PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ENSEMBLES FERMÉS DISCONTINUS

65. Définitions. — Considérons un ensemble F de points dans l’espace E, à n dimensions. On dit que l’ensemble est mal enchaîné entre deux de ses points M,, M, s’il existe un nombre n non nul, tel qu’il soit impossible de construire une ligne polygonale ayant pour extrémités ces deux points M,, M,, dont tous les sommets sont des points de l’ensemble et dont chaque côté ait une longueur inférieure à n. Nous dirons encore, pour abréger, que ce nombre est tel qu'il est impossible de cheminer sur l’ensemble, de M, à M, par pas lous inférieurs à 1.

Remarquons que si nous avons déterminé une valeur n satisfaisant à ces conditions, tous les nombres inférieurs à cette valeur y satisfont aussi. De plus, n ne peut pas être pris supérieur à la distance M, M,. Donc les valeurs possibles pour n ont une borne supérieure € ayant les propriétés suivantes : Si 1 < €, on ne peut pas cheminer sur l’ensemble de M, à M, par pas tous inférieurs à n. Sin > €, on peut cheminer sur l’ensemble de M, à M, par pas tous inférieurs à n. C’est ce nombre & que j'atlacherai désormais au couple M,, M, si l’ensemble est positif mal enchaîné entre ces deux points.

Si M,, M; M, M, sont quatre points de l’ensemble et si les distances M, M, M, M’ sont inférieures à 0, ou bien &(M,, M.) et & (M, M) sont tous deux inférieurs à 0, ou bien 1ls sont égaux; car on passe de M, à M et de M, à M, par des pas inférieurs à 0. Donc si M' et M, tendent vers M, et M, &(M°, M,) tend vers

a (M,, M). & (M, M) est une fonction continue des couples de

points M,, M, de l’ensemble; c’est-à-dire des 2 n coordonnées de ces points.

Un ensemble est dit partout discontinu, s’il est mal enchaîné entre deux quelconques de ses points. Nous dirons aussi pour abréger que l’ensemble est discontinu.

Nous allons étudier ceux de ces ensembles qui sont fermés, et surtout ceux qui sont parfaits et partout discontinus.

66. Taéorème. — Soit F un ensemble fermé partout discontinu et soient S,, S, deux surfaces sans point multiple (variétés fermées à n— 1 dimensions) dont l’une S, est intérieure à l’autre. On peut construire une surface polygonale V, sans point multiple, ayant un nombre fini de sommets, intérieure à S, et ayant S, à son intérieur, et ne contenant aucun point de F.

Ce théorème généralise un énoncé dû à M. Painlevé (1) : Étant donné un point M d’un ensemble, parfait, partout discontinu et plan, on peut enfermer ce point dans une ligne (analytique, par exemple) ne contenant aucun point de l’ensemble et dont tous les points sont à une distance de M inférieure à un nombre donné:

Pour légitimer notre énoncé, considérons tous les couples M,, M, formés d’un point de F situé sur $S, et d’un point de F situé sur S,. Ces points forment deux ensembles fermés discontinus F, et F,; si, par hasard, l’un de ces ensembles F,, par exemple, n’existait pas, nous adjoindrions à F un point P deS,, alors F, existerait et se réduirait à P. Les ensembles F, et F, étant fermés, la fonction &-(M,, M) atteint sa borne inférieure 8, pour un couple M,, M, convenablement choisi et par suite 0, est différent de zéro.

Adjoignons à F tous les points de $, et de S, et considérons, pour l’ensemble f ainsi obtenu, la fonction <(M,, M,), M, étant surS, et M, sur S,. Cette fonction atteint encore sa borne inférieure 8. Je dis que 0 est différent de zéro.

Sans quoi, si petit que soit n > 0, on pourrait aller d’un point M, de S, à un point M, de $S, par pas inférieurs à n en ne rencon-

(*) Voir la Thèse de M. Zorerrt (Journal de Mathématiques, 6€ série, t. 11906, P- 9:

° 2 à L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET °DE LEURS VOISINAGES. 7

trant que des points de #. Soient m, le dernier point deS, rencontré, m, le premier point de S, rencontré, p, et p, les points rencontrés respectivement, immédiatement après m,, immédiatement avant mo. P1 €t pa Sont des points de F, &(p1, pa) est au plus égal à n. Donnons à n des valeurs décroissant jusqu’à zéro; de cette suite de valeurs de 1, on pourra toujours extraire une suite partielle telle que les points p, et p, correspondants tendent respectivement vers deux positions limites, m, et m, : ces points limites des points p, et p, de F appartiennent à F; m, est sur S,, m, est sur 5,, car p, et p, étaient distants de moins de y l’un de $,, l’autre de $,. Et puisque &(M,, M.) est une fonction continue, on aurait

OO OR ce qui est contradictoire, puisqu'on a nécessairement

er (ru, ma) 20 > 0.

