Soit donnée l’équation

Supposons qu’à cette équation corresponde une intégrale du premier ordre que nous pourrons, sans restreindre la généralité, ^Représenter sous la forme

D’après cela, l’équation donnée pourra être considérée comme une conséquence algébrique de la dernière équation et de ses deux équations dérivées

I aJL

dz.

et par suite, dans ce système, on pourra remplacer l’une ou l’autre des équations (b), (c) par l’équation proposée. Mais, si l’on tirait des équations Cb), (c) les valeurs de deux des quantités z'\ z/, z^p et qu’on substituât de nouveau ces valeurs dans ces mêmes équations,

Ch. 1. § 2.

on obtiendrait évidemment des identités. Par suite, on obtiendra, absolument de la même manière, une identité comme résultat de la substitution de ces valeurs dans l’équation donnée.

En mettant, dans l’équation donnée, pour z/ sa valeur tirée de l’équation (b), il vient

En vertu de ce qui précède, cette équation doit être identique, du moment que l’équation donnée admet une intégrale du premier ordre. Dans l’identité supposée, le terme en z^^ ne peut se réduire avec aucun autre; donc on a

c’est-à-dire que / ne renferme pas Zj. Dans ce cas, le terme en z^ n’en a plus d’autre semblable à lui, et l’on doit avoir

Donc f ne peut contenir que x et y. Mais alors l’égalité entre

et Z, à laquelle se réduit finalement la condition (d), ne peut

subsister. Par conséquent, l’équation considérée ne saurait admettre une intégrale du premier ordre (*).

16. Le raisonnement précédent, quoique développé sur un exemple particulier, n’en a pas moins une généralité suffisante. En l’appliquant à certains cas, comme on l’a fait tout à l’heure, on se convainc de l’impossibilité de l’existence d’une intégrale intermédiaire ; dans d’autres cas, on est conduit à plusieurs équations simultanées aux dérivées partielles de la fonction /, non contradictoires entre elles. Quelquefois, en effet, par cette voie, l’intégration d’une équation aux dérivées partielles du second ordre conduit à l’intégration d’un système d’équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Mais nous nous bornerons ici à cette indication, notre dessein étant de passer maintenant à l’exposition des principales propriétés des intégrales générales , sur lesquelles sont fondées d’autres méthodes plus générales pour l’intégration de la class(* d’équations considérée.

Ranbc, DiflVrcnzial- nnd Integralrechnung. Bd. III. § 704,

Ch. L § 3.

17. Les propriétés fondamentales de l’intégrale générale d’une équation aux dérivées partielles découlent de sa détermination, donnée plus haut (§ 1). Nous avons vu que l’intégrale générale peut être représentée par un système de plusieurs équations, conduisant finalement à une seule équation entre les variables du problème æ, «/, s. Soit donc

une équation entre ar, «/, « et certaines quantités arbitraires, dont le nombre et la nature sont encore inconnus, laquelle représente l’intégrale générale de l’équation (2) aux dérivées partielles de l’ordre m. Occupons nous de déterminer le caractère principal et le nombre de ces quantités arbitraires, et d’étudier les diverses circonstances qui peuvent se présenter dans le passage de l’intégralo générale à l’équation différentielle correspondante.

18. En désignant par n un nombre non moindre que m, et joignant à l’équation intégrale générale toutes ses dérivées par rapport à £c et à 2/, jusqu’à l’ordre n inclusivement, on formera un système d’équations, que nous pourrons représenter comme il suit, d’après le système de notations que nous avons adopté,

y;-i = o, Yn-o.

Pareillement, avec l’équation (2) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n — m, on formera le système d’équations

Les équations (A), d’après la définition de l’intégrale générale, ne doivent fournir, entre

que dos relations identiques à colles (pii se déduisent dos équations (B).

