Enfermons maintenant C dans une suite de chaînes G

G,, ..., Gy, .... Nous imposerons à ces chaînes la condition que les contours L,, L,, ..., L,, ..: qui les limitent soient intérieurs

chacun aux contours qui les précèdent. Supposons G,;-, construite à l’aide d'éléments qui sont : un partage de C en tronçons dont le diamètre maximum est &,,; un pavage du plan à l’aide de carrés égaux; deux nombres &,,, 6,-, juste assez grands pour que AA, et BB; aentun diamètre Fuperieur 44e "APOoUr déterminer G,, je partage chaque intervalle du paramètre { ayant fourni un tronçon du partage précédent en deux parties égales. Soit €, le diamètre maximum des tronçons ainsi obtenus. €, est au plus égal à e,,. Je partage chaque carré du pavage précédent en un nombre (le même pour tous) de carrés égaux dont j'appelle le diamètre n,. Je prends ce nombre de carrés assez grand pour que : 19 n, soit inférieur à la moitié de l'écart minimum des groupes de deux tronçons non consécutifs de C; 29 à l’écart de C avec L,.. Enfin je choisis &,, B, juste assez grands pour que le diamètre de AA, et de BB, soit supérieur à 4 €.

Comme e, est au plus égal à «, , done à &,, e, remplit les conditions exigées pour €, et ces éléments fourniront une chaîne G, ayant les propriétés de G,. De plus, la deuxième condition imposée à n, montre que tout point des chaînons de G, est intérieur à G,,, donc que G, est intérieure à L,,. Le diamètre des chaînons de G,

est inférieur à 6<,, done tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. «

Faisons encore quelques remarques. L’arc AA, , a un diaméêtre supérieur à 4 €,,, donc à 4 e,. Par suite, À, ne peut pas être en dehors de cet arc. De même B, est sur l'arc BB,,. Un chaînon intermédiare de G,, provient d’un tronçon de C qui en fournira deux dans la division suivante et qui, par suite, donnera naissance à deux chaînons de G,. Ces deux chaînons sont entièrement intérieurs au chaînon considéré de G,,. Le tronçon AA,, fournira le tronçon AA, et éventuellement d’autres tronçons. Les chaînons qui en résultent pour G, sont entièrement intérieurs à (A,,).

20. Coxsrrucrion DE C/ (fig. 4). — C' sera obtenue comme image continue de c’ (ap, g, b) au moyen des remarques suivantes :

Sur le contour L, de G, il y a quatre points P,, P', Q,, Q' tels deals leus arcs PO PE Q, empruntent chacun tous les chaînons, les points P,, P, étant les seuls qui appartiennent au chaînon (A,) et les points Q,, Q° étant les seuls qui appartiennent à (B,) (n° 6). L’un des arcs P, P, du contour de (A,) est alors tout entier intérieur à G,. Cet arc et la portion P,, P° du contour de G, forment un contour È qui enferme tout (A,), done À. Mais B est extérieur à 2. Par suite, L,,, qui emprunte des points de (A,,,) intérieur à (A,), donc à E, et des points de (B,,,) extérieur à A, coupe ©. Il ne coupe pas la partie appartenant à L,, donc il coupe l'arc P,P’: Soit Il, le premier point de rencontre avec L,,,-à

THÈSE ANTOINE ï %

partir de P,. Je formerai un arc P, P;., énajoutantra Peer des deux ares I,P,., de L,,, qui n’emprunte pas de points au chaînon (B,.,).

Remarquons dès maintenant que IE, appartenant au chaînon (A, ne peut pas appartenir aux chaînons de rang supérieur à 2 de C,. Soit 2 À + 1 le nombre des chaînons de G,,, qui sont entièrement intérieurs au groupe des deux premiers chaînons de G, (n° 49). Il, ne peut alorsappartenir qu’à ces chaînons de rang au plus égal à 2A + 1. Le chemin Il, P,,, emprunte done des parties appartenant uniquement aux 2 À + 2 premiers chaînons de G,,, et par suite est intérieur au groupe des trois premiers chaînons de G, (n°8 G ét 19).

Ceci étant, Je marque sur le côté ap, de c’ les points p,, p: .…,

D see dés DAT D : Je fais correspondre les points P et p

de même indice. Je fais de même correspondre le segment p, p,,, à la ligne polygonale P, II, P,,, par exemple par similitude des segments homologues. Je fais des constructions et J’etablis des correspondances analogues pour les éléments désignés par la lettre Q. Je fais encore correspondre le côté p,qg, à lare P, Q, de L, et enfin je fais correspondre À à a et B à b. Je vais montrer que l’ensemble des points ainsi construits et correspondant aux points de c’ constitue l’arc C’ cherché. I faut montrer pour cela :

19 C’ n'a que les points À et B sur C. — Ceci résulte de ce que l'arc P, P,,, de C’est, quel que soit n, extérieur à G,,,, donc ne coupe pas C.

29 C' n’a pas de point multiple. — Par leur construction même, les arcs P,P,,4, et P,P,.,nese coupent pas. De même pour Q, Q,;, et Q» Qu... I suflit donc de prouver que P,P,,, ne coupe pas Qu Qu. Or P, P,4 est intérieur au groupe des trois premiers chaînons de G,, donc au groupe des trois premiers de G,. De même Qy Qu+, est intérieur au groupe des trois derniers chaînons de G4. Comme G, à au moins sept chaînons, ces ares ne se coupent pas.

39 Les coordonnées d’un point M de C! sont fonctions continues du paramètre qui fixe la position du point m correspondant sur c'.

ù , è L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. 27

— Ceci est mamileste si m n’est ni en « ni en b. H suflit donc de prouver qu'étant donné I on peut trouver À tel que am<h entraîne AM < FH. Pour cela remarquons que P, P,,, étant intérieur au groupe des trois premiers chaînons de G,, il en est de même pour tout Pare AP,. Ce groupe à un diamètre inférieur à 10€,. Prenons n assez grand pour que 10 €, H. I suffira alors de prendre } << ap, pour réaliser les conditions imposées.

C’ étant ainsi construite, la proposition énoncée au n° 17 se trouve établie.