DA

points de G, appartenant à G,. Les deux régions F, et T,, construites comme F',, ne sont donc pas intérieures à F,.

Supposons que T’,, qui appartient à G, ou à G, appartienne à G,. Sinon, on devrait appeler ce point $S' et raisonner sur G, comme nous allons le faire sur G,. Décrivons 1° T,. Nous resterons dans G, tant que nous ne rencontrerons pas une frontière de G. Supposons que nous arrivions en À à la frontière + d’un vide de G. Ce vide touche au plus à quatre chaînons consécutifs de G (n° 5, V) et comme À appartient à G, et à G,, y appartient au plus à quatre chaînons consécutifs de la suite G,,, G,, G,, G:, G, G,. Décrivons y à partir de À dans le sens qui nous fait quitter T! T, jusqu’à ce que nous revenions en B sur T° T, et soit y’ l’arc ainsi décrit. y’ ne contient aucun point de G, (sauf ses extrémités À et B). La portion de y’ voisine de À appartenant comme A à G,, tout y! appartient exclusivement à G,, G,, G,. Mais B appartient à G,, done ne peut appartenir à G,, n1 à G,. Donc la partie de y! voisine de B appartient à G,, donc aussi B. En continuant à décrire TT, à partir de B, on arrive finalement en T, sur G..

De même, S, et S' appartiennent tous deux soit à @,, soit à G,. Je dis qu'ils appartiennent à G,. Supposons le contraire et considérons la région F,; soient S,, T, les extrémités de l’arc découpé par T, dans L.S, et T, appartenant à T,, l’un des deux ares S,T, de L appartient tout entier à F,. Ce ne peut être l’arc extérieur à F,, car tout point de L appartenant soit à T,, soit à F,, G,, qui n’a aucun point dans F, et F,, ne toucherait pas L. Ce ne peut être l'arc S,T, dé, Car les deux points $,/ T, seraient extérieurs'ah, et, par suite, appartiendraient à Get l’un des deux ares 5,, T, de L appartiendrait à F,. Ce ne peut pas être l’are de F,, puisqu'il contient des points de G,. Ce ne peut pas être non plus Pautre are S, T, de L, car tout point de L appartiendrait alors soit à F,, soit à F,, et G, ne toucherait pas L. Il y a donc contradiction et par suites, S' appartiennent à G;.

Ainsi, si l’on parcourt L et L’ dans le même sens, on rencontre d'anerpart S,, T,, 5, l, dans cet-ordre, et d'autre part 5°, TL}; S', T! dans le même ordre, ce qui justifie l'énoncé. Remarquons que S, et T, peuvent être confondus, ainsi que 5, et T,.

Pour la suite, remarquons encore que la couronne limitée par L et L/se trouve divisée en des morceaux F,, L, F,, Li, ... par les hignes-S, SSL SSSR

Soient P et Q deux points de L (ou de L/). Soient p et q les rangs des chaînons qui contiennent P et Q. La discussion précédente montre que l’un des deux ares PQ de L n'emprunte de points qu'aux chaînons numérotés p— 1, p, p+1, p+2, ..., q—2, — 1,9, g—+7xet l'autre arc aux chaînons q —1,q,q+1,q+ 2, ..., P—2, p—1,p, p+1 (dans ces suites, le nombre 1 doit être considéré comme conséeutil de n).

Le cas d’une chaîne ouverte se ramène immédiatement à celui qui vient d’être traité. Il sufit d'ajouter un chaînon tout entier extérieur à la chaîne sauf deux portions de son bord, dont l’une appartiendrait au bord du prenuer chaînon (et à ce chaînon seulement) et l’autre au bord du n°" chaînon. On aurait des dispositions analogues avec cette différence qu'il faut considérer les chaînons comme se suivant dans l’ordre |

12 Sn 6 ver MORIN, RNA =) Na Na

au lieu de l’ordre RNA TR AT TAN X

III. — Correspondance entre les plans de deux courbes fermées.

7. Soient, dans les plans E et e, deux courbes de Jordan fermées sans point multiple C et ce, dont les coordonnées sont des fonetions continues d'un paramètre { variant dans l'intervalle (0, 1). En associant les points de C et c donnés par une même valeur de #, je réalise l’homéomorphie de ces courbes. Je me propose d'étendre cette correspondance à la totalité des plans Eete. Il sufit, d’après une remarque déjà utilisée, de prendre pour € une courbe particulière. Je prendrai pour c le contour d'un carré de centre, l’origine, de côtés parallèles aux axes de coordonnées et de périmètre égal à 1. Le paramètre { d'un point de c sera son abscisse curviligne comptée à partir d’un certain sommet de c.

