir le pavage de façon qu'aucune face n1 aucune arête ne soit tangente à T’ et qu'aucun sommet ne soit sur T’. Dans ces conditions, les courbes [ seront en nombre fini, sans point commun et sans point multiple.

Les courbes l'appartenant à la frontière de D’, donc de D, aucune d'elles ne touche £’, ni £, puisque X est la somme de X' et d’une portion intérieure à T’. Il suffit donc de prouver que, parmi les courbes [, il ÿ en a au moms une pour laquelle 8’ o. Ce sera la courbe C, cherchée.

Si pour toutes les courbes [on avait 8! — o, on aurait pour ces courbes & = 0, + 1, où — 1. On ne peut pas avoir, pour une courbe [, & = + 1, car cette courbe pourrait se ramener sur T! à la courbe L, et, par suite, cette courbe I serait comme L, enlacée avec C’, ce qui n’a pas lieu, [appartenant à D.

Supposons alors que pour toutes les courbes I on ait &/ — gro!

Les représentations & des courbes I sur IT sont alors des courbes fermées sans point multiple et sans point commun; il y a donc une région À d’un seul tenant extérieure à toutes ces courbes et

AA DAT ANS ARR v. * l'axe 0" 9! a des points dans cette région, car il ne peut être tout

entier intérieur à une seule courbe &. Soient & un point de cet axe appartenant à A et ble point dont l’ordonnée est égale à celle de a augmentée de 1. b représentant le même point que a est aussi dans A. ab représente une circonférence G. Traçons dans À un arc y allant de à& à b. Il représente une courbe fermée F, tracée sur T” et pouvant avoir des points multiples: Mais y peut se ramener sur I ay segment ab, & et b ne bougeant pas, donc F peut se ramener sur T’ à une circonférence G, F est donc enlacée avec C’ et C7. Nous arrivons à une contradiction par la remarque suivante : si À appartient à D (c’est-à-dire représente des points appartenant tous à D), F appartient à D, donc n’est pas enlacée avec C”, ce qui n’a pas lieu; si À n'appartient pas à D, F ne coupe pas £”, ce qui est encore impossible puisque cette courbe est enlacée avec C7:

Il'est donc nécessaire que, pour une au moins des courbes I, B8' ne soit pas nul. Soit C, cette courbe et soient æ/, 8! les accroissements de w" et de &” quand on la décrit.

Considérons maintenant la courbe C° tracée sur T' et qui a pour équations paramétriques

(4) (C1) wat, g=Bé (Bo),

a! et P' étant les valeurs qui viennent d’être définies par C,. On peut passer de C, à C' par une déformation homéomorphe de T” sur luimême, done (n° 36) par une déformation homéomorphe de l’espace n’altérant qu'une région bornée. Cette région peut d’ailleurs être prise assez voisine de T’ pour que C’ lui soit extérieure. A la fin de cette déformation, Z devient une calotte simplement connexe Ë, ayant C' pour frontière et qui n’est pas coupée par C. Donc :

54. S'il existe une calotte simplement connexe sans point multiple Z ayant pour frontière C’, il en existe aussi une EX; de même frontière et qui n’est pas coupée par une certaine courbe C; tracée sur T’ et définie par les équations (4) où 6" o (fig. 11).

8 n'étant pas nul, C; coupe effectivement L, en $° points que je désigne par M,, M, .... Elle coupe aussi L, en $' points M,, M',.... Je vais prouver qu'il existe deux points M,, M, consé-

cutifs sur C! et pouvant être joints sur T par une courbe ne coupant Das

Remarquons d’abord que les points M,, M, ... sont des points de traversée de même signe de T par C' et que M,, M, ... sont des points de traversée du signe différent du prenuer. Ceci résulte immédiatement de la considération de la représentation de C' qui est un segment rectiligne et qui coupe les droites 9’ — entier aux points représentatifs des points M,, ©’ variant toujours dans le même sens quand on passe par un tel point. Nous supposerons par exemple qu’en décrivant C! on passe de l’intérieur de T à l’extérieur aux points M,, M', ... et de l'extérieur à l’intérieur aux. points M,, M, ss

C! ne touchant pas X,, enfermons X, dans un domaine polyédral D non enlacé avec C! et soit D’ l’ensemble des points de D situés sur T. Il y a sur T des points de D, par exemple tout C, et des points n’appartenant pas à D, par exemple les points M, Donc D’ a une frontière qui, par suite d’un choix convenable de D (remarque faite au numéro précédent), sera formée d’un nombre fini de courbes 1,, [,, ... sans point multiple et sans point commun.

