C. A. KOCH

Imschenetshp: Sur l’intégration des équations etc.

INTEODUCTION.

La théorie de l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre de la forme la plus générale, créée par les travaux des plus grands géomètres des temps modernes, forme actuellement la partie la mieux approfondie et la plus achevée du Calcul intégral.* Dans l’histoire du développement de cette théorie, on rencontre ce fait remarquable, que les successeurs immédiats de Lagrange, son véritable fondateur (1772), considérèrent comme impossible de suivre la voie qu’il avait tracée; tandis qu’au contraire les derniers progrès de cette théorie l’ont ramenée de nouveau aux principes de Lagrange.' Pfaff, le premier, se plaçant à un nouveau point de vue, est parvenu (1814) à la solution complète du problème. Mais sa méthode, théoriquement exacte, s’est trouvée peu commode dans la pratique, par suite des difficultés que présente l’intégration successive de plusieurs systèmes d’équations différentielles. Cauchy (1819) et Jacobi (1837), par des procédés différents, et sans que le second eût aucune connaissance des travaux du premier, montrèrent que le but auquel conduisait la méthode de Pfaff pouvait être atteint plus simplement, par la seule intégration complète du premier des systèmes d’équations différentielles qui se rencontrent dans cette méthode. La question paraissait dès lors complètement épuisée. Néanmoins l’infatigable et fécond génie de Jaco bi n’abandonna pas ses investigations sur ce problème, auquel il avait déjà fait faire de si grands pas, et auquel s’attachait un nouvel intérêt, depuis que les recherches d’Hamilton avaient mis en évidence la liaison qui existe entre cette théorie et l’intégration des équations différentielles de la Dynamique. Pen-

6 Imschenetshy : Sur Cinlégralion des équations

dant que Jacobi se livrait à ses nouvelles études sur cette double question, la théorie continuait ses progrès, grâce aux remarquablés publications d’autres analystes, Liouville, Bertrand, Donkin, Bour, etc., qui se sont occupés du même objet, et dont les découvertes devaient laisser moins à faire au géomètre allemand, quoique souvent aussi elles dussent coïncider avec les résultats qu’il obtenait de son côté. Nous ne pouvons émettre ici que de simples conjectures, puisque le travail de Jacobi n’a paru qu’après sa mort, rédigé par Clebsch d’après les matériaux trouvés dans ses papiers. Ces détails expliquent les réclamations de priorité auxquelles cette publication a donné lieu de la part de plusieurs auteurs, relativement soit aux théorèmes fondamentaux de la ,, nouvelle méthode*^ de Jacobi, soit à son principe général. Mais sans aucun doute le nom du grand géomètre restera attaché à cette théorie, fondée sur ses conceptions et constituée par lui'méme sous une forme systématique complète, lors même que des parties isolées et secondaires de cet ensemble appartiendraient à d’autres inventeurs.

En me bornant, pour le moment, à cette courte esquisse du développement successif de ce problème, je me réserve de revenir plus longuement sur les détails historiques dans les Notes qui accompagnent le texte, et je vais donner maintenant un aperçu général du contenu de ce Mémoire. ,

Dans le Chapitre j’examine les différentes formes d’intégrales des équations aux dérivées partielles du premier ordre; et, de l’intégrale complète, je déduis l’intégrale singulière et l’intégrale générale, par la méthode de la variation des constantes arbitraires, en me fondant sur les propriétés des déterminants fonctionnels.

Dans le Chapitre II, je considère la forme particulière d’intégrale générale qui conduit à des équations linéaires par rapport aux dérivées partielles, et je donne un abrégé de la théorie de ces dernières, d’après Lagrange et Jacobi.

Dans le Chapitre III, j’expose l’état général de la question, conformément aux vues indiquées dans le dernier travail de Jacobi, et j’y introduis les conditions d’intégrabilité de Liouville et de Donkin. Après avoir montré que, dans le cas particulier de deux variables indépendantes, la méthode de Jacobi revient identiquement à celle de Lagrange et de Char pit, je reprends la question générale, et j’effectue une première simplification des

aux dérivées partielles du premier ordre.

Introduction, 7

équations, par l’élimination de la fonction inconnue, en tant qu'elle y entrait explicitement; je signale, en outre, le défaut du procédé employé par Jacob i.

On voit, par le contenu des chapitres précédents, que l’objet principal de mon étude est la „ nouvelle méthode** de Jacobi. Après l’avoir exposée, j’ai fait remarquer, d’accord avec l’opinion exprimée par Bour dans un Mémoire imprimé, et par Bertrand 1 dans ses leçons publiques, que Jacobi n’a pas donné à la construction analytique de sa théorie toute la simplicité possible. En suivant les indications de ces deux géomètres, conformes aux résultats de mes propres recherches, j’ai essayé, dans le Chapitre IV, d’établir le théorème fondamental de la méthode de Jacobi sur les principes les plus simples.