La méthode que j emploie est la suivante : J’enferme C dans une suite de chaînes régulières fermées G,, G,, G,, ..., Gy, ... telles que la chaîne G, soit totalement intérieure à la chaîne G,.. Les contours polygonaux L,,, L;-,, L,, L,, qui limitent ces chaînes déterminent deux couronnes A,,, A!, et G,, est la somme de ces deux couronnes et de G,. Je décompose chacune de ces couronnes en polygones en nombre égal à celui des chaînons de G,,. Je fais des constructions analogues pour c. J’établis ensuite entre les polygones obtenus la correspondance indiquée au n° 4. J’établis des correspondances analogues entre les extérieurs de L, et L, et les intérieurs de L' et l. Moyennant quelques précautions, ces correspondances réalisent la correspondance cherchée entre E et e.

Dans l’exposition de cette méthode, j'énoncerai quelques résultats déjà établis par M. de la Vallée Poussin; mais j’emploierai des procédés différant des siens et appropriés au but que je poursuis.

8. Tu£orème. — Étant donnés une courbe fermée C sans point multiple et un nombre positif À,, je puis enfermer C dans une chaîne régulière fermée G, d’au moins cinq chaînons et dont chacun a un diarnètre inférieur à A,.

Partageons l'intervalle (0, 1) de variation de t en 2“ parties égales. Ceci partage C en 2/ tronçons. Soit &, le maximum du diamètre de ces tronçons. Couvrons d’autre part le plan d’un pavage constitué par des carrés égaux de côtés parallèles aux axes et soit 1, un nombre supérieur au diamètre (diagonale) de ces carrés. A chaque tronçon j’attache un chaînon formé de ceux des carrés du pavage qui touchent ce tronçon. Il s’agit de choisir k et 1, de façon à satisfaire aux conditions imposées.

Deux chaînons consécutifs se touchent; car ils ont en commun le carré qui contient le point commun aux deux tronçons dont ils proviennent. Pour que deux chaînons non consécutifs ne se touchent pas, il suflira de prendre 1, inférieur à la moitié de l'écart minimum de deux tronçons non consécutifs. Remarquons qu'alors 1, est inférieur à la moitié de l'écart des extrémités d’un

même tronçon, done à -£,. D’autre part, le diamètre d’un chaînon

est au plus égal à celui du tronçon augmenté de 2 n,; il est donc inférieur à 2 €,.

La chaîne sera régulière si (n° 5, I) elle n’est pas intérieure à un groupe de quatre chaînons consécutifs. Ce groupe a un diamètre inférieur à 8 e,. Comme C appartient à la chaîne, il suffira que &, soit inférieur au huitième du diamètre de C.

Îl suffira donc de prendre k > 2 (pour avoir au moins cinq chai-

nons) et assez grand pour que 2, soit inférieur au huitième du diamètre de C et à la moitié de A,. Ceci fait, la courbe est partagée en tronçons et l’on prendra n, inférieur à la moitié de l’écart de deux tronçons non consécutifs. Tout ceci est possible puisque &, tend vers Oo quand k augmente indéfiniment.

C est intérieure à cette chaîne G, et ne touche pas à ses deux bords L,, L, ; car tout point de C est intérieur à un carré ou à un groupe de deux ou quatre carrés du pavage.

St l’on ne fixe pas AÀ,, on pourra déterminer la chaîne par les autres conditions et l’on sera assuré que chaque chaînon a un diamètre < 26,.

