II. — Définition et propriétés des chaînons et des chaînes

4. M. de la Vallée Poussin a introduit la notion de chaînon et de chaîne en vue d’une démonstration du théorème de M. Jordan (1). J’utiliserai ces notions. Je vais rappeler ici les définitions et énoncer les propriétés qui me seront utiles.

Dérinirions. — Nous appellerons chaînon une région du plan d’un seul tenant, limitée par un contour polygonal extérieur unique sans point multiple, et éventuellement percée d’un certain nombre de vides limités par des contours de même nature que le premier.

Considérons un certain nombre de chaînons consécutifs, désignés par leurs numéros d’ordre (1), (2), ..., (n). Ces chaînons constituent une chaîne si deux chaînons cônsécutifs ont des points ou des parties communes, tandis que deux chaînons non consécutifs ne se touchent pas. Si les chaînons (1) et (n) ne se touchent pas, c’est-à-dire sont considérés comme n'étant pas consécutifs, la chaîne est dite ouverte, (1) et (n) sont alors les chaînons extrêmes. Si (1) et (n) se touchent, c’est-à-dire sont considérés comme consécutifs, la chaîne est dite fermée. Il n’y a plus alors de chaînons extrèmes.

Le domaine comprenant tous les points d’une chaîne ouverte (ou, en abrégé, la chaîne) est, comme les chaînons eux-mêmes, un

(*) De za Varrér Poussin, Cours d'Analyse infinitésimale, t. I, Chap. XIII, p. 374 et suiv.

domaine d’un seul tenant, limité par un contour polygonal extérieur unique, et percé d’un certain nombre de vides. Nous dirons, en abrégé, qu'une région du plan est intérieure à un chaînon ou à une chaîne ouverte, si elle est enfermée dans leur contour extérieur.

Une chaîne sera dite régulière, si un chaînon ne peut être enfermé dans un autre, n1 dans un groupe de deux autres pris dans la chaîne; lesquels seraient nécessairement consécutifs.

9. THÉORÈME [. — Sr une chaîne fermée est irrégulière, elle est intérieure à une chaîne formée de quatre au plus de ses chaînons.

TaéorÈème Il. —— Tout vide d'une chaîne ouverte est dans l’intérieur d’un groupe de deux chaînons consécutifs.

THéoRÈme III. — Le contour extérieur unique d’une chaîne régulière ouverte touche à tous les chaînons, tandis que le contour d’un side en touche au plus quatre.

THéorèmEe IV. — Dans une chaîne régulière ouverte de cinq chaînons au moins, un vide ne peut toucher en même temps aux deux chaînons extrêmes.

Taéorème V.— Une chaîne fermée, régulière formée de cinq chatnons au moins, est constituée par un anneau intérieur à un contour polygonal L et extérieur à un contour polygonal L}' contenu dans l’intérieur du premier.

Cet anneau peut être percé de vides. Mais ces derniers sont chacun intérieurs à un ou deux chaînons consécutifs et en touchent quatre au plus. Au contraire, les régions intérieure et extérieure à l’anneau touchent chacune, l’une par L, l’autre par L, tous les chaînons.

6. Complétons les théorèmes IV et V par les remarques suivantes

THéorèMe. — Sur le contour extérieur L d’une chaîne régulière fermée G formée des chaînons G,, G,, ..., G, (n25), on peut marquer des points S,, T,, 5:, T,, ... appartenant respectivement à

G., G», ... se succédant dans l’ordre S,, T,, 5,, T,, 50 Los Rire S,, T,,, S, et tels que tous les points de Gi qui sont sur L appartiennent à la portion Si T;., S:,, Tide L. Sur le contour intérieur L, on peut trouver des points analogues S', T, ...; dy a accord entre

les sens S, T, S, de L et S'T,S! de L’.

Décrivons le contour extérieur de G,. Nous trouverons au moins e \ x e !

une portion allant de L à L' et une allant de L/ à L. Soient 5,5,

et TT, ces deux parties. Elles ne se coupent pas; elles divisent la chaîne en deux morceaux, dont l’un, que j'appelle T,, est du même côté que G; par rapport à S, 5. Il est limité par S, S’, un arc ST, dé Le Pretun'arc DS de LE

G, est tout entier dans T,, puisqu'il a des points dans T, et qu'il ne traverse pas le contour de F,. À l’intérieur de T,, la frontière de G, ne contient aucune autre partie joignant L et L', puisqu’une telle ligne ne pourrait être traversée par G, et cependant partagerait l, en deux parties contenant toutes deux des points de G4. La frontière de G, se compose done, outre S, S' et T'T,, de deux parties, l’une joignant S' à T°, l’autre joignant T, à S,; la première ne contient aucun point de L, la seconde ne contient aucun point de L’. Les portions de T, qui n’appartiennent pas à G, n’ont donc jamais à la fois comme frontière des parties de L et des parties de L':

Il en résulte que G,, G,, ..., G,., n'ont aucun point dans T, puisque, ne contenant aucun point de G.,, ils devraient se trouver dans ces parties de F, qui ne touchent pas à la fois L et L/. Ni G,, ni G, n’est complètement intérieur à F,, car il y a par exemple des