Dans le Chapitre V, j’expose avec détail la marche des intégrations qu’exige la méthode de Jacobi. D’abord, pour présenter le procédé fondamental sous la forme la plus simple, je n’ai pas réduit, dans les équations, les variables à leur nombre minimum; en outre, j’ai indiqué les difficultés qui pouvaient se rencontrer, et j’ai examiné des cas où le procédé s’applique trèssimplement. Enfin, par l’élimination des variables superflues, j’ai établi la théorie de la méthode dans tout son développement, et j’ai donné des exemples pour bien faire comprendre la marche du calcul.

Le Chapitre VI est consacré à l’intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Après avoir montré que la solution de cette question plus générale peut se faire par les procédés qui ont servi à résoudre le problème traité dans les Chapitres précédents, j’applique cette théorie à des problèmes déterminés et indéterminés aux dérivées partielles du premier ordre, conduisant à l’intégration d’équations simultanées, linéaires ou non linéaires. Pour terminer, je considère à un nouveau point de vue la question générale, intéressante d’ailleurs par elle -meme, des conditions d’intégrabilité immédiate d’une expression aux différentielles ordinaires d’ordre quelconque.

IDans le Chapitre VII, j’expose la théorie de l’intégration des équations simultanées aux différentielles ordinaires de la forme canonique; j’explique la liaison qui existe entre le théorème de Poisson relatif aux intégrales de ces équations et le théorème J fondamental de la méthode de Jacobi, et je démontre le pro- J cédé de Bertrand pour l’intégration des équations de la Dyna-

8 Imschenetshy: Sur V intégration des équations

inique au moyen du théorème de Poisson. J’applique à un même exemple les deux théories.

Enfîn^ dans le Chapitre VIIÏ, pour compléter l’aperçu des méthodes d’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, j’ai pensé qu’il ne serait pas inutile d’ajouter un exposé général de la méthode de Cauchy.

J’ai profité, dans ce travail, des secours que m’ont offerts les publications académiques, les journaux mathématiques et les ouvrages spéciaux, et j’ai indiqué les sources aux endroits correspondants du texte. Je me suis efforcé, dans ma rédaction, d’unir à la clarté et à la rigueur la plus grande généralité possible. Mais je ne puis m’empêcher de craindre que l’oeil pénétrant de la critique ne trouve que j’ai manqué plus d’une fois à cette triple condition, et n’aperçoive encore d’autres défauts dans mon travail. Dans ce cas, mon excuse sera qu’en général, dans un premier essai, on n’atteint qu’imparfaitement le but.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. /, /. 9

Cliapttre

1. Une équation différentielle aux dérivées partielles du premier ordre est une relation donnée entre un certain nombre de variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables, et les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction.

Désignons par

les n variables indépendantes; par z la fonction inconnue de ces variables, et par

V\* Vn

les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction, de sorte qu’on ait

D’après ces notations, le type général des équations dont il s’agit se présentera sous la forme

] (1) 072,. , 07«, 2, , Pi,...., /)«) = 0,

la caractéristique F désignant une fonction donnée.

'j Le problème de l’intégration de l’équation (1) consiste à dé- I terminer l’expression la plus générale de la fonction z, telle qu’en la substituant avec ses dérivées partielles dans l’équation (1), celle-ci se change en identité. Mais, avant d’exposer les diffé- / rentes méthodes d’intégration, il n’est pas inutile d’examiner les différentes formes de relations primitives entre 07i,..., Xn, z, qui, par des différentiations et des éliminations algébriques, peuvent donner naissance à une même équation de la forme (1).

2. La forme la plus simple d’une telle relation est une expression de Z en fonction explicite des variables indépendantes.

