V. — Généralisations et applications

21. Des faits que nous venons d'établir résulte immédiatement la propriété suivante : st une circonférence (ou un segment de droite) possède dans son plan e une certaine propriété qui se conserve quand on fait une représentation biunivoque et continue du plan e sur un autre plan, celle propriété est aussi vérifiée dans son plan par une courbe de Jordan C fermée (ou ouverte) sans point multiple.

On en déduit, en particulier, le théorème de M. Jordan :

Une courbe de Jordan fermée sans point multiple partage son plan en deux régions, une région intérieure bornée et une région extérieure non bornée. Deux points d’une même région peuvent être joints par une ligne continue ne coupant pas la courbe; deux points, pris chacun dans une région différente, ne peuvent pas être joints par une telle ligne. La courbe est frontière de chacune des régions. Ces propriétés sont en effet vraies pour une circonférence et se conservent dans la représentation indiquée.

De même, un arc de Jordan sans point multiple ne partage pas son plan en régions : deux points quelconques non situés sur Pare peuvent être joints par une ligne continue ne le coupant pas.

Une courbe de Jordan (fermée ou non) sans point multiple ne remplit aucun domaine. Supposons, en effet, que la courbe C remplisse un domaine et soit M un point intérieur à ce domaine. Il existe une circonférence de centre M et de rayon H dont lintérieur appartient à C. Faisons une représentation du plan de C sur le plan d’une circonférence ou d’un segment de droite et soit m lhomo-

logue de M. Il existe un nombre À tel que mp < h entraine MP < H. Tout l’intérieur de la circonférence de centre m et de rayon À appartendrait donc à €, ce qui n’est pas.

Enfin, tout point M d'une courbe C sans point multiple est accessuble, c’est-à-dire qu'il existe une ligne polygonale dont les sommets ont M pour seul point limite et qui ne touche C qu’en M. Faisons la même représentation et menons par m» un segment de droite n'ayant que ce point en commun avec c. L’homologue de ce segment sera la ligne cherchée. Tout segment de cette ligne qui ne contient pas mn se transforme en effet en une ligne polygonale ayant un nombre fini de sommets, puisque dans toute région ne contenant pas de points des courbes la correspondance se décompose en un nombre fini de correspondances homographiques.

22. Voici une généralisation à plusieurs courbes. Elle résulte de la remarque suivante :

Étant donné dans un plan un nombre fini de courbes sans point multiple et sans point commun, on peut enfermer chacune dans un ou deux contours polygonaux, suivant qu'elle est ouverte ou fermée, de façon que si une courbe C, est intérieure à une courbe C», les polygones qui. enferment C; soient intérieurs à ceux qui enferment C3. Je dirai que ces polygones ont même disposition que les courbes.

Soit & un nombre inférieur à l’écart des courbes. Il suffit d’enfermer chaque courbe dans une chaîne régulière ouverte ou fermée, suivant sa nature, et dont chaque chaînon ait un diamètre inférieur

à -e. Tout point intérieur à une des chaînes à, avec la courbe cor-

respondante, un écart inférieur à -e (1). La propriété en résulte

de suite. ;

Soient, dans un plan E, un nombre fini de courbes C,, CG, ...,C, sans point multiple et sans point commun (fermées ou non). Soient, dans un plan e, un même nombre de courbes c,c,, ...,e, de même

(1) Ceci a été démontré pour une courbe fermée (n° 44). La démonstration serait la même pour une courbe ouverte.

nature. Je suppose que les courbes C;, c; sont toutes deux ouvertes ou toules deux fermées. Je suppose de plus que ces courbes ont la même disposition, c'est-à-dire, par exemple, que si €, est intérieure à C», ©, sera intérieure à c,. Je dis que je peux établir entre E et e une correspondance qui fasse correspondre les courbes de même indice.

Je peux me borner au cas où les courbes € sont des carrés ou des segments de droite. Enfermons les courbes C et les courbes c dans les contours polygonaux indiqués au début de ce numéro.

Considérons d’abord une courbe fermée C enfermée dans une chaîne G, limitée par deux contours L,, L; et la courbe correspondante c enfermée de même dans une chaîne g, limitée par L,, l. Je supposerai, quitte à changer { en 1—# pour c, que si l’on décrit L, en rencontrant successivement les chaînons (1), (2), ..., (n) et si l’on décrit {, de la même façon, les sens de rotation sont les mêmes pour les deux plans E et e. J’établis alors entre G, et g, la correspondance du n° 15.

Supposons maintenant C et c ouvertes. Soient L et / les contours qui les enferment. Je ferme C par un arc C’ intérieur à L et c par un contour c/ que je peux aussi supposer être un carré, à condition de prendre c assez petit. Je suis ramené au cas précédent, les polygones L et / jouant le rôle des contours L et ! du n° 43. Pour avoir comme tout à l’heure le même sens de description sur L et l, il ne sera pas nécessaire de changer de paramètre pour €, 1l suffira, si c’est nécessaire, de remplacer c! par son symétrique par rapport à la droite c.