9. Supposons que G,, ait été construite à l’aide d’un certain. partage de C en tronçons et d’un certain pavage du plan par des carrés. Pour construire G, je partage l’intervalle qui donne chaque tronçon du partage précédent en deux parties égales. Soit €, le maximum du diamètre des tronçons obtenus. Chaque tronçon. ainsi obtenu étant une fraction de l’un des précédents, €, ne peut pas augmenter et tend vers o quand n augmente indéfiniment. Soit n, un nombre inférieur : 1° à la moitié de l’écart de deux tronçons non consécutifs; 20 à l'écart de C avec chacun des contours polygonaux L,,, L,, qui limitent G,,. Je partage chaque carré du pavage qui a donné G@, , en un nombre (le même pour tous) assez grand de carrés égaux pour que ces carrés aient un diamètre inférieur à »,. Ce partage en tronçons et ce pavage permettent de définir la chaîne G,. Elle remplira les conditions voulues, car le diamètre du carré du pavage remplit les conditions imposées visà-vis de €, et comme €, n’est pas supérieur à €, 11 vérifie les mêmes inégalités de condition que £,. De plus, la deuxième condition im-

posée à », montre que cette chaîne n’a pas de points sur L,,,

ni L},,, donc est bien intérieure à G,..

Remarquons enfin que le diamètre maximum 4, des chaînons de G, est inférieur à 22, et que chacun des deux chainons de G,, qui proviennent d'un tronçon ayant servt à la formation de G,,, est une partie du chaînon correspondant de G,, en raison de la construction des pavages.

Les chaînes ainsi construites définissent bien les anneaux A,, A! annoncés au n° 7. À, est compris entre L, et L,,, et A’ entre L, CRE

10. Décomposition des anneaux À,,, À, en polygones.— Dans ce qui suit, J'aurai à eonsidérer des éléments de même nature, en nombre égal à ceux des chaînons de chaque chaîne G,. Je désignerai tous ces éléments par une même lettre affectée de deux indices : un indice inférieur, celui de la chaîne G,; un indice supérieur qui sera le numéro d'ordre du chaînon de G, auquel correspond l’élément.

Proposons-nous de décomposer en polÿygones les deux anneaux À,, À!, déterminés par les deux chaînes G,, G,,, et limités respectivement par les contours L,, L,,,.et L,, L,., (fig. 2). Pour cela, divisons la couronne L,, [, en morceaux F,,,, et 1}, par des lignes Sopes Sapou Taper Tapas COmme il a été dit au n° 6. Pour sim-

Fig. 2.

: : 5 ; Û 2 plifier les notations, les morceaux seront notés RE tree pe les hignes $}, S;, 555,5 ++. $ Considérons une des lignes S$/ ainsi construites. S est extérieur AE er à à L,., et à L'.,, tandis que S’ est intérieur à ces contours. Donc 5S

coupe chacun de ces contours. Parcourons SS' de $S vers S'. J’appellerai Z le premier point de rencontre avec L,., et X’ le dernier point de rencontre avec L,.,. Les lettres Y, Y/ seront naturellement affectées des mêmes indices que les lettres S, S". Nous ne conserverons de chaque ligne SS/ que les arcs SE et S'X/. Ces lignes ne se coupent pas. Elles partagent donc les anneaux A, et À, en polygones que je désignerai par la lettre À avec deux indices évidents et un accent s’il s’agit de A!. Par exemple, A} aura parmi ses sommets les points S/, 5°, 2, 2°:

Ces polygones À et A’ réalisent la décomposition des anneaux À;, : A’, en polygones : 1ls se présentent comme des chaînons ne se touchant que par des parties de leurs frontières, la chaîne qu'ils forment n’ayant pas de vides.

11. Faisons une remarque qui nous sera utile plus loin, sur la disposition des polygones À par rapport aux chaînons G. Considérons le polygone A% et étudions son contour. La définition de ce contour dépendant de la parité de «, nous distinguerons deux cas.