Imsc henetsky: Sur l’intégration des équations

(2) Z —— f ^ ^2)****) ^n> (12,3 ••••i ®fn)>

dans laquelle entrent, en outre, n constantes arbitraires Oj, «2, — , an- En différentiant la valeur de z par rapport à chacune des variables indépendantes, on obtiendra n équations de la forme

et entre ces équations, jointes à l’équation (2), on pourra éliminer les n quantités Oi,...., an- Si l’équation aux dérivées partielles ainsi obtenue est l’équation donnée (1), alors l’équation (2) représentera l’intégrale de (1). Une telle intégrale, renfermant dans son expression autant de constantes arbitraires que l’équation donnée contient de variables indépendantes, a été nominée par Lagrange une, intégrale complète. ^

3. 11 est aisé de voir cependant que l’intégrale complète (2) ne représente pas encore l’expression la plus générale de la fonction 1 qui puisse satisfaire à l’équation (1). En effet, cette équa^ tion (I) se déduit de (2) au moyen des équations (3), et si ces dernières ne changent pas de forme, l’équation (2) continuera à représenter l’intégrale de (1), de quelque manière que l’on ait généralisé la signification des symboles Oj,...., an- Supposons donc que Oj,...., an désignent des fonctions des variables Xi,...., xn, et voyons quelles conditions ces fonctions doivent remplir pour que les expressions des dérivées partielles pi,.,,., pn conservent leur forme primitive (3).

4. En différentiant l’équation (2) par rapport à chacune des variables, conformément aux nouvelles suppositions, on obtiendra n équati(»ns de la forme

dxi^ düi dxi ^ da2 dxi ' * “ dan dxi *

lesquelles se réduisent à l’ancienne forme (3), si les fonctions flj,...., On remplissent la condition

^«1 dXi * ^ • • • • T

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. /, 5. 2. 11

pour toutes les valeurs de i depuis 1 jusqu’à n. Ces n conditions se présentent sous la forme d’un système d’équations linéaires

par rapport aux dérivées partielles ^ » • • • • » ®*‘”*'*

nant toutes celles-ci à l’exception d’une seule, nous trouverons des équations de la forme

pour toutes les valeurs 1, 2,...., n de l’indice i.

Les conditions (5) peuvent être satisfaites de deux manières : 1®. En posant

pour I, 2, n. On obtient ainsi n équations, suffisantes pour la détermination des fonctions «i,...., ««; les valeurs trouvées étant substituées dans l’équation (2), la fonction z ne renfermera plus dans son expression rien d’arbitraire. L’intégrale formée par la combinaison des équations (2) et (6) est ce que Lagrange appelle l’intégrale singulière.

2^. On peut satisfaire aux conditions (5) d’une manière générale, en posant

Or la quantité R est le déterminant du système des équations (4), composé des éléments représentés dans le tableau suivant.

dfti

Ba^

Ba„

Bxi ’

’ Bxi *

Boj

Ba^

Bn„

Ico

Boi

Ba^

Bon

Bxn *

Bxn'

’ BXn

Le déterminant ainsi formé, au moyen des dérivées partielles de n fonctions, contenant chacune n variables indépendantes, a reçu de Jacobi le nom de déterminant fonctionnel, et

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

Jacobi a démontré que, si le déterminant fonctionnel est identiquement nul, les fonctions qui entrent dans sa formation ne sont pas indépendantes entre elles, et qu’une ou plusieurs de ces fonctions doivent pouvoir s’exprimer les unes au moyen des autres.

5. D’après le plan que j’ai adopté dans ce travail, j’aurai plus d’une fois à m’appuyer sur ce théorème. C’est pourquoi je pense qu’il ne sera pas inutile d’en rappeler ici la démonstration, qui est d’ailleurs très-simple *).

Considérons le système d’équations

üi = (pi, «2 — •• • •> = fpui

qui sert à exprimer «i, On en fonctions de Xif

De l’une de ces équations, contenant ^], tirons la valeur de cette variable en fonction de 0^29* substituant cette expression dans l’une des équations restantes, contenant æi et 0^2, dans la seconde, par exemple, nous aurons «(2 exprimé" en fonction de «1, ^2» ^3>*»** *j ^n, et nous tirerons de là 0:2 en fonction de «1, «2» ^3»****» En substituant les expressions trouvés, pour dans une des équations restantes, qui avec ces deux variables contienne en outre dans la troisième, par exemple,

nous aurons exprimé en fonction de ai, «2, ^3,...., ^n, et nous tirerons de là exprimé en «i, «2» ^74,...., æn> En conti-

nuant de la sorte, les expressions primitives de «i , cr2,...., an seront transformées en d’autres telles, qu’en général ai se trouvera exprimé au moyen de «i, «2j*-**> ^n> Re-

présentons par

ai tpi (.27],...., a‘ti)f 02 = (oi, 0:2,...., Æ-n),

*) Nous avons légèrement changé la démonstration que donne le

texte original, et que l’on rencontre chez un grand nombre d’auteurs. 11 nous a semblé que le raisonnement pouvait être présenté d’une manière

plus claire, et le Dr. It. Baltzer, à qui nous avons communiqué cette

modification, l'avait aussi trouvée de son coté, et se proposait déjà de l’introduire dans la 3^ édition de son Traité des Déterminants. (Note du Traducteur.)