Les courbes | appartenant à D, aucune d’elles n’est enlacée avec C. De même les courbes | appartenant à la frontière de D, aucune d'elles ne coupe Z,, done aucune d'elles n’est enlacée avec C’. Soient alors «,, 6, les coeflicients d’enlacement d’une de ces courbes 1;, avec l’axe et le lieu des centres des méridiens de T. Cette courbe a alors avec C’ le coeflicient d’enlacement aB, = «,8 (voir le raisonnement fait au n° 49 sur les courbes C/, L,, L,). Nous venons de dire que ce coefficient était nul, et comme « et 8 ne sont pas nuls, «, et $, sont nuls. Les courbes 1 représentant les courbes I sur IT sont donc des courbes fermées, sans point multiple et sans points communs et chacune d'elles avec son intérieur représente de façon biunivoque et continue une calotte simplement connexe sur T (n° #2). De plus, il y a dans IT une région unique d’un seul tenant extérieure à toutes les courbes £ et tous les points que représentent les points de celle région appartiennent à D, car les droites indéfinies qui représentent C/ ne peuvent être que dans cette région

, D mn L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES,. 635

et C’ appartient à D. Or les points M,, M',...,M,, M, ... n’appartiennent pas à D : leurs représe ntations PS RS CISODTIOOHE chacune intérieures à une courbe

Soit m, une représentation particulière de M, ; elle est intérieure à une courbe 1, et, par suite, située dans une région d’un seul tenant s limitée extérieurement par &, et éventuellement par des courbes 1,, dy, -.., intérieures à &,. Chacune de ces courbes n’est pas enlacée avec C; et l’intérieur de chacune d’elles représente de façon biunivoqué et continue une région de T. La somme des traversées de T par C, à l’intérieur de chacune de ces régions est nulle et, par suite, il y a un nombre égal de points m, > M ... et de points m,, m, à l’intérieur de chacune des courbes à Leconte DA ADAELIONHEN LIEN a au moins un point », dans s. Ce point m, peut alors être joint au point m, dans s. Ce chemin représente une courbe K, allant de M, à un certain point M, sur T sans couper D’, donc sans rencontrer À,.

Si M, et M, ne sont pas consécutifs sur C', soit K' lun des ares de C} ayant pour extrémités M,, M,, la courbe K,+ K' ne coupe pas à,. Les points de K' au voisinage des extrémités M,, M, sont dans une même région de T. Nous pouvons alors déduire de cette

courbe une courbe C, ne coupant pas X, et formée de : 1° la

courbe K°, sauf deux petits ares au voisinage des points M,, M,; 20 une courbe déduite de K, par une déformation au cours de laquelle chaque point décrit un rayon de méridien de T, du côté des petits arcs supprimés de K°; 39 deux petits ares faisant le raccordement. Cette courbe C, coupe T en des points qui font partie des points M,, M, ..., M,, M, ..., mais leur nombre est moindre

Je peux appliquer à la courbe C! les raisonnements faits sur C' et joindre deux certains points M, M, par un chemin K, tracé sur T et ne coupant pas X,. Si M, M; ne sont pas consécutifs, J’envisagerai l’arc MM, de K°, soit K;, et je recommencerai sur la courbe K, + K°. Le nombre des points tels que M,, M, allant en diminuant et l'opération pouvant se poursuivre tant qu’on n’a pas obtenu de points consécutifs sur C', je finirai par en obtenir.

Appelons M,, M, ces deux points consécutifs, K l’are qui les joint

sur T et K’ l'arc de C! sur lequel il n’y a pas de points de T en dehors

A y j , des extrémités M,, M,. La courbe K + K’ ne coupant pas 2, nest pas enlacée avec C. C’est cette propriété que Je vais maintenant utiliser.

