Chapitre I

Théorie des intégrales des équations aux dérivées partielles.

1. Les procédés d’intégration de chaque classe d’équations différentielles sont fondés sur la manière dont nous nous représentons, |d’une part, la forme et la composition de leurs intégrales, et d’autre part, la marche et les diverses circonstances caractéristiques de la (1 formation des équations différentielles considérées au moyen de leurs intégrales. En effet, la méthode pour intégrer une équation différentielle doit consister en général à parcourir en sens inverse le chemin ‘ qui, d’après la supposition qu’on a faite sur la forme de l’intégrale, (2 a dû conduire à cette équation différentielle. Quoique cette marche ^ inverse soit généralement beaucoup plus difficile que la marche directe, elle est cependant facilitée par la connaissance des particularités de celle-ci et de son but final. En nous guidant sur cette ana- Iti logie, nous commencerons, avant d’exposer les méthodes d’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, par donner la ■ ^ théorie de leurs intégrales. !

2. Malgré notre désir d’éviter l’introduction de notations quiue i|i( seraient pas consacrées par l’usage ordinaire, nous serons contraints m quelquefois de nous départir de cette règle , et dès maintenant nous fe

établirons une convention, qui n’offrira d’ailleurs aucune difficulté, tle

Si nous représentons, par exemple, par la lettre u une fonction, expli- üa cite ou implicite, des 'deux variables x, y, nous désignerons par | ttû) la dérivée partielle de cette fonction , obtenue en la différentiant,

dans un ordre quelconque, i fois par rapport à x, et Je fois par rap- la

port k y\ en sorte que les indices de différentiations par rapport - lem

à 03 et à 2/ seront toujours écrits à droite de la lettre u, le premier en haut, le second en bas. Quand, à la place des variables x, ?/, iU nous arrivera d’introduire, en vertu d’une relation quelconque entre j P X, y et a, les nouvelles variables indépendantes a;, or, ou encore, [ d’introduire, en vertu de deux relations distinctes entre a:, a, j3, < L les nouvelles variables indépendantes a, §• nous emploierons alors,. j J dans ces deux cas, pour désigner les dérivées partielles de la fonc-l tion les notations habituelles

dx^da}’

Ch. L § 1.

Il est à peine besoin d’ajouter que, dans ces hypothèses différentes, relatives aux variables indépendantes, on ne devra pas considérer comme égales des dérivées partielles telles que

u^) et

da^

et

3. En appliquant la convention précédente, et désignant par 2 une fonction des deux variables indépendantes cc et et par F une expression composée d’une manière connue au moyen des quantités qui entrent s-ous ce signe, nous pourrons représenter les équations aux dérivées partielles, du second ordre sous la forme générale

et pareillement, l’équation générale aux dérivées partielles de l’ordre m sera représentée par

(2) F (ce, y, z \ a/, 2!^^, . . . , ^ ^ 2,^) Q.

Pour obtenir des résultats aussi généraux que possible et indépendants de l’ordre de l’équation, étudions les propriétés caractéristiques des intégrales de l’équation (2) d’ordre quelconque m.

L’équation (2) peut être considérée comme une condition donnée pour la détermination de la fonction inconnue s; et comme, en dehors de cette condition, nous ne connaissons aucune autre condition complémentaire, la fonction « sera déterminée par cette condition de la manière la plus générale, si elle satisfait à cette condition et à toutes les conséquences qui en découlent immédiatement. Les conséquences de l’équation (2) sont en nombre infini, et s’obtiennent en différentiant cette équation autant de fois qu’on voudra par rapport à x et à y. D’ailleurs, la variable 2; doit être déterminée en fonction de a: et de?/; par conséquent, la solution cherchée devra se présenter sous la forme d’une équation entre £c, ?/, s, ou d’un système d’équations entre ces quantités, et d’autres variables, équations qui finalement se réduisent à une seule équation entre y ^ En partant de ces considérations, on pourra définir comme il suit la solution ou l’inté- I grale la plus générale de l’équation (2).