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. /, §.3. 13

03 1/^3 (fl|, <*2» ^3>****? ^n)j

ai zrz'tpi (a, , . . . . , a/~i, œi,,..., Xn),

les expressions ainsi obtenues. On retrouvera les valeurs primitives de «I, <i2>****> ai,.... en Xi,..,., Xn, si l’on remplace successivement dans le second membre, de chaque équation, «Tj, par les valeurs tirées des équations précédentes. On aura donc, en différentiant dans cette hypothèse.

dai __ dijji ôrt| dxk ~~ dtti dxk ^

diffi dai-i S'ijji

dai-i dxk ^ Bxk ’

d’où l’on tire

dxk J düi dxk * * ’ * dai-i dxk ^ Sxk

Nous conclurons de cette formule que le déterminant du système

Sipi

ëj^

ëx^'

8xn *

8xn*

8lpn 8Xn *

peut se mettre sous la forme du produit du déterminant du système (A) par celui du système

ëtp^

“Sa,’

ëips

“So,’

~ Sa*'

8'éJn

ëxpn

~ Sa/

Sa,’----’

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

En effet, la formule (M) fait voir que la somme des produits des éléments appartenant à la Z*®"*® ligne horizontale du système (C) et à la ligne horizontale du système (A) forme Télé-

ment du système (B) situé à l’intersection de la Z*®”*® ligne horizontale avec la ligne verticale. Mais, dans chacun des

systèmes (B) et (C) les éléments situés de l’un des côtés de la diagonale principale sont nuis; donc les déterminants de ces systèmes sont égaux aux produits des éléments de leurs diagonales principales respectives. Par conséquent '

6. Si le déterminant R est identiquement égal à zéro il faut alors qu’un des facteurs du produit, dans le premier membre de (7), soit égal à zéro. Mais les n — 1 premiers facteurs de ce produit sont, en général, différents de zéro, puisque, d’après ce qu’on a supposé, la fonction contient a:i , la fonction ip2 contient ^.2,...., la fonction contient a:n—i» Par conséquent,

le dernier facteur doit être identiquement nul; c’est-à-dire

que, par suite des substitutions successives que l’on a opérées, la fonction an ne doit plus contenir a:« explicitement, et peut s’exprimer au moyen des seules quantités Oi, Og, ...., «n— 1. Cependant il peut se faire aussi que, par suite des substitutions en question, aucune des fonctions i/;», ...., 'tf^n-k ne contienne

explicitement arn, æ:»—!,...., a;n-k; il est évident alors que l’on aura identiquement

W ô:vn-k

et chacune des fonctions a», On—u (fn-k s’exprimera au moyen

des seules quantités cf|, — , Un-k-i.

7. La proposition réciproque est évidente. Si les fonctions a|, a.2, ...., an ne sont pas indépendantes les unes des autres, mais qu’au contraire l’une d’entre elles an, ou plusieurs d’entre elles an, an-i,-*»^, an-k puissent s’exprimer au moyen des seules fonctions restantes ai, «a, — , an-k—i, alors la première des égalités (q) ou toutes les égalités (q) auront lieu, d’où il résultera que le déterminant R sera identiquement nul.

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. 1, S. 4. L5

8. Ainsi on peut satisfaire à la condition R =z 0 de la manière la plus générale, en prenant une des fonctions «i, «2» • • • • » an égale à une fonction entièrement arbitraire de toutes les autres, en posant, par exemple,

(8) On = «2» • • • ' » >

OU d’une manière moins générale, en égalant « quelques-unes de ces fonctions à des fonctions arbitraires des autres, par exemple, en faisant

(tn — Ttn (cfi»

1 = TTn— 1 (<*1 ,

ttn— ft— l)j

(Ifi—k — ^n—k{Uif

Un—k — l)*

En introduisant cette dernière hypothèse dans les conditions (4), et remarquant, de plus^ que, pour toute valeur de l’indice

*^71 et^w — k, on a

SjTm dtti dTVm ^dn—k—l

dxi düi dxi * • • * * dun-h-i dxi

nous réduirons ces conditions à la forme suivante.

df dnn~k 4. ^

* drcn-k ôoi * * * dai) dx i

\dan—k—l

drCn—k

hitn-k ÔOn-fc-l ' ‘ * ^Ttn 00:

OTCn Y n—k—lj

dltn '\dan — k — il

dxi

Multiplions cette équation par dxt, et faisons ensuite la somme de toutes les équations analogues, obtenues en donnant à i toutes les valeurs entières depuis l jusqu’à n\ il viendra

df dnn-k df "

djCn-^k dui ''"^dTtn düiJ

, y S7tn \ ■ \

\dan^k-l ^7tn-k dan-k-1^ ^ dTtndan-k-l) " ^ ;

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

Les fonctions «tj, cr2>****7 fln-A— i étant, par hypothèse, complètement indépendantes entre elles, il faut alors, pour que l’équation précédente ait lieu quelles que soient les valeurs de dan—k—if que l’on pose

y df dTtn-k df dTtn ^

Bai * Bjrn-k Bai • * * * * * Bai

en attribuant à i successivement toutes les valeurs, depuis 1 jusqu’à n — Â — 1.

