ST'-'Z*'**-, “"Z

donneront les expressions des dérivées premières de ces fonctions au moyen de z, x^y..,, Xn- H est facile d’en déduire des expressions semblables pour les dérivées d’ordres plus élevés de ces mêmes fonctions. Pour cela, en différentiant, par exemple, l’équation

dxj ^ Ai dz A

plusieurs fois consécutivement par rapport à z, considéré comme la variable indépendante, dont sont des fonctions, et, à

mesure que ^^s’introduisent dans les seconds membres,

les remplaçant par leurs valeurs respectives J *••• •’ tiendra les expressions demandées, qui seront de la forme

dxi

d^Xi

dz^

^ (2, Xly.-..y X„)y

'^2 (h Xiy....y Xn),

'tfjn (Zy X\y-,..y Xf^ y

On trouvera de cette manière les expressions des dérivées d’ordres supérieurs de toutes les fonctions Xn-

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. Il, 9, 27

Supposons maintenant qu’à une valeur particulière donnée z® de la variable indépendante z correspondent des valeurs x^,..., XfP, choisies arbitrairement pour les fonctions Xi, x„. On pourra développer alors chacune des fonctions Xi,.., Xn en série infinie par la formule de Taylor. On aura de cette manière

-f-i/zaCz® a:, O,...., Xn^) --f 2

Ainsi se trouve démontrée l’existence des n fonctions cherchées, remplissant les conditions voulues, et nous voyons en même temps que toutes ces expressions renferment les mêmes constantes arbitraires Xi^,,.., x„^. Pour ce qui est de la quantité 2% elle doit être considérée comme une constante donnée, par exemple comme un nombre donné. Remarquons encore que, au lieu des con< stantes arbitraires Xt^,.,,, Xn^, on peut en introduire d’autres, liées avec les premières par des relations arbitraires, pourvu que les nouvelles constantes arbitraires puissent être déterminées de telle manière que, pour une valeur donnée quelconque de 2, les fonctions Xi,,., x„ puissent prendre des valeurs choisies à volonté.

19. Pour déterminer les expressions finies des n fonctions cherchées Xi,..., Xm il faut, en général, trouver n équations, nommées intégrales, entre ces fonctions, la variable indépendante 2, et n constantes arbitraires. Ce problème peut être résolu dans certains cas, sans élever l’ordre différentiel des équations (12), et le succès dépend finalement de la forme des fonctions données A, Ai,,.., An>

Il existe encore un autre procédé: l’élimination de n — 1 des fonctions inconnues, et la réduction du problème à l’intégration d’une seule équation différentielle ordinaire du ordre. Pour

cela, prenons, par exemple les n premières équations (14), et éliminons entre elles les n — 1 quantités Xi,..., Xi-\, xi^i,..., Xn^ Nous obtiendrons de cette manière une seule équation entre 2, la fonction Xi de 2 et les dérivées de cette fonction jusqu’au ordre, et cette équation sera de la forme

Xi,

dxi dz *

-îi)-0

Une équation de l’ordre n entre deux variables a, comme on sait, n intégrales premières, qui se présentent sous la forme d’équations différentielles de l’ordre n — 1, renfermant chacune une con-

Imschenetsky: Sur LHnlégralion des équations

stante arbitraire. En résolvant ces équations par rapport aux constantes arbitraires Ci,.., Cn, nous aurons n équations de la forme

On peut obtenir un système d’équations équivalent à celui-ci, en trouvant l’intégrale complète de l’équation différentielle du fiième ordre, laquelle renferme n constantes arbitraires, en la différentiant n — 1 fois, et tirant des n équations ainsi obtenues les valeurs des constantes.

20. En substituant dans les équations (15) les valeurs (14) des dérivées de la fonction Xit nous obtiendrons les n relations cherchées entre z, Xi,,,.,, Xn» ou les intégrales des équations (12), lesquelles peuvent s’écrire ainsi,

(16) Ç)j(2, Xi,,,., ar„) = Ci,..., q>n(z, a:«) = c„.

Les équations (16), devant être les intégrales des équations (12), jouiront de cette propriété, que si, au moyen de ces mêmes équations et des autres, on en déduit des relations entre les variables z, arj,..., Xn ne renfermant point de constantes arbitraires, ces relations devront être des identités. Dans le cas contraire, en effet, nous ne pourrions plus, pour une valeur donnée de z, choisir à volonté les valeurs correspondantes de Xi,.., Xn-

Remarquons encore que les premiers membres des équations (16) représentent n fonctions qui restent constantes pour les variations simultanées de z, Xi»..., Xn‘ Par conséquent, leurs différentielles sont égales à zéro.

fi(z,xu

^ f dxx d® ^Xi ^

/ n [Zy Xi y — ^ , . . . , ) = Cn*

D’après cela, on a

dq)i = 0,

dcpi ^

dz * dxi dz

dXn dz

dx\ dxfi

En mettant pour leurs valeurs tirées des équations

(12), et multipliant le résultat par Ay il vient

aux dériPées partielles du premier ordre.

Ch. a, s. 9. 29

équation qui représente une relation entre z,Xi,.,.,Xny et qui ne contient aucune constante arbitraire. Donc, d’après la remarque précédente, cette équation doit être identique.