4. On appelle intégrale générale d’une équation aux dérivées partielles, de l’ordre m une équation ou un système d’équations entre les variables du problème x^ ?/, 2;, jouissant de la propriété suivante: que si, d’une part, on prend les équations intégrales et toutes leurs dérivées par rapport à x et à y, jusqu’à rordî*o n inclusivement, n étant un nombre arbitrage, non moindre que m\ et si, d’autre part, on prend l’équation donnée (2) et toutes ses dérivées

Ch. 1. § 2.

par rapport à æ et à jusqu’à l’ordre n — m inclusivement; le pre-^ mier système devra établir, entre les variables », y y la fonction z de ces variables, et les dérivées de cette fonction jusqu’à l’ordre ?^, les mêmes relations, et celles-là seulement, qui sont exprimées par le second système d’équations.

[lie

Si, tout en remplissant les conditions dont nous venons de parler, le premier système d’équations donne, outre cela, entre les variables Xy y y Z et les dérivées de s, des relations non renfermées dans le second système d’équations, alors l’integrale sera ou particulière ou singulière. Une intégrale particulière se tire, comme cas particulier, de l’intégrale générale, et par une généralisation convenable on peut en déduire l’intégrale générale. Une intégrale singulière ne jouit pas de ces propriétés.

Les intégrales dont il s’agit sont supposées ne pas contenir de i

'iûti

sasi

dérivées de la fonction on peut, d’après cela, les appeler des intégrales primitives. Si dans une intégrale il entre des dérivées de 2;, on pourra toujours reconnaître si elle est générale, au moyen de la règle précédente, convenablement modifiée. Qu’une telle intégrale soit, ou non, générale, on pourra, dans tous les cas, lui donner le nom d’intégrale intermédiaire, puisqu’elle peut être considérée comme une équation différentielle par l’intégration de laquelle on peut obtenir l’intégrale primitive.

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mit

5. Eclaircissons par des exemples simples les définitions données plus haut et les propriétés des équations aux dérivées partielles. Soit l’équation du second ordre

m étant une constante donnée. Son intégrale générale peut être représentée par le système des équations

(4) 2! = (p((x)-j-7lj(l3), a = jS = x—yVm,

ou, en éliminant cc et /?, par l’équation unique .

cp et 1]} désignant des fonctions entièrement arbitraires.

En effet, la valeur précédente de z satisfait à l’équation donnée ' et à toutes les équations de la forme

Ch. 1. § 2.

que Ton obtient en différentiant l’équation donnée ^ fois par rapport ,à a?, et h fois par rapport à y. Et comme l’équation (5) ne fournit aucune autre relation entre les dérivées de z .que celles qui sont exprimées par les équations (6), il s’ensuit de là qu’elle représente l’intégrale générale de l’équation (3).

6. Prenons maintenant cette autre expression Z = a-\-bx-\~ cy gxy-\~mliy^^

\ 5, c, h, g désignant des constantes arbitraires. Il est aisé de s’assurer qu’elle satisfait aussi à l’équation donnée (3) et à toutes ses conséquences (6); mais, outre cela^ l’expression (7) donne encore d’autres relations entre les dérivées de ; et en effet, toutes ces dérivées , à partir du troisième ordre, sont égales entre elles, puisqu’elles se réduisent à zéro. Par conséquent, l’équation (7) ne représente [qu’une intégrale particulière de l’équation (3). Cette intégrale particulière est remarquable en ce qu’elle renferme précisément autant de constantes arbitraires qu’il existe de dérivées de 2; depuis le premier ordre jusqu’à l’ordre de l’équation donnée, c’est-à-dire cinq. Par suite, si l’on prend l’équation intégrale et toutes ses dérivées jusqu’au second ordre inclusivement, on aura précisément autant d’équations I qu’il en faut pour éliminer toutes les constantes. D’après cette propriété, une telle intégrale particulière a reçu de Lagrange le nom d’intégrale complète. Il est évident que l’intégrale complète d’une équation du ordre doit contenir ^(m-f-l)(m-|-2) — 1 con-

stantes arbitraires.