9. Pour une forme donnée des fonctions arbitraires Ttn, on peut tirer des équations (10) les valeurs des quantités Oj,...., an-k-i; puis, au moyen des équations (9), les valeurs des quantités an^k,.-.», an\ après quoi l’équation (2) donnera la détermination complète de la fonction z au moyen des variables Xn> De cette manière, le système des équations (2), (9) et (10) représente une intégrale de l’équation (1). Dans cette intégrale, Texpression (2) de z renferme k-\-\ fonctions arbitraires de n — k — 1 fonctions données, et plus le nombre k est petit, plus l’expression de z est générale. Pour ^ = 0, elle atteint la plus grande généralité possible. Dans ce dernier cas, les équations (9) sont remplacées par la seule équation (8), et les équations (10) par les équations

Bai ^ Bn Bai

qui ont lieu pour toutes les valeurs de i, depuis 1 jusqu’à n — 1.

L’intégrale qui résulte de la combinaison des équations (2), (8) et (11) a été appelée par Lagrange l’intégrale générale.

10. Pour compléter l’étude de la forme des fonctions qui peuvent être des intégrales d^une équation aux dérivées partielles du premier ordre, démontrons que toute fonction donnée z des variables Xi, Xn, satisfaisant à l’équation (1), est renfer-

mée comme cas particulier dans le système de® solutions de cette

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. /, S. 5. 17

équation, qui se compose de l’intégrale complète, et des intégrales singulières et générales qui s’en déduisent.

Soit, en effet,

(12) iz=z(p{Xiy Xn)

la fonction donnée, satisfaisant à l’équation

(1) F{Xly...‘y Xtly Zy Ply . • • • y

et soit

(2) 2 f{X\y'.t»ty Xny a^y,.»*y fl||)

l'intégrale complète de cette équation.

En écrivant le système des n équations

dxi

dxi *

on pourra, en général, déterminer les valeurs, constantes ou variables, des n quantités a», qui vérifient ces équations.

Ces valeurs satisfont nécessairement aussi à l’équation

(14) /•= fp.

En effet, mettons l’équation (1) sous la forme

2 — {Xl y .... y Xny Pi y ... .y ^n) )

en substituant pour z les expressions (12) et (2), nous obtiendrons

les deux identités

(p = F(xi, . . ,

Bqp

... Xn, g— .•

dq>

***’ BXn^^

Xn,

“ ^ BxJ-

La dernière de ces identités a lieu pour dés valeurs arbitraires quelconques de ai,...., an, et par conséquent aussi pour les valeurs de ces quantités tirées des équations (13). Mais, par la substitution de ces dernières valeurs, le second membre de (16) devient complètement identique avec le second membre de (15). D’après cela, les premiers membres de ces égalités deviennent identiquement égaux, c’est-à-dire que l’on a f=(p. On démontrera absolument de la même manière qu’en général, si les valeurs trouvées pour vérifient n équations quelconques

du système (13) et (14), elles satisfont aussi à la (w-f- 1)*®"'®.

18 Jmschenetsky: Sut Vîntégration des équations

11. Si l’on diffërentie l’égalité (14) par rapport à chacune des variables indépendantes, en observant que cr,,...., «n, qui entrent dans le premier membre de cette équation et qui sont déterminées par les équations (13), doivent être considérées comme des fonctions des variables; on trouve n égalités de la forme

^ 4. 4. 4- gan

^Xi düi dxi ' • * • ^

lesquelles, en ayant égard à (13), se réduisent aux suivantes,

^ ^ J. 4. fl

düi dxi ^ ^ dün dxi ~

Mais ces dernières ont la forme des équations (4); par conséquent, les valeurs de «i,...., ««, tirées des équations (13) et ramenant l’intégrale complète (2) à la forme (12), sont renfermées dans le système des valeurs générales de «i, an qui trans-

forment l’intégrale complète dans l’intégrale singulière ou dans l’intégrale générale.