10 œ impair. — Le contour X*S*S##Z## appartient aux contours des trois chaînons & — 1, &«, « + 1 (n° 6). Il est donc intérieur à l’ensemble de ces trois chaînons. Les points 2%, 2#*! appartiennent au chaînon G% donc ne peuvent appartenir qu’à ces trois mêmes chaînons. Il en résulte que ces points ne peuvent appartenir qu’aux chaînons 2 &« — 3, 2 4x — 2, ...,2 « + 2 de G,,,, sans quoi ils appartiendraient à d’autres chaînons de G, (n° 9). Donc le contour 2*25* ne peut emprunter que les chaînons 2 & — 4, …, 2 « + 3 de G,,, (n° 6), et par suite appartient aux chaînons & — 2, Mr, a ai, 2 de, Tout le’contour de Act par suite tout ce polygone est intérieur au groupe de ces cinq chaînons de G,.

20 & pair. — Rien n’est changé pour la première partie du contour. Ë% appartient au chaînon &— 1, donc peut appartenir à l’un des trois chaînons & — 2, x — 1, «. De même 2," peut appartenir à l’un des trois chaînons &, & + 1, &« +2 et pas à d’autres. Le même raisonnement montre que tout l'arc X2Y**! appartient au ‘groupe des sept chaînons 4 — 3, ..., « + 3 de G,.

Donc, dans tous les cas, A7 est intérieur à un groupe de sept chatnons consécutifs de G, dont le chaînon moven est le chaînon G%. Par suite, A% ne peut toucher qu'à neuf chaînons consécutifs de G,, G7 étant toujours le chaînon moyen.

Il en résulte aussi qu'un chaînon de G, ne peut toucher au plus que neuf polygones consécutifs de A

Les résultats sont évidemment les mêmes pour À;

12. Passons à la courbe c du plan e: c est le périmètre d’un carré de côtés parallèles aux axes, de centre l’origine o des coordonnées et c a pour longueur 1. Le paramètre { d’un point de c est son abscisse curviligne comptée à partir d’un sommet.

Pour construire une chaîne g, contenant c, je considère d’abord

Fig. 3.

deux contours carrés homothétiques à € et concentriques, Pun {, extérieur, l’autre l! intérieur, Puis je partage c en 2° tronçons égaux et je mène les demi-droites allant de o aux extrémités de ces tronçons (les sommets de e sont parmi ces points). Les quadrilatères formés par ces droites et l, l, seront les chaînons de la

î « - SG La LTIN JTE RE chaîne g,, leurs sommets seront désignés sur {, par 87% el sur L, L 2 ST SE RE EEE par s% et le chaînon gÿ sera le quadrilatère s4 ss sr.

D'une manière générale, supposons g,, définie et bhmitée par

deux carrés L,,, L,,. Pour définir g, je construis deux carrés L,, l, homothétiques à c et concentriques et respectivement équisdistants de l, , et cet l,, et c. Je partage en deux tronçons égaux

THËSE ANTOINE 3

chacun des tronçons qui a servi à construire g,, et je joins o aux extrémités. Ceci me donne les chaînons de g, dont je désignerai les sommets par la lettre s ou s’ affectée de lindice inférieur n et d’un indice supérieur dont la détermination est immédiate. Le chaînon g* aura pour frontière le contour s% 5 ss.

J'appelle a,, a, les anneaux respectivement compris entre Es ir et Le Ex

Revenons au plan E. Soit Z* un point X sur L,.,. Si ce point est confondu avec un point $,,,, soit Si, Je noterai aussi le point sk, par la lettre o%. Si X% est situé entre deux points consé- ‘eutifs S,4, d'indices supérieurs k, k + 1, je marquerai sur L,,,, entre les deux points s,,, d'indices k, k + 1, un point que j’appellerai 6%. Remarquons que si les points 5,:,, À, se présentent sur L,., dans un certain ordre, les points s,,,, 5, se présenteront sur l,., dans le même ordre. œ

Or, puisqu'on peut Joindre les points S,, Ë, dans l’anneau A, sans que les chemins se coupent, on pourra joindre les points s,, 6, dans 4, par des chemins ne se coupant pas, ceei parce que les ordres de. succession des points de même indice sont les mêmes dans E et e. Comme chemin 5507, je prendrai, quand ce sera possible, le segment rectiligne ayant ces points pour extrémités et, dans le cas contraire, une ligne brisée ayant ses sommets uniquement sur les diagonales de c. a, se trouve ainsi décomposé en polygones et j'appelle a% celui de ces polygones qui contient les POINTS SE 0 SO de

Je ferai les mêmes constructions sur les anneaux a, (fig. 3).