7. Une intégrale particulière, comme l’indique son nom, doit pouvoir se tirer, comme cas particulier, de l’intégrale générale. Pour le vérifier sur l’exemple précédent, introduisons, dans l’équation (7), « et /3 à la place de £c et de y, au moyen des deux dernières équations du système (4). Il viendra

et cette équation se déduira de l’équation (ft) en donnant ^ux fonctions arbitraires les valeurs particulières

Ch. 1. § 2.

8. Mais la relation réciproque entre les intégrales (3) et (7), en vertu de laquelle on peut, de l’intégrale particulière, dite complète, tirer par une généralisation convenable, l’intégrale générale, est encore plus importante. Lagrange (*) a fondé cette transformation sur la variation des constantes arbitraires. Sa méthode peut s’exposer sous une forme générale, de la manière suivante.

Soit

une intégrale complète de l’équation (1), V renfermant «/, a et cinq constantes arbitraires 5, c, h. Tirons de là les équations

Ensuite, pour passer à l’intégrale générale, supposons que I a, à, c, h représentent des fonctions de £c, ?/, is, qui doivent être I déterminées de manière que les différentielles totales des expressions I V, P, Q conservent identiquement la même forme jqu’elles avaient, fi lorsque a, è, c, g, h représentaient des grandeurs constantes. Pour cela, il suffira d’égaler à zéro les différentielles de Y, P, Q, prises en .t faisant varier «, è, c, à, ce qui fournira trois équations m

linéaires et homogènes par rapport à da^ dh^ dc^ dg^ dh. Entre ces I équations éliminons deux quelconques des cinq différentielles, et, dans fl le résultat de l’élimination, égalons à zéro les coefficients des trois S différentielles restantes; nous aurons ainsi trois équations pour déter- I miner les cinq quantités et, è, c, h. D’après cela, deux des cinq fl quantités considérées resteront indéterminées, et nous pourrons les 1, représenter par des fonctions arbitraires des trois autres; toutefois, A en cela, nous devrons procéder de telle sorte, que finalement les va- ■ leurs des cinq quantités a, c, g^ h s’expriment toutes en fonction 3 de £c, Z. Il suffira ensuite de combiner les expressions trouvées » avec l’équation V = 0, pour avoir l’intégrale générale. 3

(*) Sur les intégrales particulières des équations différcnticllcs. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, 1774, p. 266. — Oeuvres, ton^c IV. p. 98.

Ch. L § 2. 9

9. Pour appliquer cette méthode à Texemple considéré, remarquons que Ton a

V — — z-\-aA^hx-\-Gy-\~hx^-\-gxy-\-mhy^y s' P =

= Q = c-f- gx-\-^mhy.

Par suite, en égalant à zéro les différentielles de Y, P, Q relatives à la variation de », è, A, on trouve, pour déterminer ces dernières quantités, les trois équations

da-\~xdb^ydo-\-x^dh-\-xydg-\-my^dh — O,

db-\-2xdh-\-ydg == O,

dc-\-xdg-\-27roydh — 0.

Les deux dernières équations peuvent être remplacées par deux autres, qui leur sont équivalentes. Pour cela, multiplions la première par un facteur indéterminé ft, et l’ajoutons ensuite à la seconde; il viendra

g>db-\~dc-\-x{2g,dh-\-dg)-\-~'g,y{^-^dh-\-d^ ~ 0.

On peut déterminer p. de manière que l’on ait p = d’où l’on

tire les deux valeurs p. = +l/m. D’après cela, au lieu des deux dernières équations du système précédent, on pourra prendre ces deux- ci;

dc-^'\^ m:db-^{x-\-'^m.y){dg-\-2'\^m.d1i) — 0,

de — m.db-\~{x — '^m,.y){dg — 2'^m.dh) — 0.