67. Pavons l’espace à l’aide de cubes égaux de diamètre d, . r tel O1 Q 2 z inférieur à É 0. Et considérons les domaines formés par ceux de ces

cubes qui contiennent, à leur intérieur ou sur leur frontière, un point de $. Deux points P, Q de f situés dans un même domaine sont deux points pour lesquels e4(P, Q) est au plus égal à 2d < 6; donc tous les points de S, sont dans un même domaine D qui ne contient aucun point de 5,. Tous les points de D pouvant être joints à S, sans sortir de D, donc sans rencontrer $S,, tous ces points sont intérieurs à S, et les différentes surfaces polygonales limitant D sont intérieures à S,. Elles divisent l’espace en régions dont une seule est non bornée et celle-c1 est limitée par une seule des surfaces frontières de D, soit V.

V répond à la question, elle est intérieure à $,, elle contient $, à son intérieur, elle ne passe par aucun point de F. Il est vrai que V peut avoir des points singuliers parce que deux cubes peuvent avoir en commun, sur V, un sommet, une arête, ..., une frontière à n — 2 dimensions; mais alors, 1l n’y a pas de points de F sur cette frontière ni dans un certain voisinage de cette frontière et, sans sortir de ce voisinage, on peut modifier V, en augmentant ou diminuant D, de façon à faire disparaître les singularités

68. Tuéorème. — Soit un ensemble fermé partout discontinu borné F et un nombre À. On peut enfermer F dans un nombre fini de surfaces polygonales, ne touchant pas F'et dont chacune a un diamètre inférieur à A.

Pavons l’espace à l’aide de cubes égaux et ayant un diamètre inférieur à A. Envisageons ceux de ces cubes qui touchent F et soit S, la frontière de l’un d’eux. Entourons S, par une surface $, ayant encore un diamètre inférieur à A (une frontière de cube, par exemple). Construisons la variété V intermédiaire entre S, et S;, définie par le théorème précédent. Faisons de même pour chacun des cubes conservés, cubes qui sont en nombre fini puisque F est borné.

Toutes les surfaces ainsi construites, qui se coupent, partagent l’espace en cellules et tout point de F est intérieur à une de ces cellules et une seule. Chacune de ces cellules est d’ailleurs une portion de l’intérieur d’une des surfaces V construites, donc a un diamètre Inférieur à A.

Considérons une de ces cellules qui contient une portion de F; soient F’ cette portion de F et V' la frontière de la cellule. V’ a un écart non nul avec F’. Pavons l’espace à l’aide de cubes ayant un diamètre inférieur à cet écart et conservons ceux qui touchent V!. Ils forment un domaine d’un seul tenant auquel F' est extérieur. Les frontières des régions extérieures à ce domaine et contenant des points de F' peuvent être rendues sans point multiple et sans point commun, comme il a été fait pour V au numéro précédent. Elles constituent une partie des surfaces cherchées. En faisant la même opération pour chacune des cellules qui contient des points de F, J'aurai toutes les surfaces cherchées.

69. Ce théorème va nous permettre d’attacher à l’ensemble F une infinité dénombrable de surfaces polygonales V telles que F coïncide avec l’ensemble des points qui sont intérieurs à une infinité des surfaces V. on

Donnons-nous arbitrairement un nombre A, et enfermons F dans un nombre fini de surfaces polygonales ayant chacune un diamètre

inférieur à A, (n° 68). Nous appellerons ces surfaces polygonales, les surfaces d'ordre 1. À l’intérieur de chacune d’elles, il y a une portion de F qui est, comme F, un ensemble fermé partout discontinu. Il peut d’ailleurs arriver que certains de ces ensembles partiels se réduisent à un point. Envisageons d’abord ceux de ces ensembles partiels qui ont au moins deux points, et soit À, un nombre inférieur au diamètre de chacun d’eux et à la moitié de A,. Enfermons chacun de ces ensembles partiels dans un nombre fini de surfaces polygonales ayant un diamètre inférieur à A, et totalement intérieures à la surface d’ordre 1 qui le contient. D’après la première condition imposée à AÀ,, nous aurons ainsi au moins deux variétés pour chacun des ensembles partiels envisagés. Quant aux ensembles partiels réduits à un point, nous enfermerons chacun d’eux dans une surface polygonale de diamètre inférieur à A, et intérieure à la surface d’ordre 1 qui le contient. Les surfaces ainsi définies constituent les surfaces d'ordre 2.