Nous avons vu que l’arc EE de L,,, ne contient que des points appartenant aux seuls chaînons de 24&-—6-à 2 & + à de-G,.,:.

Donc cet are est compris entre les deux points S,,, d'indices supérieurs 2 %— 7, 2x + 6. L’arc 0*o** de L,,, est donc compris lui aussi entre les points s, ayant ces indices, c’est-à-dire qu'il est intérieur aux chaînons de g,, & — 3, ..., « + 3. Donc :

Un polygone a% est intérieur à un groupe de sept chaînons consécutifs de g, et en touche au plus neuf, le chaînon moyen étant g%. De même un chaînon g% touche au plus neuf polygones consécutifs de «,.

15. Considérons une ligne polygonale X#S*% et la ligne 5°. Si ces lignes n’ont pas, initialement, le même nombre de sommets, je marque sur l’une d’elles des points qui joueront le rôle de sommets. J’établis ensuite entre ces lignes une correspondance con- Unue, faisant correspondre les sommets, et faisant correspondre les côtés par similitude. Les points S,,,, 2, partagent L,,, en tronçons. Je fais de même pour chacun de ces tronçons et pour le tronçon correspondant de /,,,. La correspondance entre les contours de A% et a% est alors celle indiquée au n° À et par suite je peux étendre cette correspondance à la totalité de ces polygones comme 1l a été dit à ce numéro. Il en est de même pour l’intérieur de L' et l’intérieur de /.

Pour les extérieurs de L, et /, je considère deux contours carrés auxiliaire L, {égaux et assez grands pour contenir respectivement à leur intérieur tout L, ou tout 4. Je joins un sommet de L à un sommet de EL, et un sommet de { au sommet correspondant sur l, à l’aide de lignes polygonales ayant le même nombre de sommets. La couronne comprise entre Let l, et celle comprise entre L et L, se présentent alors comme deux polygones auxquels j’applique les considérations du n° 4. Enfin, pour les extérieurs de L et L, j'envisage deux axes de coordonnées portés par deux côtés de L et les deux axes portés par les côtés correspondants de {. Je fais correspondre les points qui ont même coordonnée.

La correspondance sur C et c a été définie. Elle lie les points qui ont même paramètre. Elle fait correspondre en particulier les points M5, mx; M5 étant le point commun aux deux tronçons qui ont fourni les chaînons & — 1, & de G@, et m% étant commun aux deux tronçons qui ont fourni les chaînons & — 1, « de g,. Ces points

‘ « œ ont en effet pour paramètre

1. Je dis que la correspondance ainsi établie donne la solution du problème posé. Pour le montrer il me faut d’abord prouver qu’elle atteint tout point de E et tout point de e et qu’elle est biunivoque. Il est manifeste que tout point de e est atteint. Cela est manifeste aussi pour tout point de E qui appartient à C ou qui est extérieur

à une chaîne G,, car un tel point appartient à un des anneaux À, ou est extérieur à L,, ou intérieur à L’. I suffit donc de prouver que tout point M de E non situé sur C est extérieur à une des chaînes G,. Ceci résulte du théorème suivant :

THéoRÈèME. — Soit A, le maximum du diamètre des chaïnons de G,. Tout point intérieur à G, a, avec CG, un écart inférieur à À,.

Tout point intérieur à G, appartient soit à un chaînon, soit à un vide intérieur à un groupe de deux chaînons consécutifs (n° 5, V). Si M appartient à un chaînon, le théorème est vérifié, car ce chaînon contient au moins un point de C, et la distance de ce point à M est inférieure au diamètre du chaînon. Si M appartient à un vide, appelons À le contour de l’ensemble des deux chaînons qui contiennent ce vide et N le point de © commun aux deux tronçons qui ont donné naissance à ces chaînons. N étant intérieur aux deux chaînons, est intérieur à À. M étant aussi intérieur à À une demi-droite issue de M et opposée à MN coupe À en un point P. P est sur un des deux chaînons et ce chaînon contient aussi N qui appartient aux deux. Donc NP < 4, et par suite MN < A, puisque M est par construction entre N et P. Le théorème est démontré.