Ch. 1. § 3.

|Mais dans le système (A) on a équations, tandis que,

ijlans le système (B), il ne s’en trouve que ^{n — m + !)(«- m-j-2). Donc le premier de ces deux systèmes peut, et même doit renfermer les quantités arbitraires, qui n’entrent pas dans le second, et dont le aombre ne doit pas être moindre que la différence des deux nombres et i(n — m-\-l){n — laquelle est

î Dans ce ca's seulement il est possible de rendre, par l’élimination les quantités arbitraires, les systèmes (A) et (B) complètement idenjiques entre eux. En considérant le nombre (C), qui indique la imite inférieure du nombre des quantités arbitraires dans les équaions (A), on remarque qu’il n’est pas constant, mais qu’il croît, au contraire, en même temps que n. Donc, relativement à la nature des luantités arbitraires qui entrent dans l’intégrale générale, nous som- Ijnes en droit de poser cette conclusions

Une intégrale finie d’une équation aux dérivées partielles doit, pour être générale, renfermer des quantités Arbitraires dont le nombre croît par la différentiation répétée de l’intégrale.

i 19. L’analyse mathématique ne fournit que deux formes d’expressions des quantités arbitraires, qui satisfassent à la condition Précédente.

' A la première forme appartiennent les fonctions arbitraires d’arpaments exprimés par des fonctions déterminées des variables principales, par rapport auxquelles se fait la différentiation. Ainsi, par exemple, pour l’équation

||ous avons eu l’intégrale générale

liù cp et 'ip sont des fonctions arbitraires des arguments respectifs l et jS, donnés en fonctions explicites de x et de y.

Mais les arguments qui entrent sous les signes de fonctions Irbitraires dans l’intégrale générale s’expriment aussi quelquefois parles fonctions implicites des variables principales, et cela, de telle forte que ces expressions varient en même temps que la forme des Ipnctions arbitraires. On en trouve un exemple dans l’équation

Ch. 1. § 3.

dont l’intégrale est

j xa^ — 2a^y-\-4^ci^cp{a)

— 4iJci^cp{ct)da-\-'\\}{§)^

îqüi

irati

lODD

comme on peut s’en assurer par la vérification. Il entre dans cettef expression deux fonctions arbitraires (p et dont les argumenti respectifs a et ^ sont donnés sous forme de fonctions implicites de X et de y, déterminées au moyen des deux dernières équations de l’intégrale, de telle sorte que leurs expressions- varient avec la forme de la fonction cp.

pû

20. Il y a encore une autre forme possible pour les expressions s éti analytiques des quantités arbitraires de l’intégrale générale, qui satis-foncl font également à la condition énoncée plus haut. Pour nous faire une idée de cette forme, concevons l’intégrale, définie ou indéfinie|’intf d’une expression renfermant une fonction arbitraire, combinée avec certaines quantités variables, dont une seule — celle dont la diffé rentielle multiplie cette expression — est considérée comme variable tandis que les autres sont supposées constantes dans cette opération L’exécution d’une telle intégration peut être appelée, d’après Ampère par analogie aVec la différentiation partielle, une intégration partielle, et son résultat sera désigné sous le nom d’intégrale par tielle ou de quadrature partielle.

iielk

iitioi

téris

plie,

es

pasi

Comme, dans une intégrale partielle, toutes les quantités, autres que la variable d’intégration, sont considérées comme constantes, onte obtiendra, en les différentiant par rapport à ces constantes, d’autresjLem intégrales partielles, différentes en général de la première, et qui par conséquent, se trouvant dans les équations (A), doivent être ellesmêmes éliminées individuellement.

Pour faire mieux comprendre ce que sont les expressions de cette forme, prenons des exemples particuliers. L’intégrale générale defPP® l’équation

peut être représentée sous la forme

^ cp(x -j- 2?/ y y) du.

iei

Ils

aièi

SitiO!

;|la.

îeiii

Ch. 1. § 3.

Il y entre l’intégrale partielle définie d’une expression, dans aquelle (p désigne une fonction arbitraire, et u la variable d’intéjration, tandis que les variables indépendantes y de l’équation lonnée figurent«'dans cette intégrale comme des paramètres arbitraires.