52. Considérons une dernière courbe auxiliaire K” joignant sur T les points M, et M,. Pour préciser K”, je supposerai qu'un point M’ décrit K’ et qu'à chaque position de M’ je fasse correspondre un point M de l'intersection de T par le cercle limité à la circonférence G passant en M’. K” sera l'arc décrit par M que je suppose se déplacer de façon continue. Je peux supposer en outre que K” coupe C’ en un seul point M, et il y aura en ce point, sur T, traversée de C’ et K”. On pourra d’ailleurs passer de K’ à K” dans une seule région de T, les points M,, M, ne bougeant pas. La courbe fermée K + K” peut avoir des points multiples, mais cela n’a aucune importance. Soient «,, GB, ses coeflicients d’enlacement avec l’axe et le lieu des centres des méridiens de T.

Nous distinguerons deux eas suivant que K’ est intérieur ou extérieur à T. Supposons d’abord K’ intérieur à T. Amenons K’ sur K” par la déformation indiquée ci-dessus. Puis amenons C’ intérieurement à T, à coïncider avec [«| fois le lieu des centres des méridiens. Le coeflicient d’enlacement de cette nouvelle position de C’ avec K + K” est en valeur absolue |«B,|. D’autre part, C' et K + K' n'étaient pas enlacées. Mais les déformations faites sont en réalité des déformations de ces courbes, au cours desquelles il y a une traversée (et une seule) en M,. Le coellicient d’enlacement a donc augmenté d’une unité en valeur absolue. Donc |a«ÿ,|— 1. Ceci EXC CRE |

Un raisonnement analogue montre que, si K’ est extérieur à T, on al = +

Donc, si la correspondance entre C et une circonférence peut s'étendre à tout l’espace, et si aucun des nombres &8 n’est nul, lun de ces nombres est égal à + 1 où à — 7. C0 :F D:

59. Il résulte de ceci que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une courbe C tracée sur un tore soit frontière d'une calotte

6) r np L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. 65

simplement connexe sans point multiple est que l’un des nombres M DSOIL OA dora OU Aer

Nous venons de prouver que cette condition était nécessaire pour C”. Elle est également nécessaire pour C, puisque la correspondance entre C et C’ s'étend à tout l’espace. Elle est suffisante, car, dans ce cas, la correspondance entre C et une circonférence s’étend à tout l’espace, la calotte sera l’homologue du cercle limité par la circonférence,

Remarquons enfin que si la correspondance entre C et une circonférence ne peut pas s'étendre à tout l’espace, elle s’étend néanmoins aux voisinages de ces courbes. Il en est en effet ainsi pour C’ et une circonférence : elle s’étend à l’intérieur de T’ d’une part et d'autre part à l’intérieur d’un tore dont la circonférence serait le lieu des centres des méridiens.

IV. — Exemple de deux arcs homéomorphes seulement en eux-mêmes.

94. L'étude qui vient d’être faite des courbes tracées sur le tore T va nous permettre de construire un arc F dont la correspondance avec un segment de droite ÿ ne peut s'étendre à aucun voisinage. |

Considérons sur T la courbe C' définie par les équations (3) du n9 46, © = at, 9 — Bt, où t varie de o à r'et où nous supposerons « et B supérieurs à 1 et premiers entre eux. Sur C/, marquons deux points À, B de paramètres respectivement assez voisins de o et 1 pour que l’un des deux arcs AB de C’, soit V, ne coupe pas les deux Œ ñ

un cercle. Ajoutons à ces cercles les points de T pour lesquels on

parallèles 9 = -, 9——-; de T. Ces parallèles limitent chacun | 4

I I . : : # a — A D < ÿ: Nous constituons ainsi une surface simplement

connexe sans point multiple Q que j'utiliserai dans un instant. J’appelle V' le second arc AB de C’.

Marquons sur l’axe des z un point P de cote supérieure à 5r. Prenons les homothétiques de C/, À, B, V, V', Q par rapport à P

T\72 ; ë on ha dans le rapport ) , n étant entier positif, et désignons ces homo-

thétiques par la lettre correspondante affectée de lindice n. Le choix du point P est tel que les surfaces Q, sont extérieures les unes aux autres. Joignons BA, extérieurement à ces surfaces, et prenons encore les homothétiques de cette ligne. La courbe cherchée l'est formée de :.1° les homothétiques de V’ quand on donne à n toutes les valeurs entières; 2° les homothétiques de BA,; 39 un segment PP' de l’axe des z, P' ayant une cote supérieure à celle de P.