Soit alors M un point de E non sur C. Il a avee C un écart non nul €. Considérons un nombre n assez grand pour que le maximum €, du diamètre des tronçons de C qui fournissent les chaît-

e 2 de ee: a LT re à < nons de G, soient inférieurs à 5 € À, est inférieur à 2c,, donc à €.

M ayant avec C un écart supérieur à 4, est extérieur à G,.

La correspondance s'étend donc bien à la totalité de E et e. Elle est biunivoque, car les polygones À (ou a) n’ont en commun que des points frontières et que ces frontières se correspondent.

15. Il reste enfin à prouver que cette correspondance est continue dans les deux sens. Elle est manifestement continue en tout couple de points homologues M, m qui n’appartiennent pas à C et c. Il sullit alors de faire la démonstration en supposant M et m sur C et c,

Un point M de C est intérieur au contour extérieur de lun au

moins des chaînons de la chaîne G:;; soit par exemple, au chaînon Gr.

Tous les points de G} suffisamment voisins de M ont leurs homoi+p3 AE ARE contenant des points de G° content

logues définis par la considération de polygones positif. Chacun de ces A},, au plus des points de 7 chaînons consécutifs de la chaîne Ge

où p est

dont l’un au moins provenant de la subdivision de G'; done ces 7 chaînons sont intérieurs à 7 chaînons consécutifs de G;,

lun d'eux étant G7. Finalement, tous les A’,, considérés appartiennent aux 13 premiers chaînons de G' à G de la chaîne G.. Les 4;,, correspondant font donc partie de la figure formée par

+p “et le diamètre de cette figure tend vers

les 13 chaînons g! à g' r I zéro avec =:

Ceci prouve la continuité de la correspondance quand on passe de E à e. Le passage de e à E s’étudiera de même; d’ailleurs,

d’après un résultat de M. Jordan, une correspondance biunivoque et continue dans un sens est continue dans les deux sens.

16. En résumé, le problème posé au n° 7 se trouve résolu. Si nous envisageons deux courbes fermées quelconques sans point multiple, étant donnée une correspondance biunivoque et continue entre les points de ces courbes, on peut l’étendre à la totalité de leurs plans au moyen d’une infinité dénombrable de correspondances homographiques. La correspondance entre régions homologues ne contenant pas de points des courbes est obtenue par un nombre fini de telles correspondances. |

IV. — Correspondance entre les plans de deux courbes ouvertes.

A7. Étant données deux courbes de Jordan ouvertes & et c sans point multiple des plans E et e, nous allons étendre à tout E et e la correspondance entre C et c.

Pour cela, appelant À, B; a, b les extrémités de C et c, je vais

construire un are C/ sans point multiple joignant À à B et n'ayant : ; VOD que ces points en commun avec C et un arc analogue ce’, Je ferais

correspondre € + C/ avec c+ c/ en conservant la correspondance donnée de C avec c. La correspondance entre ces courbes fermées s'étend à la totalité de leurs plans et cette extension résout le problème posé pour Get c.

Comme courbe e, je prends le segment (0, 1) de Ox et pour c’ je prends le reste ap, q, b du périmètre d’un carré de côté c. La construction de C’ va encore résulter des propriétés des chaînes régulières ouvertes enfermant C. Ce sont ces propriétés que j'étudie maintenant.

A8. Taéorème. — Soit C un arc de Jordan sans point multiple d'extrémités À, B. Je peux enfermer C dans une chaîne régulière ouverte G, d'au moins sept chaînons, et dont chacun à un diamètre inférieur à un nombre À, donné.

Partageons l’intervalle (o, 1) en 2* parties égales, ce qui partage C en un même nombre de tronçons. Appelons &, le maximum du diamètre de ces tronçons. Considérons d’autre part un pavage du plan à l’aide de carrés égaux ayant un diamètre inférieur à un certain nombre 1, que je déterminerai ensuite. Pour constituer le premier chaînon, je prends un arc AA, de C somme des &, premiers tronçons et je garde ceux des carrés qui touchent cet are. Ils forment un chaînon que j'appelle (A,). Je construis de même. le chaînon (B;) à l’aide de l'arc BB, somme des GB, derniers troncons. Je constitue les chaînons intermédiaires chacun à l’aide d’un des tronçons restants de C.