À partir de ces surfaces d’ordre 2, nous construirons des surfaces d'ordre 3, comme nous avons construit les surfaces d’ordre 2 à partir des surfaces d’ordre 1; nous continuerons indéfiniment. L'infinité dénombrable de surfaces ainsi ‘construites se répartissent en surfaces d’ordre 1, 2, 3, ..., À, ... et ont les propriétés suivantes : es

a. Quel que soit À, les surfaces d’ordre À sont en nombre finu et extérieures les unes aux autres ;

b. A l’intérieur de chaque surface d'ordre À, il y a au moins une surface d'ordre À + 1, et chaque surface d'ordre À + x est intérieure à une surface d'ordre À:

c. Le diamètre maximum À, des surfaces d'ordre À tend vers zéro quand À augmente indéfiniment.

(Cette dernière propriété provient de la seconde condition 1m-

, \ I posée à À,, À, < = ,.) Je dis que F coïncide avec l’ensemble des points qui sont intérieurs à une infinité des surfaces ainsi définies. Tout d’abord, chaque point de F est intérieur à une infinité de ces surfaces, car il est

intérieur à une surface (et d’ailleurs une seule) de chacun des ordres. Soit maintenant M un point intérieur à une infinité des surfaces V; montrons qu’il appartient à F. Étant donné À’ quelconque, il y a un nombre À > X’‘tel que M soit intérieur à une surface d'ordre À, puisque le nombre des surfaces d'ordre au plus égal à À’ est fin. M est donc intérieur à une surface et une seule de chacun des ordres. Soient V,, V;, V,, ..., Vy, .., ces surfaces. Chacune d’elles contient au moins un point de F : soient M,, M, M,,...,M,,... des points distincts, ou confondus, respectivement intérieurs à V,, V,, V,,..., V,,...; Met M, étant intérieurs à V,, on a MM, < A,. Or A, tend vers zéro quand À augmente indéfiniment. Par suite, M appartient à F, puisque F est fermé. La proposition est démontrée.

70. RéciproquemenT : Soit une infinité dénombrable de surfaces V (polygonales on non) salisfaisant aux trois conditions (a, b, c) du numéro précédent. Je dis que l’ensemble F des points intérieurs à une infinité de ces surfaces est un ensemble fermé partout discontinu.

Dans cet énoncé, ainsi que dans les conditions à, b, c, les mots intérieur et extérieur doivent être entendus au sens strict.

À chacune des surfaces V attachons un point M’ intérieur à cette surface ou situé sur elle et soit F’ l’ensemble de ces points M’, supposés tous différents (1), ce qui est manifestement réalisable. Je dis que Fest le dérivé de l’ensemble F'. Montrons d’abord que tout point M appartenant au dérivé de F’ appartient à F, c’est-à-dire est intérieur à une infinité des surfaces V, ou, ce qui revient au même, est intérieur à une surface V d’ordre À, quel que soit À. M appartenant au dérivé de F’ a, dans son voisinage, une infinité de points M’. Mais les points M’ relatifs aux surfaces V d’ordre au plus égal à À sont en nombre fini. Done M a dans son voisinage une infinité de points M relatifs aux surfaces dont l’ordre est supérieur à À; 1l appartient donc au dérivé de l’ensemble F/ des

(°) Si l’on ne prenait pas les points tous différents, il faudrait, comme toujours en pareil cas, convenir qu’un point P qui correspond à une infinité de surfaces est considéré comme appartenant au dérivé de F’,

Ce »

points M’ fournis par les surfaces d'ordre supérieur à À. Mais, par construction et en vertu de la propriété b, F' est intérieur à l’ensemble des surfaces d’ordre À + r. Ces surfaces sont elles-mêmes intérieures à l’ensemble des surfaces d'ordre À et ont avec elles un écart non nul €. Le dérivé de F° (et par suite M) est donc intérieur à l’ensemble des surfaces d'ordre À et tout point de ce dérivé a un écart au moins égal à e avec ces surfaces. Donc M est intérieur (au sens strict) à une des surfaces d’ordre À. Ë

Inversement, tout point M intérieur à une infinité de surfaces V appartient au dérivé de F’.