Si les valeurs de «i,...., Cn, tirées des équations (13) et (14), sont toutes constantes, alors l’intégrale (12) est un cas particulier de l’intégrale complète. Si les valeurs sont des fonctions des variables, satisfaisant à une ou à plusieurs relations nécessaires, de la forme

<p(ai, «2,...., an) = 0,

alors l’intégrale (12) sera un cas particulier de l’intégrale générale. Enfin, si ni l’un ni l’autre de ces deux cas n’a lieu, l’intégrale (12) est l’intégrale singulière.

12. Nous avons considéré l’intégrale complète de l’équation (1) sous la forme d’une fonction explicite z des variables .Tj ,...., Xn» Mais si cette intégrale est donnée sous la ,forme d’une fonction implicite, déterminée par l’équation

Ç)(^l,..*., Xn» Uj,...., fl^n) — 0,

la méthode de la variation des constantes arbitraires s’applique dans ce cas absolument comme dans le précédent. En effet, en considérant an comme des fonctions des variables a:,,....,

.T„, 2, nous pourrons les déterminer d’abord au moyen des équations

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch.I,$.6. Î9

dg>

dût

dans lesquelles nous donnerons à i toutes les valeurs depuis 1 jusquà n. Nous obtiendrons ainsi l’intégrale singulière.

Ën second lieu, en supposant que an, an— an—k soient des fonctions entièrement arbitraires de ai, a^,»***, On-k-u on peut déterminer ces dernières quantités en fonction des variables par les équations

dq) , d(p èan-k

dai ^ dün-k

dai

dun dai *

où l’on suppose 2 = 1, 2,...., n — k — 1, L’intégrale obtenue de cette manière est une intégrale générale, et elle a sa plus grande généralité pour k = 0.

En effet, il est facile d» voir que, dans chacun des trois modes de détermination précédents des quantités ai,...*, an, on , obtient, en différentiant l’équation çp = 0 par rapport à chacune Ides variables indépendantes, n équations

dxi

dg)

^ d’une seule et même forme dans les trois cas. Par conséquent, la détermination de ai,...,, an au moyen de ces équations et de g)=0 conduit dans ces trois cas à une seule et même équation aux dérivées partielles, puisque le résultat de l’élimination ne dépend pas des valeurs attribuées aux quantités éliminées.

13. Remarquons que, si l’équation aux dérivées partielles ne renferme que deux variables indépendantes, avec une fonction de ces variables, ces trois variables pourront être considérées comme les coordonnées d’un point de l’espace. Alors l’intégrale complète représentera l’équation d’une surface, renfermant deux paramètres arbitraires. La méthode même qui sert à trouver l’intégrale générale et l’intégrale singulière au moyen de la variation des constantes arbitraires devient, dans ce cas, complètement identique avec le procédé employé en Géométrie pour déterminer les surfaces-enveloppes, savoir: dans le cas de l’intégrale singulière, en faisant varier indépendamment les deux paramètres; dans le cas de l’intégrale générale, en établissant entre ccs paramètres une dépendance arbitraire.

Imschenetsky: Sur Vintégraiion des équations

Cbapitre II.

14. Nous avons vu (§. 4., art. 9) que la forme la plus générale de la fonction explicite z satisfaisant à Téquation aux dérivées partielles du premier ordre

’ *’ 0a:, dxn’ -

F{Xy, est la suivante,

ï = .. . . , Xnt Uif,,,,, an— If 7r(Ui,...., Un— i)],

qui renferme dans son expression les n variables indépendantes Xi,,,.., Xuf puis n — 1 fonctions données indépendantes entre elles, «1,...., «n-i de ces variables, et enfin une fonction arbitraire Tl de ces fonctions données.

Considérons un cas particulier de cette forme générale, celui où / ne contient explicitement ni Xi,.,. , Xn, ni aj,...., fln-i; nous aurons alors

(1) 2 =/’[7r(ai,.., fln-i)], ou simplement z=7i(ai,.., a„^i),

puisque tv est une fonction arbitraire.

L’équation aux dérivées partielles du premier ordre correspondante à cette forme d’intégrale s’obtient très-simplement, en s’appuyant sur le théorème du §. 3., en vertu duquel le déterminant fonctionnel des fonctions z, fli,...., an-i est égal à zéro, lorsqu’on a entre ces fonction la relation (1). Il vient, d’après cela.