Les chaînons ainsi construits forment une chaîne ouverte si n, est inférieur à la moitié de l’écart de deux tronçons non consé-

L Ë 1 cutifs. On a alors n, < =e, (n°8).

La chaîne sera régulière (n° 4) si aucun chaînon n’est intérieur à aucun groupe de deux chaînons consécutifs. Pour écarter le cas

contraire, Je distinguerai deux cas suivant que le groupe en question ne contient pas ou contient un des thaînons extrêmes.

PREMIER cas. — Supposons que le chaînon de rang x soit intérieur au groupe des deux chaînons intermédiaires À, À + 1. Sup-

posons pour fixer les idées x << À. Le chaînon x —— 1 ne touche aucun des chaînons À, À + 1 qui ne lui sont pas consécutifs. Il a des points à l’intérieur de leur groupe, ceux qu’il a en commun avec (x). I est donc tout entier intérieur à ce groupe. Il en est de même des chaînons x — 2, x — 3, ... (A,). Dans ce cas, l’un des chaînons extrêmes est intérieur à un groupe de deux chaînons intermédiaires consécutifs. Ce cas ne pourra pas se produire si chaque chaînon extrême à un diamètre supérieur au double du maximum du diamètre des chaînons intermédiaires, c’est-à-dire supérieur à 4€, puisque chaque chaînon intermédiaire a au plus le diamètre 2e, (n° 8). Pour réaliser cette condition nous prendrons &, et 5, juste assez grands pour que les diamètres des ares AA ,, BB, surpassent 4e. On peut alors préciser les limites entre lesquelles sont compris les diamètres de (A,) et (B;). Si l’on diminuait &«, d’une unité, on aurait un tronçon de diamètre au plus égal à 4e,; donc AA, a un diamètre au plus égal à 5e, et par suite (À,) a un diamètre inférieur à 6e,. Il en est de même pour (B;).

Deuxième cas. — Le chaînon (x) est intérieur au groupe formé de (A,) et de son consécutif [le raisonnement serait le même pour (B,)]. Le chaînon (x + 1) serait aussi intérieur à ce groupe et par suite le chaînon (B,). Or B est intérieur à (B,), B serait donc intérieur au groupe en question qui contient aussi À. Ce groupe a un diamètre au plus égal à 6e, + 26e, = 8e,. Si l’on appelle D la dis-

tance AB, ce cas ne se produira pas si € ë D.

Enfin écrivons qu'il y a au moins sept chaînons (1), c’est-à-dire

au moins cinq chaînons intermédiaires. Les arcs AA,, BB, ont.

chacun un diamètre inférieur à 5e. Si done D > r04,, les arcs AA,, BB, n’empiètent pas et l’arc A,B, a un diamètre supérieur AD 10e, Lusuthits alors que D 106 be, où.1% << D pour être assuré que cet arc comprend au moins cinq tronçons. Cette condition est plus restrictive que celle trouvée plus haut.

Si enfin on veut que chaque chaînon ait un diamètre inférieur

(1) Ce nombre a été choisi en vue des applications ultérieures. On ferait des raisonnements analogues à partir d’un nombre quelconque.

k Ê à 20 . . . ; £ A EURE à À,, il suflira qu'il en soit ainsi pour les chaînons extrêmes, c'està-dire que 6e, < A,.

En résumé, on prendra k assez grand pour que #, soit inférieur

\ D \ A Lé : : La É >: La SE OU El 2 C étant ainsi partagée en tronçons, on prend fo infé- 19 D

rieur à la moitié de l’écart de deux tronçons non consécutifs. On

choisit enfin &

6 Bo juste assez grands pour que les ares AA,, BB,

aient un diamètre supérieur à 4€.

Si l’on ne fixe pas A, on supprimera la condition correspondante. On sera assuré que chaque chaînon aura un diamètre vnférieur à 6&,.

Soient G, la chaîne ainsi construite et L, son contour.