En effet, M est, quel que soit F, intérieur à une surface V d’ordre supérieur à À, donc est à une distance inférieure à A; du point M’

correspondant. Et puisque À; tend vers zéro avec > M est limite

de points M’. F est donc bien le dérivé de F’. Par suite, F est fermé.

Remarquons qu’un point M de F définit une suite de surfaces V auxquelles 1l est intérieur, et qu’inversement, toute suite de surfaces V des ordres 1, 2, 3, ... emhboîtées les unes dans les autres définit un point de F. Nous établissons ainsi une correspondance biunivoque entre les suites du type considéré (S) et les points de F.

Chaque surface V peut être introduite dans une suite S. Donc il y a des points de F à l’intérieur de chaque surface V. De plus, chaque point de F est intérieur à une surface V d’ordre À; donc, quel que soit À, tout F est enfermé dans l’ensemble des surfaces V d’ordre X.

Montrons maintenant que F est partout discontinu. Pour cela, considérons deux points M, M’ de F. On peut déterminer un ordre À assez élevé pour que À; soit inférieur à la distance MM’. M et M’ sont alors intérieurs à deux surfaces distinctes V, V' d'ordre À. Or tout F est contenu dans l’ensemble des surfaces d'ordre À et ces surfaces sont extérieures les unes aux autres et ont un écart mutuel ‘non nul n. On ne pourra donc pas cheminer sur F, de M à M, par pas inférieurs à 1. F est partout discontinu.

71. L'ensemble des points intérieurs à une infinité des surfaces V qui satisfont aux conditions a, b, c du n° 69 est done un

ensemble fermé partout discontinu et, inversement, tout ensemble fermé partout discontinu borné peut être définit de cette facon. Nous appellerons surfaces de définition d’un ensemble fermé discontinu, les surfaces V qui lui donnent naissance par ce procédé. Ces surfaces peuvent être choisies polygonales, chacune ayant un nombre fini de sommets.

Dans le cas des ensembles plans, ces surfaces deviennent des courbes sans point multiple et sans point commun. On peut prendre comme courbes des lignes polygonales et nous dirons qu’elles constituent les polygones de définition de l’ensemble.

Enfin, pour un ensemble de l’espace à une dimension (ensemble situé sur une droite), chaque surface devient les deux extrémités d’un intervalle. Nous dirons que ces intervalles sont les sntervalles’ de définition de l’ensemble.

Le procédé indiqué peut d’ailleurs servir à définir un ensemble fermé borné quelconque. Il suffit de considérer les mots extérieur et intérieur au sens large, au lieu de les prendre au sens strict.

72. Comme première application de ces propriétés, démontrons que tout ensemble fermé, partout discontinu, borné est situé sur un arc de Jordan sans point multiple.

Soit F un tel ensemble de l’espace à n dimensions. Nous le supposerons donné au moyen de ses surfaces polygonales de définition V. Nous désignerons toutes ces surfaces par la même lettre V affectée d’un indice inférieur désignant son ordre, et, s’il y a lieu, d’un indice supérieur distinguant les surfaces d’un même ordre. Nous supposerons, comme nous pouvons toujours le faire, qu'il y a une seule surface d’ordre 1.

Sur chaque surface V marquons deux points À et B que nous affecterons des mêmes indices que cette surface V. Nous construirons l’arc de Jordan de la façon suivante. Soit V, une des surfaces V, Supposons qu’elle contienne x surfaces d'ordre À + 1 que nous désignerons par les indices supérieurs 1, 2, ..., x. Joignons les points À;, AG DE AS Be A Je) 0% Be MH pi B;; respectivement, par des lignes polygonales ne se coupant pas, sans point multiple, chacune de ces lignes étant, sauf ses extré-

mités, intérieure à V, et extérieure aux surfaces V,,, considérées. Il est possible de construire ces lignes, même dans le cas de l’espace à deux dimensions (1), car:il faut, dans ce cas, la totalité de ces lignes pour partager en régions la portion du plan intérieure à V, et extérieure aux V,,,. Les surfaces V ayant chacune un nombre fini de sommets, je peux aussi imposer aux lignes construites la condition d’avoir chacune un nombre fini de sommets. Ajoutons à toutes les lignes construites l’ensemble F. Je dis que l’ensemble L ainsi obtenu est un arc de Jordan sans point multiple, qui contiendra naturellement F par sa définition même.

Pour le prouver, considérons, sur l’axe des t, le segment (0, 1) que j'appelle !{ et montrons que l’on peut considérer L comme une image biunivoque et continue de L.

