V. — Correspondance entre les ensembles de courbes

59. Pour terminer cette étude, disons un mot du cas où l’on chercherait à étendre la correspondance entre deux groupes formés chacun de deux courbes, C,, C, d’une part, c,, c, d’autre part, fermées, sans point multiple et sans point commun. Pour que la correspondance entre C,,C, et c,,c, puisse s'étendre à leurs poisinages, il faut et 1l suffit manifestement qu’il en soit ainsi pour la correspondance entre C, et c, et pour la correspondance entre C, et cs.

Pour qu’elle puisse s'étendre à tout l’espace, il faut encore qu'il en soit ainsi pour la correspondance entre C, et c, et la correspondance entre C, et c,. Mais cette condition n’est plus suffisante. L’extension à tout l’espace ne sera, par exemple, pas possible si le coefficient d’enlacement de C, et C, n’est pas égal au coeflicient d’enlacement de ce, et c,. Même si ces coeflicients sont égaux, 1l ne sera pas toujours possible de faire cette extension. Voici un exemple où l’on se trouve dans ce cas.

60. Comme courbes c,, c,, prenons deux circonférences d’un même plan, extérieures l’une à l’autre. Comme courbe C,, prenons une circonférence du plan des æy et de centre l’origine O des coordonnées.

Pour définir C,, marquons un segment FF’ de milieu O, porté par l’axe Oy et intérieur à C,. Marquons un segment équipollent HH/ ayant son milieu H, sur Ox et extérieur à C,. Construi-

Fig. 13.

sons un rectangle AA'B'B ayant ses côtés AA”, BB’ équipollents à FF’, leurs milieux AÀ,, B, étant dans le plan æOz, et ses côtés AB, A! B! parallèles à Oz et ayant pour milieux H, H". Appelons G, G! les deux arcs de circonférence AFB et A’ F'B’. Sur le cylindre de révolution d’axe HH/ et de génératrice AA’ traçons les deux

spires d’hélice ne se coupant pas AB, A (soit G,) et BA, B’ (soit G). La courbe C, est la réunion des quatre ares G, G', G,, G (fig. 13). La correspondance entre C, et c, s’étend à tout l’espace, ainsi que la correspondance entre C, et c,. c, et c, ne sont pas enlacées. C,, C, ne sont pas non plus enlacées, car C, coupe le cercle limité par C, aux deux seuls points F, F’ où les traversées sont de sens contraires. Je dis que néanmoins la correspondance entre le groupe C,, C, et le groupe c,, c, ne peut pas s'étendre à tout l’espace. Retenons les trois propriétés suivantes du groupe c,, c. Le cercle limité par c, n’est pas coupé par c,. Le cercle Hart par © n’est pas coupé par c,. Il existe une sphère contenant c, à son intérieur et €, à son extérieur, En rapprochant ces propriétés des trois théorèmes démontrés ci-après, nous avons trois preuves de l'impossibilité d’étendre la correspondance considérée à tout l’espace. | Pour démontrer ces théorèmes, j’utiliserai une calotte de sur-

Fig. 14.

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Énrecerelif ===

face S ayant C, pour frontière et comprenant : 1° une surface cylindrique de génératrices parallèles à Oy et de bases G et G'; 20 deux conoïdes droits d’axe A, B, et de directrices respectivement G, et:G,. S a une ligne double A, B,. On peut représenter S sur l’intérieur $ d’une circonférence Y, Ta ligne double étant représentée par deux segments a, b,, a, b, de part et d’autre du diamètre ff! qui réprésente la génératrice FF! (fig. 14).

GT. Taéorème [. — Toute calotte simplement connexe sans point multiple ayant C, pour frontière coupe C..

Supposons qu'il existe une telle calotte È ne coupant pas C.. Enfermons È dans un domaine polyédral D non enlacé avec C (n° 55). Appelons d l’ensemble des points de s représentant des points de S appartenant à D. Je dis que je peux joindre a! et b! à l’intérieur de s par un arc (ligne polygonale) ne touchant pas d. S'il en était autrement, 1l y aurait dans la frontière (analytique) de d une courbe ? ayant ces deux points dans des régions différentes. L'intérieur de & représente alors une calotte de S traversée en un seul point par C,, et C, serait enlacée avec la courbe [ que représente 7. Ceci est impossible, puisque [ appartient à D, non enlacé avec C.. |

Soit alors y’ le chemin joignant a b°. Considérons la courbe tracée sur S et représentée par : 1° l’arc b, fa, de y; 2° l’arc Y’ décrit de a, vers b!. Cette courbe est fermée et traverse le cercle limité par C, en des points sur FF”, la somme algébrique des traversées étant 2. Elle est donc enlacée avec C,. D'autre part, elle est extérieure à D, donc ne coupe pas Z. Nous arrivons à une contradiction.

62. Tnéorème II. — Toute calotte simplement connexe sans point multiple qui a C, pour frontière coupe C,.

Supposons qu'il existe une telle calotte £ ne coupant pas C,. Enfermons-la dans un domaine polyédral D non enlacé avec C, et soit d l’ensemble des points de s qui représentent des points deS appartenant à D. 4, et b! appartiennent à d, car ils représentent des points de C,, donc de D. Je peux joindre à b, à l’intérieur de s par un chemin y’ appartenant tout entier à d. Sans cela, 1l y aurait sur S une courbe [ appartenant à la frontière de D et qui serait enlacée avec C,, ce qui est impossible, car une telle courbe ne coupe pas Z. La courbe F envisagée au numéro précédent est enlacée avec C,. D'autre part, elle est entièrement intérieure à D et ne doit par suite pas être enlacée avec C,. Nous avons encore une contradiction.

65. Tnéorème [IL — Soit Ÿ une surface simplement connexe sans point multiple et sans point commun avec C, et C,. Ces deux courbes sont dans la même région de X.

Enfermons Ÿ dans un domaine polyédral D non enlacé avec C, et C, et soit d l’ensemble des points de s qui représentent des points de S appartenant à D. On peut joindre a! b! par un chemin y’ ne touchant pas d. Sans cela il y aurait sur $S une courbe [ appartenant à D et qui serait enlacée avee C,, ce qui est impossible. La courbe F du n° 614 reste extérieure à D, donc ne coupe pas £. D’autre part, elle est enlacée (deux fois) avec C,. Donc CRE sont dans la même région de X (n° 5/4). Il en est alors de même de C, et C,, puisque F emprunte un are de C,, l’are G.

6/4. Les courbes C,, C, jouissent done des trois propriétés précédentes, qui appartiennent aussi aux courbes enlacées et qu’on aurait pu être tenté de supposer caractéristiques des courbes enlacées. Nous rencontrerons dans la deuxième Partie, une singularité de même nature, mais plus frappante encore : nous définirons une courbe non fermée qui est coupée par toute calotte simplement connexe sans points multiples ayant pour frontière une certaine crconférence. De plus, l’ensemble des points d’intersection n’est pas dénombrable.

Nous verrons aussi, dans la deuxième Partie, de nouveaux exemples de deux arcs homéomorphes seulement en eux-mêmes, comme ceux définis au n° 54. Nous définirons aussi deux courbes non fermées dont la correspondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à tout l’espace.