L’équation

te L pour intégrale générale

its

de g = 2e «

ne

ns I étant la base des logarithmes népériens, cp et ip des signes de is- onctions arbitraires , x la variable d’intégration dans l’intégrale parie ielle indéfinie, et la quantité a =- x-j-y étant considérée, pendant ie, 'intégration, comme un paramètre constant

ec

. 21, Les intégrales générales des équations aux dérivées par-

ielles qui contiennent des fonctions arbitraires, mais dans la compoition desquelles il n’entre point d’intégrales partielles, forment une ^ dasse comparativement plus simple, et qui présente des traits carac- ^ éristiques mieux déterminés. Leur simplicité relative consiste en ce ^ lue, quand on les différentie par rapport aux variables autres que es arguments a , . . . des fonctions arbitraires, elles ne fournissent

|)as d’autres quantités arbitraires que celles qui sont déjà renfermées esjlans les équations de l’intégrale; ce qui, comme on l’a remarqué plus 01 liant, peut ne pas avoir lieu relativement aux intégrales partielles, eî peur trait caractéristique constant, comme nous le démontrerons plus ni pas, consiste en ce que le nombre des fonctions arbitraires indépen- JS. lantes qu’elles contiennent est toujours égal à l’ordre des équations liiîérentiellcs auxquelles appartiennent ces intégrales.

(p(a — 2x)('/x~j~'fp(a)

J Ampère a formé avec ces intégrales une classe spéciale qu’il I ippelle la première classe. Cette dénomination n’est peut-etr(> )as très -juste, parce qu’elle pourrait faire croire qu’après la prenière classe il en doit venir une seconde, tandis que la classitiîation ne se poursuit pas plus loin. 11 semble préférable, d’après îcla, d’adopter pour ces intégrales la dénomination d’intégi-ales générales sans quadratures partielles.

22. Nous représenterons le type général d’une intégrale tle celte 'lasse, correspondante à une équation diiférenti(;lle du onlia'.

Ch. L § 4.

sous la forme d'un système d’équations, en nombre provisoirement indéterminé, et renfermant;

1®. Outre les variables priimipales a?, y, les Z; quantités variables

ft 7^1

les

2^. Un nombre provisoirement indéterminé, de fonctions arbitraires, indépendantes entre elles.

3^. Les dérivées de ceS fonctions, jusqu’à des ordres déter- eiirt minés,

g)'(a), etc...,

RP

obtenues par les différentiations relatives aux arguments respectifs®'

4^. Des quantités obtenues par l’intégration relative à a d’exri pressions données quelconques, dépendantes de or, (p{ci)y ou par l’intégration relative à P d’expressions données quelconques, |arial dépendantes de p, 'tp(P), V^'(P), • . etc.

23. Une intégrale générale sans quadratures partielles, du type que nous venons de décrire, renferme des quantités arbitraires, dont le nombre croît avec celui des différentiations des équations de l’intégrale. Examinons maintenant de quelle manière des quantités arbitraires, non renfermées dans les équations de l’intégrale, se produisent successivement dans les expressions des dérivées partielles de la fonction s. Pour cela, voyons d’abord comment on peut déduire ^our des équations de l’intégrale les expressions de toutes les dérivées de zJ iate,

En différentiant successivement par rapport à a: et à y les équations de l’intégrale, on obtient 2(^-|-l) équations du premier ordre, d’où l’on peut tirer les expressions des 2(^+1) dérivées du premier ordre

En passant, au moyen de nouvelles différentiations par rapport à æ et à 2/, aux équations du second ordre, dont le nombre sfera 3(7^4-!), et y substituant les expressions précédentes de z,, a',

/3', p„ . . on pourra en tirer les expressions .des 3(^-j~l) dérivées du second ordre

iiiiii:

Ch. 1. § 4.

in -t ^ 1 ^i't ^éit'-’'

En continuant de cette manière, jusqu’ à ce que nous arrivions it( un ordre arbitraire quelconque on pourra obtenir successivement es expressions de toutes les dérivées

ans lesquelles entrent les quantités contenues’ dans l’iutégrale, et, e plus, les nouvelles quantités arbitraires qui s’obtiennent par la ifférentiation des quantités arbitraires de l’intégrale par rapport à ei mrs arguments respectifs.