Aux deux points À,,B,, pris sur la seule surface d'ordre 1, je fais correspondre les deux extrémités à,, b, de L. Supposons connus les points &, b, correspondant aux points À,, B;, d’une même surface V, et supposons que cette surface contienne x surfaces d’ordre À + 1. Partageons le segment ab; en 2 x + 1 parties égales par

1 2 va

des points que je note A TTIE À +19 Len DER sens A +1) À +19 l’abscisse de l’un de ces points étant supposée inférieure à celles des points qui le suivent, La correspondance entre les À, B et les a, b résulte de leur notation.

Prenons maintenant une des lignes polygonales construites, A),,B),,, je lui fais correspondre le segment de ! limité par les points homologues, la correspondance conservant la similitude des segments homologues. Jusqu'ici la correspondance est manifestement biunivoque et continue.

Pour définir les homologues des points de F, remarquons que les points a, b de mêmes indices sont extrémités d’un intervalle y, que j'affecte des mêmes indices, et que ces intervalles remplissent les conditions voulues pour définir un ensemble fermé partout discontinu f. D'ailleurs les intervalles ? ont la même disposition relative que les surfaces V de mêmes indices. Soit alors M un point de F; il est intérieur à toutes les surfaces V d’une suite du type (S)

(t) Je n’envisage naturellement pas le cas où F serait sur une droite.

(n° 70). A cette suite (S) correspond une suite d’intervalles » définissant un point m et un seul de / que je ferai correspondre à M. La correspondance ainsi réalisée entre F et / est biunivoque et, ajoutée aux correspondances précédentes, elle donne une correspondance biunivoque entre L et L.

Il reste à prouver que cette correspondance est continue. Ceci a lieu pour les points n’appartenant pas à F et à /. Montrons-le pour les points de ces ensembles. Soient M, m deux points homologues sur F et f et M, m' deux points homologues quelconques de Let L. Il faut prouver que, étant donné H, on peut lui faire correspondre h tel que mm’! < h entraîne MM'< H. Or je peux déterminer un nombre À assez grand pour que la surface d’ordre À qui contient M ait un diamètre inférieur à H. Soient A, B les deux points qui ont été pris sur cette surface. Soient a, b leurs homologues sur /. m est intérieur à ab et l’homologue du segment ab est intérieur à la surface considérée et par suite la distance de chacun d’eux à M est inférieure à H. Il suffit donc de prendre h inférieur à la distance de m à a et à b pour réaliser les conditions voulues.

L est donc bien l’arc de Jordan cherché.

75. Cas des ensembles parfaits partout discontinus. —— Les résultats qui précèdent s'appliquent évidemment aux ensembles parfaits partout discontinus bornés. On peut cependant imposer des conditions plus particulières aux surfaces de définition de ces ensembles.

Soit P un ensemble parfait discontinu. Reprenons sur cet ensemble les raisonnements du n° 69. Supposons P enfermé dans un nombre fini de surfaces d'ordre À. Soit P' la partie de P intérieure à l’une de ces surfaces. P' est maintenant un ensemble parfait, qui, par suite, a un diamètre non nul. Dans la construction des surfaces d'ordre À + 1, on pourra donc faire en sorte qu'il y aït au moins deux surfaces intérieures à la surface d’ordre À envisagée. Ainsi, on peut remplacer la condition b par la suivante :

b'. À l’intérieur de chaque surface d'ordre À, il y a au moins deux

surfaces d'ordre À + 1 et chaque surface d'ordre À + 1 est intérieure à une surface d'ordre x.

Réciproquement, considérons une infinité dénombrable de surfaces V satisfaisant aux conditions a, b', c; je dis que l’ensemble des points intérieurs à une infinité des surfaces V est un ensemble parfait partout discontinu.

L'ensemble défini par ces surfaces est fermé partout disconünu (n° 70). Il suffit donc de prouver que chacun de ses points est point limite pour l’ensemble. Soit M un tel point. Il faut montrer que, quel que soit &, il existe un autre point M’ de l’ensemble tel que MM’ < 2. Or nous pouvons déterminer un nombre À tel que les surfaces d’ordre À aient un diamètre inférieur à e. Soit V celle de ces surfaces qui contient M. A l’intérieur de V, il y a au moins deux surfaces d'ordre À + 1. L’une d’elles contient M. Les autres contiennent des points de P autres que M. Ces points étant intérieurs à V, la distance de chacun d’eux à M est inférieure à &.