êz

dxi

düi

9ai

dxi

9xn

Ba„-i

9an-i

9(Jn—]

9xj

9xn

ou, en développant le déterminant de degré n, qui forme le premier membre de cette équation, suivant les déterminants partiels de degré n — 1 , qui ne renferment pas les éléments de la première ligne horizontale,

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. U, S- 7. 21

les coefficients R^y Rn-\ étant les déterminants de degré

n — 1 formés avec les éléments du déterminant (2), en supprimant constamment la première ligne horizontale, et successivement la 1^®, la 2®, , la ligne verticale, de sorte que

fîflj 8oi dcii 8(ii

da:n da:i—i

don—l don—l don—l Sfln— 1

da^i^i " * ’ dû^n dxi * * ’ *

L’équation (3) est de forme linéaire par rapport aux dérivées

partielles g— 5...» ®11® de terme qui ne contienne

aucune dérivée partielle, et ses coefficients ne contiennent pas la fonction z.

15. Prenons maintenant la seconde forme de l’intégrale générale (§. 6.),

dn—l, On— l)J ~ 0,

par laquelle l’inconnue z est déterminée comme fonction implicite des variables indépendantes. Ici q> désigne une fonction donnée, n une fonction arbitraire, et les fonctions données Uj,...., «n— i contiennent, outre les variables indépendantes, la fonction z ellemême.

Considérons le cas particulier où Oi,...., On-i n’entrent pas directement dans ç), mais seulement par la fonction n; alors l’équation précédente est de la forme

x„y z, 7t(aiy....y On-i)] = 0;

en résolvant cette équation par rapport à tt, il vient

7t (flj ,...., Qji — i) = JJ »••••> ^n> 2),

X désignant une fonction connue. Si l’on pose, pour Tuniformité, 5j=an, et qu’on profite de ce que la fonction n est arbitraire, on peut remplacer la relation précédente par celle-ci qui lui est équivalente,

(4) 0.2,...., «n-l, Un) = 0.

Voyons de quelle forme est l’équation aux dérivées partielles

Imschenetsky : Sur l'intégration des équations

de la fonction z qui correspond à la forme d’intégrale (4). Pour ramener ce cas au précédent, prenons d’abord l’équation

(5) y = 7r(fir, a„) ;

en vertu de cette relation entre les fonctions y, «i,...., ««, il s’ensuit que leur déterminant fonctionnel est nul, c’est-à-dire que l’on a

Sy Sy

dxi

dai

8ai

doi

dxi

dan

dajj

BTj

étant un déterminant de degré n, formé d’une manière analogue aux Ri de l’art, précédent.

Mais si, entre les fonctions «j,...., (4), alors on a

fln, on établit la relation

et Z peut être considéré comme une fonction de a:],...., Xn> En différentiant dans cette hypothèse la dernière équation par rapport à chacune des variables indépendantes, nous obtenons les n équations

dxi + "êz

au moyen desquelles l’équation (7) se change dans la suivante

Cette dernière équation est encore linéaire par rapport aux dérivées partielles de la fonction i; mais elle est d’une forme plus générale que l’équation (3), puisqu’elle a un terme qui ne

renferme pas les dérivées partielles de z, et que la fonction z elle -même entre dans les coefficients avec les variables indépendantes.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. //, S. 7. 23

16. Ainsi se trouve établie la forme la plus générale d’une relation primitive entre les variables indépendantes et une fonction de ces variables, conduisant à une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles. Cette équation linéaire peut être, par conséquent, de l’une des deux formes générales (3) ou (8); mais l’analyse précédente fait voir que de l’équation (8) on peut remonter à l’équation (7), qui est de la même forme que (3), si ce n’est qu’elle contient une variable indépendante de plus. L’équation (6), équivalente à (7), est vérifiée identiquement, si l’on substitue à la fonction y une quelconque des fonctions a^,..., an, puisque le déterminant qui forme le premier membre de cette équation a dans ce cas deux de ses lignes horizontales identiques entre elles. Par suite, «i,...., an sont n solutions ou intégrales particulières de l’équation (7), et l’expression la plus générale de la fonction y 6st, comme l’indique la formule (5)^ une fonction arbitraire de ces intégrales particulières. Enfin, cette fonction arbitraire, étant égalée à zéro (ou à une constante arbitraire, ce qui n’augmente en rien la généralité), donne, comme le montre la formule (4), l’intégrale générale de l’équation (8).

D’après cela, on peut déjà prévoir la marche générale de l’intégration d’une équation linéaire de la forme (8), lorsque les coefficients /2(*) sont des fonctions données quelconques de arj,.., Xn, 2. On la ramènera à la forme (7), puis on déterminera n fonctions indépendantes vérifiant cette équation (7). Alors, en égalant à zéro une fonction arbitraire de ces n fonctions, on aura l’intégrale générale de l’équation considérée.

Cette prévision est pleinement confirmée par la théorie exposée dans les deux paragraphes suivants.