Dans la première de ces équations, il n’entt'e que les différentielles des variables

et dans la seconde, il n’entre que les différentielles des variables

et rien n’empêche de supposer la première do ces variables égale à une fonction arbitraire de la seconde, et la troisième égale à une fonction arbitraire de la quatrième. En désignant donc par w et tt

Ch. 1. § 2.

des fonctions arbitraires, et par w', îc' leurs dérivées par rapport à leurs arguments respectifs, on aura

d’où

dG-\-'^ m.dh — .{dg-\-2~^ m.dh)^

de — '^m.dh = 7t\g — 2ymM).{dg — -'2'^m.dli).

Par suite, les équations précédentes prennent la forme

w'(5r-t-2l/m.A) + (iC+l/m.^) = 0,

Comme w', te' sont des fonctions arbitraires, si l’on désigne par ü, U deux autres fonctions arbitraires, on aura, d’après ces équations,

5r-j-2ym.A == ^i(aî+|l/m.2/),

g — 2Vm./^ = II{x —

OU, en posant x-{-^m,y = a, x — = j3,!

et en même temps les équations différentielles précédentes prennent la forme

dcA^"^ m . dh — —

de — '^m.dh — — ^.dll(§).

Au moyen des quatre dernières équations on trouvera les valeurs suivantes de quatre des quantités cherchées,

fa.dSl(a)+fp.cin(P) . fa.dSlict) — r^.dn(P)

En substituant ces valeurs et les expressions

Ch. L § 2.

Ci — /3

I2ym

dans la première des équations de condition, il vient, [toutes réductions faites,

a\dSl(a) — p^dn(P) dVm

da =

et, en intégrant, on trouve, pour la valeur de la dernière inconnue, fa\dSl{a)—fi^\dn{^)

10. L’ensemble de l’équation (7) et de celles qui représentent les valeurs de a, 5, c, g, à, a?, y constitue déjà l’intégrale générale. Mais, si l’on veut représenter celle-ci par une seule équation, il faut alors substituer dans l’équation (7) les valeurs de a, ô, c, h, æ, y. On trouve de cette manière, après réduction, ^

fa^.dSl{ci) — 2c'fci.d i2(o!)-f-a2^(o!)

__ fpi d niP) - 2/3/i3 . dn(P) + /3^n(/3)

dVm “

Mais cette expression de s se simplifie encore au moyen de l’intégration par parties, et prend la forme suivante,

fdafSl{a)dci — fd^fn{^)d^

2ym

Enfin, on peut, si l’on veut, en profitant de ce que les fonctions n sont arbitraires, poser

qj et désignant des fonctions arbitraires; par suite de cela, l’intégrale générale prendra la forme

Z — q>(«)-|-'i/^(/3). Ci — x-\-y m,y^ ^ — x — ^ m.y^

sous laquelle elle a été donnée plus haut.

11. La méthode de la variatiou des constantes arbitraires, pour la classe d’équations que nous considérons, n’a pas moins d’importance que pour les autres cas, où elle a servi à trouver des procédés généraux d’intégration. Mais son inventeur, Lagrange, n’ayant pas

Ch. 1. § 2. ^

découvert la forme la plus commode pour l’application de cette mé- ^ thode dans le cas considéré, ne l’a pas appréciée à sa juste valeur (*). < Ampère a fait de cette méthode une application beaucoup plus heureuse, comme nous le ferons voir à la fin du présent Mémoire, ■ où nous proposerons une généralisation encore plus grande de ces ' procédés, et où nous donnerons des formules en vertu desquelles la méthode de la variation des constantes arbitraires se présentera comme ; le plus général des moyens d’intégration pour la classe d’équations considérée.

12. Examinons maintenant comment la méthode de Lagrange s’applique aux intégrales intermédiaires des équations aux dérivées partielles. Représentons par .

une intégrale de l’équation aux dérivées partielles du ordre

Si elle contient des dérivées de s; de l’ordre h m, nous l’appellerons une intégrale intermédiaire de l’ordre k. L’équation Y = 0, avec toutes ses dérivées par rapport à a; et à 3/, jusqu’à l’ordre m — k^ forme un système d’équations, dont le nombre est égal à — k){m — ^+1). Par suite, si l’intégrale V = 0 est particulière, alors le plus grand nombre de constantes arbitraires qu’elle puisse contenir, pour que, par leur élimination du système en question, on obtienne l’équation donnée F = 0, sera — k){m — k+l)-l. A cette condition, l’intégrale intermédiaire est dite complète.