24. Pour la résolution des différentes questions relartives à apparition de ces nouvelles quantités arbitraires dans les expressions il es dérivées de z, changeons d’abord le système des variables indéendantes. En supposant que chacun des arguments a, y, . . . des )nctions arbitraires dépende à la fois des deux variables x, y, intro- ® uisons, comme nouveau système de variables indépendantes, un quelonque de ces arguments, par exemple a, et l’une des anciennes ariables indépendantes, par exemple x.

Supposons que l’on ait

n vertu de cette équation, y Sera une fonction de a; et de c^, et 3utes les quantités variables dépendantes de a; et de «/ pourront laintenant être considérées comme des fonctions de a; et de a.

A cela ajoutons encore une remarque, dont nous ferons bientôt

. dy dy

tsage, savoir, que les derivees ^ et g- ne peuvent avoir

»our valeurs O ou oo. Car, en prenant, dans l’équation précédente, X et a pour variables indépendantes, et différentiant oette iquation par rapport à a; en considérant a comme constant, on a

d’où

hy dx

B x ^ df dy

lonc devient O ou oo, lorsqu’ on a respectivement

dx

lu ^ == 0; mais aucun de ces deux cas n’est possible, car / repréente la valeur de «, laquelle dépend, par hypothèse, de x et do y.

Ch. L § 4.

De plus, 3/, d’après l’équation ci=f{x^y)^ est évidement une'-

dy -, ^

fonction de par conséquent, ^ ne peut se réduire a zéro. En

différentiant cette équation par rapport à æ étant par suite considéré comme constant, il vient

df dy dyda’

d’où

^ ^ il

dcc df dy

Donc sera = si ^ = 0; mais ce cas n’est pas possible,

car la fonction /*, qui représente la valeur de a, contient y.

Ainsi, dans les h~\-l équations de l’intégrale, on considérera x et Ci comme les variables indépendantes, les autres variables, au nombre de savoir, ?/, is, y,... étant des fonctions de x et

de Ci.

Pour désigner les dérivées partielles par rapport aux nouvelles variables indépendantes x et a, on se rappellera la convention établie ci-dessus (§ 1, art. 2).

25. Maintenant, concernant l’apparition, dans les dérivées de a déduites des équations de l’intégrale, de quantités arbitraires non renfermées dans ces équations, on peut démontrer la proposition suivante:

Si une nouvelle quantité arbitraire (quelque fonction arbitraire de «, non renfermée dans les équations de l’intégrale) apparaît pour la première fois dans l’expression de la dérivée partielle sb), de l’ordre n = cette quan-

tité doit nécessairement apparaître aussi dans toutes les dérivées partielles du ordre de ^

Il sufüt de démontrer cette proposition pour les dérivées voisines de dans la suite {n) parce que, en appliquant la même démonstration aux dérivées situées à droite de

tc+1

et à gauche tle on l’étendra à toute la suite {n).

Pour cola, prenons les dérivées partielles, du (w — i)ième ordre ,^0—1) et déduit {x et y étant prises pour variables

indépendantes), en dillérentiant la première par rapport, à a-, la seconde par rapport à y.

lë

lèse

par

kl

De

I) Il iaii ïâtf

s’ai

saY

arl)

les

ie

ai'

ie

le

ie'

Ifi

Ch. 1. § 4.

lins Si l’on prend maintenant pour variables indépendantes x et «, en iifférentiant ces deux mêmes fonctions par rapport à a-, il vient

d’où l’on tire

it— 1

Æ— 1 dx

Mais, par hypothèse, il apparaît dans z^\ une nouvelle quantité

arbitraire, qui n’entre ni dans les équations de l’intégrale, ni dans les expressions des dérivées de 0 jusqu’ à l’ordre n — 1 inclusivement; par suite, elle ne peut entrer non plus ni dans l’expression de y tirée des équations de l’intégrale, ni dans les expressions de

obtenues en différentiant par rapport à x les dérivées

du {n — l)iènie ordre considère a comme constant.

» îDe plus, d’après ce qu’on a démontré plus haut, ^ ne peut être ni

X) ni 00. Ainsi les fonctions arbitraires considérées de a n’entrent dans les seconds membres des dernières égalités que par le multipli- 1 cateur ;s?b') des seconds termes; et comme ces termes ne peuvent

s’annuler, il faut donc que les premiers membres de ces égalités, savoir, les expressions 4—/^ 4+î?^ renferment la même fonction

arbitraire de « qui s’est introduite dans z(^\ Ce qu’il fallait démontrer.