17. Lagrange, après avoir établi une première théorie de l’intégration des équations linéaires, l’a présentée finalement sous la forme suivante.

Prenons une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles, de la forme générale

dXq

dans laquelle A, Ai,..,., An désignent des fonctions données de Xi,.,.., Xn et de i.

Imsche îietsky : Sur V intégration des équations

Représentons son intégrale par l’équation

(10) ocn, 2) = 0,

au moyen de laquelle on pourra déterminer z en fonction de Xn. En la différentiant dans cette hypothèse par rapport à chacune des variables indépendantes, nous aurons les n égalités

Zy dz dy

dz dxt dxi ’

Par conséquent, en multipliant l’équation donnée par ^ , et transportant tous les termes dans le second membre, on obtient l’égalité

Bxi

Bxn

D’autre part, en considérant z comme une fonction déterminée par l’équation (10), et prenant la différentielle complète de y dans cette supposition, nous aurons identiquement

dy =: 0.

BXn

dXn ÿ

donc, en substituant ici la valeur d’une des dérivées partielles de By

y, de ^ par exemple, tirée de l’égalité (11), il viendra

dy = +. . . + dz)^^.

Cette expression montre que dy deviendra identiquement nul, si entre les variables x,...,, 2 on établit des relations satisfai-

sant aux équations

(12) dxi—^ dz:=:d, . . . dxn — ^dz = 0.

Mais pour les n équations simultanées aux différentielles ordinaires (12) du premier ordre entre ïi-fl variables, on peut déterminer n intégrales distinctes, renfermant n constantes arbitraires

On. Supposons que ces intégrales, résolues par rapport

aux constantes arbitraires, soient

(13) (pi{Xi,.., Xn, 2) = ai, Xn, z)=a.^,.,, g>n(a:i,..,.z'n, t) = an-

aux dérivées 'partielles du premier ordre. Ch. //, ^ . 8. 25

Au moyen de ces n équations, représentant les intégrales des équations (12), on peut aussi exprimer n des variables oti, . . , Xny Z en fonctions de la variable restante et des constantes arbitraires. En substituant ces expressions dans la fonction y {x^, • * yXn, i)., la variable restante, en fonctions de laquelle sont exprimées toutes les autres, devra disparaître d’elle -même, puisque dy doit être nul. Par conséquent, après la substitution, y ne contiendra plus que les constantes arbitraires a^, . . . . , On-

De là il s’ensuit évidemment que la forme la plus générale que puisse avoir la fonction y pour satisfaire à la condition précédente, est la forme

<3Pn),

TC désignant une fonction complètement arbitraire, et tpn q)n étant les fonctions qui forment les premiers membres des équations (13). En effet, si l’on résout les équations (13) par rapport à n quelconques des quantités Xi,..,., Xn, i, et que l’on substitue de nouveau les valeurs obtenues dans les équations d’où elles ont été tirées, celles-ci devront se réduire à des identités, rpi se changeant en Oi, q)^ en «a» Par suite, l’intégrale géné-

rale de l’équation (9) est

C’est à peu près sous cette forme que la théorie des équations linéaires a été exposée dans la Leçon XX du Calcul des Fonctions (édition de 1806). Lagrange, après avoir développé cette théorie pour le cas de deux et de trois variables indépendantes, ajoute: „L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des Fonctions (n°. 101); c’est ce qui m’a engagé à la mettre ici, d’autant qu’elle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les Mémoires de Berlin de 1779, je m’étais contenté de prouver, a posteriori, la légitimité et la généralité de la méthode. “

18. D’après la théorie de Lagrange, l’intégration de l’équation linéaire aux dérivées partielles (9) se ramène à l’intégration du système d’équations simultanées aux différentielles ordinaires (12). Mais, comme la fait voir Jacobi (Journal de Crelle, T. H), les solutions de ces deux questions sont liées par une dépendance mutuelle. La démonstration de cette proposition

Imschenetsky: Sur V intégration des équations

complète et éclaircit la théorie de Lagrange, et nous fournit en même temps l’occasion de présenter une esquisse générale de la théorie de l’intégration des équations simultanées de la forme (12).

Les équations (12) peuvent s’écrire sous forme de proportions,

dz __ dxi dxn

^ ^ "“ ** An*

lesquelles sont l’expression de ce problème: Etablir entre les variables Z, Xn des relations telles, que les différentielles de

ces variables soient proportionnelles aux fonctions données A, A^y,,, An- En prenant une des variables, z par exemple, pour variable indépendante, on peut considérer toutes les. autres x^y,,.., Xn comme des fonctions de z, et les équations précédentes, écrites sous la forme

dxi ^ dxn An