13. D’après cela, les intégrales intermédiaires d’une équation aux dérivées partielles du second ordre ne peuvent être que du premier ordre, et une intégrale complète W == 0 d’une telle équation doit renfermer deux constantes arbitraires, soit a et b. Pour passer de cette intégrale complète à l’intégrale générale du premier ordre, il faut considérer a et b comme des fonctions de x, y, s, z\ déterminées de façon que la différentielle complète de W conserve encore, dans cette hypothèse, une forme identique à celle qu’elle avait, lorsque a et b étaient des constantes. En égalant à zéro la

(*) „Au reste, on voit par cet exemple, qui est d’ailleurs un des plus simples, que la méthode dont il s’agit, quoique directe et générale, est en quelque façon plus curieuse qu’utile, à, cause des difficultés qui peuvent se rencontrer dans l’intégration des équations de condition.“ (Lagrange, Mémoire cité plus haut, p. 269. — Oeuvres, tome IV, p. 101.).

Ch. L § 2.

différentielle de W, prise en ayant égard à la variation de a et de nous aurons pour unique équation de condition

da -|—

équation qui doit servir à déterminer les fonctions a et h. Comme il n’y entre que les différentielles des deux seules variables a et on pourra prendre pour la seconde de ces quantités une fonction arbitraire de la première, en posant h = (p(a). En conséquence, réquation de condition précédente prendra la forme

et, jointe aux équations

elle représentera l’intégrale générale de l’équation donnée.

Ainsi, par exemple, l’intégrale complète du premier ordre de l’équation (3) est

En la généralisant, on posera

m.y)db = 0, b = (p(a)j

d’ob

ou

cp'ia) =

Par suite, a est une fonction arbitraire de x-\~l/m.y\ mais h est une fonction arbitraire de a et aussi, par conséquent, de

donc a-{-h{x-\-^m,.y) est également une fonction arbitraire de z-{-'^in.y. Ainsi l’intégrale générale du premier ordre de l’équation (1) sera

en désignant par co une fonction arbitraire. Au moyen de cette i]»tégralc, il est maintenant facile d’obtenir rintégrale générale primitiv(\

14. On voit par là que l’application de la méthode de Lagrange aux intégrales complètes intermédiair(\s des équations du second ordre'

Ch. I. § 2.

est considérablement simplifiée par cette circonstance, que, pour la détermination des fonctions a et è, on n’a qu’une seule équation de condition. H peut sembler, d’après cela, que, au lieu d’appliquer cette méthode immédiatement à l’intégrale complète primitive, il serait beaucoup plus simple de déduire de celle-ci une intégrale complète du premier ordre, et d’appliquer ensuite à cette dernière la méthode de la variation des constantes arbitraires. Cependant, en suivant cette voie, il se présente une difficulté: l’intégrale complète primitive renferme cinq constantes arbitraires, et, jointe à ses deux dérivées du premier ordre, donne en tout trois équations, entre lesquelles il est, en général, impossible d’éliminer trois constantes, pour obtenir une intégrale complète du premier ordre, laquelle ne doit contenir que deux constantes.

Ainsi il s’ensuit de là qu’une intégrale complète d’une équation aux dérivées partielles n’entraîne pas, à la façon d’une intégrale complète d’une équation différentielle ordinaire, comme conséquence' algébrique nécessaire, l’existence des intégrales complètes intermédiaires. Une circonstance plus digne encore de remarque, c’est que, parmi les équations aux dérivées partielles, il s’en trouve qui n’admettent pas du tout d’intégrales intermédiaires. Pour confirmer cette remarque, il nous suffira de la vérifier sur un exemple simple.