Par conséquent, les fonctions qui forment les premiers membres des équations (16) satisfont à l’équation aux dérivées partielles

(II

ay , . ay

A^ + A, 5^ + — + An — 0,

dxi

que nous avions dans le paragraphe précédent. Il y a plus: une fonction arbitraire d’une, de plusieurs ou de la totalité de ces fonctions satisfera pareillement à l’équation (11). En effet, si l’on convient, pour abréger, de représenter par A(y) le premier meml)re de l'équation (U), nous aurons identiquement

^(9>i) = 0»...., A^(pn) = 0*

En prenant une fonction 7t des fonctions (pi,,

(pn, il vient

dn dq)i •

bq)i di 02 *

dn dn dqpi dn 8(pn

dxi dçi dxi + * * * * + Sg)n bxi *

Multiplions la seconde de ces équations par Ai, et ajoutons la somme des expressions analogues pour ^ = 1, 2,...., n, à la première équation multipliée par A; il viendra

Or le second membre de cette égalité est identiquement nul; il en est donc de même du premier.

Enfin, la supposition de y = 0 permet de considérer z ou l’nne des quantités a:,,..., Xm par exemple Xi, comme une fonction de toutes les autres variables; dans ce cas, l’équation (11) se ramène à l’une des suivantes,

âlT + + ^n— = A,

^dl~„

^ 8i + • ■ • + 8xi.i + ^'■+'0ï;r, +

Ai,

Imschenetsky: Sur ^intégration des équations

et l’équation

sera l’intégrale complète de ces équations aux dérivées partielles.

Ces conclusions sont complètement conformes à la théorie de Lagrange, et, en les prenant pour bases, on pourra considérer la méthode d’intégration des équations linéaires aux dérivées partielles comme une simple addition aux propriétés démontrées plus haut, des intégrales des équations simultanées de la forme (12).

21. Pour achever de mettre en lumière la liaison intime et la dépendance réciproque des deux problèmes de l’intégration de l’équation (II) et de celle des équations (12), démontrons encore le théorème suivant:

Toute fonction ip des variables z, æti,...., Xn, satisfaisant à l’équation linéaire aux dérivées partielles (11), conserve une valeiiH* constante, lorsqu’on tait varier simultanément la quantité z et les quantités Xn, considérées comme des fonctions de z déterminées par les équations (12); et par conséquent

'ip = const.

est une des intégrales du système d’équations simultanées (12).

En effet, en prenant la différentielle de dans l’hypothèse de arj,..., Xn fonctions de z, on a

+ dxi

dxi

dXn

dz\

or, en vertu des équations (12),

dx^ dXn ^

donc

d^==AW-2-

D’après les conditions du théorème, est identiquement égal

à zéro. Partant,

dip — 0, d’où ip = const. ;

ce qu’il fallait démontrer.

aux dérivées partielles du premier ordre. Ch. //, S. 9. 31

De là résulte: 1®. Qu’ayant déterminé d’une manière quelconque n fonctions distinctes ou indépendantes entre elles 9)1,..., 9)„, satisfaisant à l’équatibns (11), nous aurons un système complet d’intégrales des équations (12), sous la forme

<p, = const = Cl , 9>2 = const. = C2, . . . , 9>n = const. Cn;

2^. Que, connaissant un système d’intégrales des équations (12), tel que le précédent, on peut former un nombre inflni d’autres systèmes, de la forme

(<Pi>***» 9«) = const. = c(^),

% (g?!,..., g?n) = const. = cW,

TPn (g?l, • ••5 9>n) = const. = c(”).

11 est clair que ce passage d’un système d’intégrales à un autre revient à remplacer les constantes arbitraires prinntives par de nouvelles constantes, liées avec elles par des relations choisies arbitrairement,

7ri(Ci,..., Cn) = c(^),..., 7r«(Ci,..., Cn) = c(”).

22. Parmi les différents systèmes d’intégrales des équations (12), celui qui, dans beaucoup de cas, mérite la préférence est le système dans lequel entrent, comme constantes arbitraires, des valeurs arbitraires a?!®,.., XiP des fonctions Xi,.., Xn, correspondantes à une valeur quelconque 2^ de la variable indépendante 2. Il est facile de déduire ce système d’intégrales d’un autre système donné quelconque, par exemple, du système (16). En supposant que, pour 2=2^, on ait, pour valeurs correspondantes, Xi=iXi^,,,., Xn=Xn^, nous aurons, entre les anciennes constantes et les nouvelles, les relations ^

(pl (2^, • . . , X'nP') — C] , . . . , (pn (2^, Xi^f • • • , Xfi^^ ~ Cn ,

ou, en résolvant ces équations par rapport à Xj

= C„),..., .r„0 = T//„(Ci,..., Cn).

Si l’on substitue ici les valeurs de Ci,..,Cn, tirées des équations (16), nous aurons le système demandé d’intégrales, sous la forme

g), (2. a:,,..., x„) = (pt ^1®,..., -Tn^),

(JPn (2, Xj,..., Xn) = fpn (x^ , Xn^),

32 Imschenetsky: Sur Vintègration des équations

ou encore sous celle-ci

9>»i) = <pn) = a:n^*