55. Supposons que la correspondance entre F et un segment de droite y puisse s’étendre à leurs voisinages. Soit p l’homologue de P sur y. Il existe une sphère de centre p et dont tout l’intérieur appartient au voisinage considéré de y. Dans cette sphère, considérons une courbe c formée d’une demi-circonférence de centre p et de son diamètre porté par y. Elle limite dans son plan une calotte simplement connexe 6. À c correspond une courbe C frontière d’une calotte simplement connexe sans point multiple Z, homologue de o. La courbe C est formée d’un arc, portion de F auquel appartient P et d’un arc ayant un écart non nul avec P (homologue de la demicirconférence), donc extérieur à une certaine sphère de centre P. Mais je peux déterminer n assez grand pour que Q, soit tout entier intérieur à cette sphère. C comprend done l’are V’ et un arc extérieur à Q,. Je dis qu’il est impossible qu’une telle courbe soit frontière d’une calotte simplement connexe sans point multiple. En raison des homothéties faites, il me suffit de prouver que la courbe C, somme de V' et d’un arc V” extérieur à Q, ne peut pas être frontière d’une telle calotte.

56. Supposons qu'il existe une calotte E limitée à C. Faisons une inversion par rapport à un point intérieur à T et non situé sur Z. T se change en une surface qui lui est homéomorphe, par construetion. Mais si l’on fait correspondre aux méridiens les inverses des parallèles et inversement, la correspondance peut s'étendre à tout : l’espace, comme on s’en rend compte aisément, car ici il s’agit de surfaces analytiques simples. Supposons cette extension faite. Il

à ’ L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES,. 67

correspond à C’ une courbe analogue, mais pour laquelle les nombres &, 6 auraient été permutés, ce qui n’a aucune importance iel. À Q correspond une surface simplement connexe intérieure à T, et à V” une courbe intérieure à la surface correspondant à Q. La nouvelle courbe € serait frontière d’une calotte Y, la correspondante de celle imitée à l’ancienne courbe C. Remarquons d’ailleurs que nous pouvons supposer que les arcs de V7 voisins de À et B sont analytiques, et alors, par une déformation de l’espace, n’altérant que l’intérieur de Q, nous pouvons amener V” à être intérieur à T'et à la sphère de diamètre AB. Je peux enfin supposer À,B assez voisins pour que cette sphère soit intérieure à la surface T’ définie au n° 49.

La figure obtenue est donc la suivante : la sphère de diamètre AB

Fig, 12. es

est intérieure à T’. Elle découpe dans T une calotte U limitée par une courbe S et soit U, la portion de cette sphère intérieure à T. C est une courbe formée de V' et d’un arc V” allant de À à B intérieurement à la surface Q = U + U,. Il s’agit de prouver que «C

ne peut pas êtic ficrtière d’ure calctte simplement connexe sans poirt multiple (fig. 12).

37. Supposons qu'il existe une calotte È ayant C pour frontière. Comme Q est intérieure à T’, les raisonnements faits au n° 50 sur C’, T'et È s'appliquent 1ei à C, T' et E. Il existe alors une calotte >, de frontière C qui n’est pas coupée par une courbe C de T’ qui a pour équations w’ = at, ©’ = G'i (8 Æ o).

Enfermons Z, dans un domaine polygonal D non enlacé avec C; et de façon que l’intersection de D avec T (et aussi avec la surface qui s’en déduit en remplaçant U par U,) soit constituée par un nombre fini de courbes [ sans point multiple et sans point commun. Nous supposerons encore que, si une courbe I rencontre S, elle traverse S en ce point de rencontre. Les tronçons des courbes I intérieurs à U se répartissent en deux catégories : la première est formée des tronçons dont les deux extrémités sont sur le même arc AB de S; la seconde est formée des tronçons ayant une extrémité sur chacun de ces arcs.

Considérons d’abord les tronçons de la première catégorie. Un raisonnement, analogue à celui du n° 45, permet de les faire disparaître, grâce à une déformation de T sur lui-même n’altérant qu’une portion un peu plus grande que U. Cette déformation pourra d’ailleurs faire sortir de U des courbes [ totalement intérieures à U. Une telle déformation peut être réalisée par une déformation de l’espace n’altérant que le voisinage de U (n° 36), donc ne modifiant pas C ni C. Après cette déformation, D devient un nouveau domaine non enlacé avec C' et enfermant encore une calotte limitée à C, cette calotte étant ce qu’est devenu ZX; après la déformation. Il n'y aura plus de tronçons de première catégorie dans U et le nombre des extrémités de tronçons aura été diminué.