26. La proposition réciproque de la précédente doit avoir nécessairement lieu, savoir que, si l’expression do la dérivée sjW,

de l’ordre n = contient pas d’autres fonctions

arbitraires de cc que celles qui entrent dans les dérivées des ordres inférieurs, toutes les dérivées de l’ordre n devront jouir de la même propriété.

27. Pour voir à quelle condition apparaît, dans les expressions des dérivées du ordre, une nouvelle fonction arbitraire de or,

qui ne se k*ouve pas dans les expressions des dérivées de l’ordre n — 1, prenons une de ces dernières et difterentions-la partiel-

lement par rapport à a. On obtient l’égalité

Ch. L § 4.

da * da

où

Bd

ne peut être ni 0 ni co; donc

Bd

Dans le numérateur et dans le dénominateur de la fraction du second membre doit apparaître la nouvelle fonction arbitraire de a, qui n’entrait pas dans les expressions de z(^2.i 4e cette fonction

arbitraire, si toutefois elle n’entre pas exclusivement dans un facteur commun au numérateur et au dénominateur, se trouvera ainsi dans l’expression de la dérivée du ordre Cette remarque, jointe

à la proposition précédente, conduit aux conclusions suivantes:

1®. Les expressions des dérivées du ordre

renfermeront une fonction arbitraire non contenue dans les expressions des dérivées du {n — l)ième ordre ..., sw— i, pourvu que

cette fonction n’entre pas exclusivement dans un facteur commun à

, . , , . 1) Bzn—l

^ et a cnacune des expressions

Ces dernières ex-

Bd Bd

pressions doivent, toutes sans exception, contenir ou ne pas contenir

. . Bi/

le facteur en question, commun çiyec

nue

''ie

ICO

2^. Comme, dans la fonction qui représente la valeur de ziO^

le nombre n = variant, le dénominateur reste toujours le même, tandis que le numérateur change continuellement ; la nouvelle fonction de d qui y apparaît ne pourra être constamment la même, mais étant différente, et même toujours renfermée dans un facteur particulier, elle ne pourra constamment se réduire avec un facteur semblable du dénominateur; car, dans ce cas, ce dernier devrait être formé d’un nombre indéterminé de facteurs différents. Par conséquent, il existe toujours un ordre de dérivées dans lesquelles s’introduit une fonc-] tion arbitraire de a non contenue dans les expressions des dérivées inférieures ; et

3^. Dès que cela a lieu pour un certain ordre de dérivées alors, dans chacun des ordres suivants + apparaîtront

de nouvelles fonctions arbitraires de a. Il suffit de s’en assurer pour ;j

Ch. 1. § 4.

Tordre + trouve

En diffërentiant z(*> partiellement par rapport à a, on

da

Le numérateur du second membre de la dernière égalité contient une fonction de a, qui est la dérivée de celle qui a paru pour la pre-

Sy

mière fois dans et cette fonction ne peut entrer dans puisque la fonction primitive correspondante n’entrait pas dans y.

28. A l’exemple d’Ampère nous appellerons les expressions des dérivées de s homogènes à l’intégrale par rapport à a, si elles ne renferment que les mêmes fonctions arbitraires de a qui entrent dans les équations de l’intégrale.

De cette définition il ne s’ensuit pas que les dérivées homogènes à Tintégrale doivent contenir immanquablement toutes les fonctions arbitraires de a qui entrent dans Tintégrale; il suffit qu’elles n’en contiennent aucune qui n’entre dans Tintégrale.

Les dérivées de ^ seront dites hétérogènes à l’intégrale par rapport à a, lorsqu’elles renfermeront des fonctions arbitraires de ex qui ne se trouvent pas dans les équations de Tintégrale.

29. En faisant usage de ces dénominations, on peut exprimer comme il suit les résultats obtenus dans ce §;

1^^. Si la dérivée z', et par suite aussi la dérivée z^, sont hétérogènes à Tintégrale, toutes les autres dérivées seront hétérogènes à Tintégrale.