Les portions du plan qui restent sont alors des domaines polygonaux deux à deux de même connexité et limités par des contours se correspondant avec des sens de description concordants. Par l'adjonction de lignes convenablement choisies comme 1l a été fait au n° 45, je les ramène à des polygones auxquels j'applique la correspondance du n° 4, ce qui établit la proposition.

En particulier, si les courbes C et c sont toutes ouvertes, on pourra ainsi étendre à la totalité des deux plans toute correspondance entre ces courbes, puisque, dans ce cas, nous n'avons pas été obligé de changer de paramètre. Il pourra ne plus en être de même si certaines des courbes sont fermées et lon ne pourra étendre que cer-

Laines correspondances, mais il en existe toujours de cette sorte.

Si les courbes n'ont pas même disposition, l'extension est encore possible à un voisinage (intérieur des chaînes construites par exemple), mais ne peut pas s'étendre à la totalité des plans. Supposons par exemple C, intérieure à C, ete, extérieure à c, et admettons que la correspondance entre ces courbes s’étende à la totalité des plans E et e. Soient M et m deux points homologues sur Crete: Soient P, p deux points homologues quelconques. La distance mp — h(P) est fonction continue des coordonnées de P. Définissons cette fonetion pour toutes les positions de P intérieures à C, ou sur C,. Ce domaine étant borné et fermé, À (P) a un maximum À fini. Si mp > h, P sera extérieur à C,. Or dans la région non bornée qui contient c,, il y a des points p qui peuvent être joints à m par un chemin ne coupant pas c; et tels que mp > h. Le point P homologue serait done extérieur à C,. Ceci est impossible puisque l’homologue du chemin mp joimdrait M et P sans couper C..

25. Je me borne à énoncer la généralisation suivante dont la démonstration est immédiate.

Soit dans E une infinité dénombrable de courbes sans point commun C,, Cs+, ..., C», ..., et dans e une infinité dénombrable de courbes €,, €;, ..., €,, .... Supposons que C, soit extérieure à une circonférence de centre O‘et de rayon R, et ce, extérieure à une circonférence de centre o et de rayon r,. Supposons que R, et r, croissent indéfiniment avec n. On pourra étendre la correspondance entre les courbes C et c dans les cas suivants :

19 Les courbes C et c sont toutes ouvertes:

20 Les courbes C et c sont toutes fermées et extérieures les unes aux autres;

39 Les courbes C et c sont fermées, C, est intérieure à C,,, etc, est intérieure à c,,, quel que soit n.

24. SiCet c sont deux courbes de Jordan ayant des points muluples et homéomorphes, leur correspondanee peut, selon les cas, ° r \ » \ rs s étendre à tout le plan, s'étendre seulement à leurs voisinages,

z û £ L'HOMÉOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES, 1

ou même ne peut s'étendre à aucun voisinage. Voici deux exemples de ces derniers cas,

Premier exemple. — Cest constitué par une circonférence TL et par deux segments de droite C, C, (AB, et AB,) ayant une extrémité commune À sur F'et extérieurs à F. c est constitué de même, mais les deux segments c,, c, sont intérieurs à y (fig. b). C et c sont

Fig. 5.

homéomorphes et 1l existe une correspondance entre ces ares qui s’étend à leurs voisinages. Je dis qu’il n’existe pas de correspondance entre C et c s'étendant à tout le plan. Une telle correspondance doit d’abord faire correspondre les seuls points multiples À et a et aussi les points frontières, B, avec b, par exemple et B, avec b,. Elle fera donc correspondre T'et y, C, et c,, C, et c,. Soit l une portion de C, ne contenant pas À, donc extérieure à L. I lui correspond une portion y" de c,, donc intérieure à y. Par suite y et FT’ n’ont pas même disposition que y et y’. On ne peut donc pas étendre leur correspondance à tout le plan (n° 22). On ne peut donc pas étendre à tout le plan la correspondance entre C et c.

Deuxième exemple. — Les courbes C et c sont constituées de la même manière, sauf que C, est intérieure à F (fig. 6). Une correspondance entre C et c ne peut s'étendre à aucun voisinage. Supposons qu'il existe une correspondance entre C et c pouvant s'étendre à leurs voisinages. Elle fera correspondre, comme tout à l'heure, T'ety,C, et c;, Gret c,, À et a, B, et b,, Bet b,: Il-existe une circonférence y, de céntre a, coupant c, et c, en des points d, et d, et appartenant au voisinage de c auquel peut s'étendre la