GOLF. D

74. Il résulte de cect que deux ensembles parfaits partout discontinus bornés quelconques sont homéomorphes. Il nous suffit de prouver qu’un tel ensemble P est homéomorphe à un ensemble particulier p. Comme ensemble p nous prendrons l’ensemble obtenu sur l’axe des { en enlevant du segment (0, 1), le tiers moyen (extrémités non comprises), puis de chacun des deux segments restant le tiers moyen et ainsi de suite indéfiniment. Rangeons dès maintenant les intervalles contigus à p; nous les supposerons classés par ordre de grandeur décroissante, ceux qui ont même longueur étant rangés par abscisses croissantes.

Nous supposerons P donné par ses surfaces de définition V satisfaisant aux trois conditions a, b’,c. Nous allons chercher à définir p par des intervalles # satisfaisant à ces mêmes conditions. Nous établirons en même temps une correspondance biunivoque entre les surfaces V et les intervalles ?, faisant correspondre des intervalles et des surfaces de même ordre.

Nous pouvons supposer qu'il y a une seule surface d'ordre 1. Nous lui ferons correspondre, comme intervalle d'ordre 1, un inter-

valle un peu plus grand que l'intervalle (0, 1). Supposons les correspondances établies jusqu’à l’ordre À inclusivement. Soit V, une surface particulière d’ordre À et supposons qu’elle contienne x surfaces d'ordre À Æ'r, Vi, Ni -e, Ni (Ge 2) Ocient 2 et b, les extrémités de l'intervalle #, correspondant à V,. Dans la suite des intervalles contigus à p, rangés comme il a été dit, considérons les x — 1 premiers qui soient totalement intérieurs à &, b:. En dehors de ces intervalles contigus et de ceux qui contiennent à; et b,, il y a, sur ab), x segments qui contiennent tous les points de p sur #,. Enfermons ces x segments dans x intervalles intérieurs à #, et n’empiétant pas les uns sur les autres. Ces intervalles constitueront les x intervalles #,, que je ferai correspondre par une loi arbitraire, mais de façon biunivoque, aux x surfaces V;,,,. Pour la construction de ces intervalles #,,,,1l y-aura lieu de prendre une précaution facile, si l’on veut, comme nous en aurons besoin, que la longueur maxima à, des segments d’ordre À tende vers zéro, quand À augmente indéfiniment. Il suflira que les extrémités de #, et du segment qu'il enferme aient un écart assez petit, cet écart tendant vers zéro quand À augmente indéfiniment.

Ceci étant, les intervalles que nous avons définis remplissent les trois conditions a, b', c et définissent par suite un ensemble parfait partout discontinu qui n’est autre que p. En effet, tout point de p est intérieur à une infinité des intervalles »; tout point intérieur à une infinité des intervalles # est, soit une extrémité d'intervalle contigu à p, soit un point limite d’une mfimité de telles extrémités, done appartient à p. La correspondance entre les surfaces V et les intervalles # est biunivoque, et les intervalles ont même disposition relative que les surfaces qui leur correspondent. Soit alors M un point de P. Il est intérieur à toutes les surfaces V d’une suite unique du type (5) (n° 70). Aux surfaces de cette suite, correspondent des intervalles définissant un point unique m de p que je ferai correspondre à M. Cette correspondance s'étend à tout P et tout p, et est biunivoque.

Il reste à prouver qu’elle est continue, c’est-à-dire que, M et m étant deux points homologues particuliers, M’ et m', deux points homologues quelconques :

1° Étant donné H, on peut déterminer À tel que mm'<h entraîne MM’ < H;

20 Étant donné h on peut Re à que Mr < H entraîne mm < h. .

H étant donné, je peux déterminer À de façon que le diamètre des surfaces d'ordre À soit inférieur à H. Soient V la surface d’ordre À qui contient M et ? l’intervalle correspondant. # contient m, et tous les points de p intérieurs à ? ont leurs homologues à l’intérieur de V. Il suflit donc de prendre h inférieur à la distance de m aux extrémités de # pour être assuré que mm! < h entraîne MM’ < H.

La seconde condition se réalise de façon analogue en intervertissant les rôles de P et p. Cette réalisation est possible, puisque la longueur maxima à, des intervalles d'ordre À tend vers zéro quand À augmente indéfiniment.

P et p sont donc homéomorphes (1).