Si, dans UÜ,, 1l y a des tronçons de première catégorie, je ferai un raisonnement analogue, en remplaçant U par U, et je ferai disparaître ces tronçons, en dimnuant toujours le nombre des extrémités sur S. La déformation pourrait peut-être faire réapparaître des tronçors de première catégorie sur U : je recommencerai alors l'opération sur U pour les faire disparaître et ainsi de suite.

J’arriverai finalement à ne plus avoir de tronçons de première catégorie, ni sur U, ni sur U,, car chacune des opérations diminue le nombre des extrémités sur S et ce nombre est fini, Il ne restera plus que des tronçons de seconde catégorie. Si je décris les deux arcs AB de S à partir de À et que je numérote les extrémités de tronçons au fur et à mesure de leur rencontre, les extrémités ayant le même numéro ne peuvent être extrémités que d’un même tronçon dans UÜ et d’un même tronçon dans U,. Mais ces deux tronçons, Pun dans U, l’autre dans U,, forment une courbe enlacée avec C, Ceci est impossible puisque les lignes [appartiennent à la frontière de D et par suite ne coupent pas X,, ceci à tous les stades des déformations faites. 1! n'y a donc plus d’extrémités de tronçons sur $. S'il y a des points des courbes Là l’intérieur de U, ils sont sur des courbes [ totalement intérieures à U. Je peux alors faire une déformation de l’espace, n’altérant qu’une région très voisine de U, de façon que ces courbes ne coupent plus V. V est alors, comme A et B, totalement intérieur à D,

Nous pouvons alors reprendre les raisonnements des nS51 et 52 en renouvelant, chaque fois que cela sera nécessaire, les déformations indiquées ci-dessus pour le domaine D. Nous en déduirons une courbe telle que K + K/, non enlacée avec C, comprenant une portion K’ appartenant à C et une portion K sur T, extérieure aux divers domaines D, donc ne coupant pas V. Mais V” étant intérieur à Q, on peut passer de V” à V, et par suite de C à C’ sans couper K + K'. K + K' n’est donc pas enlacée avee C’. Le raisonnement s’achève comme au n° 52 et l’on en conclut que «= 71 ou B — #, ce qui est contraire aux hypothèses faites.

Donc la correspondance entre et y ne peut s'étendre à aucun voisinage.

58. La propriété de F'tient à la forme de cette courbe au voisinage du point P. Appelons alors Fun arc de l quelconque, pourvu toutefois qu’il contienne le point P comme point intérieur, au sens strict. Tout arc sans point multiple dont F fait partie est tel que sa correspondance avec un segment de droite ne peut s'étendre à aucun voisinage, Cet arc ne peut faire partie de la frontière d’une

calotte simplement connexe sans point multiple. De même, la correspondance entre une circonférence et une courbe fermée sans point multiple dont T’ est un are ne peut s'étendre à aucun voisinage. Une telle courbe ne peut pas être la frontière d’une calotte simplement connexe sans point multiple.

Je dis, de plus, que l”’ (et par suite toute courbe contenant T°) ne peut pas être considérée comme tracée sur une surface sans point multiple. I faut entendre dans cet énoncé le mot surface avec la restriction faite habituellement en Analysis situs : parmi les modes de décomposition de la surface en éléments, 1l en existe au moins un tel qu’un point donné P de la surface appartienne à un seul élément.

Supposons qu’il existe une surface contenant 1’. Divisons-la en éléments de façon que P appartienne à un seul élément X. P appartenant à Z seul, 1l y a un arc de [” ayant P comme point intérieur (au sens strict) qui appartient aussi à X seul.

Décrivons F dans les deux sens à partir de P jusqu'aux premiers points Q, Q, qui appartiennent à un élément autre que Zet appelons T” l'arc QPQ, de [”. Considérons un des deux arcs QQ, de la frontière de È (celui qui ne contient pas P, si P est sur la frontière). Conservons de cet arc la portion Q'Q! qui ne touche F” qu’en ses extrémités, Q’ étant sur l’are PQ de T” et Q sur Pare PQ. La courbe formée de cet arc Q’Q de frontière et de l’are Q'PQ: de F”Hmite sur Ë une calotte simplement connexe sans point multiple. Or ceci est impossible, puisque la frontière de cette calotte comprendrait un arc du type de l'arc T”.