2®. Si la dérivée de Tordre n == est homogène à Tintégrale, toutes les dérivées du même ordre et des ordres inférieurs seront homogènes à Tintégrale.

3®. Il existe toujours une dérivée de 2?, dans laquelle commence à paraître une fonction arbitraire de a qui ne se trouve pas dans les ^quations dont se compose Tintégrale; cette fonction commence à paraître à la fois dans toutes les dérivées du même ordre; et

4P. Alors, dans chacun des ordres de dérivées qui suivent, se produiront de nouvelles fonctions arbitraires de a, qui ne se trouvent ni dans les équations do Tintégrale, ni dans les dérivées des ordres précédents.

. Ch. I. § 4.

30. Ke marque. Nous avons supposé ci-dessus [24] que les équations de l’intégrale générale, sans quadratures partielles, ne contiennent que des fonctions arbitraires dont les arguments «, p, y, . . . sont des fonctions des deux variables a;, ^ à la fois. Dans cette hypothèse, on a démontré que les expressions des dérivées de z d’un même ordre quelconque, déduites des équations de l’intégrale, doivent être, sans exception, ou toutes homogènes ou toutes hétérogènes à l’intégrale. Cette propriété des dérivées n’a plus lieu, si l’intégrale contient des fonctions arbitraires dont les arguments dépendent de la seule variable y.

Supposons, en effet, que l’intégrale contienne une fonction arbitraire de a, et que a soit fonction de y seulement; il s’ensuit que y sera, réciproquement, une fonction de cc seulement, que nous désignerons par

On aura donc

hy

Sa

et, au lieu de l’équation démontrée au n® 25

on aura celle-ci

dy

Bx 5

laquelle fait voir que, dans la dérivée de l’ordre w, il ne peut

apparaître aucune fonction arbitraire de a qui n’existât dans la dérivée 4—1 l’ordre n — 1; car la différentiation par rapport à æ suppose

a constant.

D’un autre côté, on a

^4^ 1 dy

* Ba

d’où

Bz^^^

Ba

fW)‘

Ch. 1. § 4.

Dans, le numérateur du second membre de cette égalité , par suite de la différentiation de relativement à il doit se produire une

fonction arbitraire de « qui n’existait pas auparavant dans

cette fonction ne peut disparaître par réduction avec le dénominateur, puisque ce dernier est une fonction déterminée /'(a) de a. Il faut donc que l’expression de contienne une fonction arbitraire qui

n’existe pas dans l’expression de

Ainsi, des deux dérivées d’ordre w, et la première est

homogène, la seconde hétérogène, par rapport à à la dérivée z^]^

d’ordre n — 1. Par suite, ces dérivées du ordre sont hétérogènes entre elles, ce qu’il s’agissait de démontrer.

31. De plus, il est aisé de conclure, de ce qu’on a démontré plus haut, que les dérivées

que l’on obtient en différentiant s: par rapport à x seulement, ne contiendront pas d’autres fonctions arbitraires de a que celles qui entrent dans l’expression de z.

Au contraire, les dérivées

dz

da

, da

da

TW’

pour la formation desquelles il faut un nombre variable de différentiations relatives à æ, mais une seule différentiation par rapport à contiendront une seule et même fonction arbitraire de o;, différente de celles qui entrent dans

De même, les dérivées

da

f da

dci

^ TW'

contiendront deux mêmes fonctions arbitraires de or, autres que celles qui entrent dans Et ainsi de suite.

Donc les expressions des dérivées qui proviennent de différentiations faites seulement par rapport à x seront homogènes à Tinté-

Ch. 1. § 5.

grale; les autres dérivées seront hétérogènes à l’intégrale. Mais les '■] dérivées dans la formation desquelles il entre un même nombre de î différentiations par rapport à y seront homogènes entre elles. Dans tout ceci, nous entendons l’homogénéité ou l’hétérogénéité comme se rapportant à l’argument a, dépendant de y seulement. ■

n est clair qu’en échangeant, dans ce qui précède, la lettre y avec la lettre a?, on parviendra à des conclusions analogues.

32. Maintenant nous pouvons résoudre une question très^mportante, relative aux intégrales sans quadratures partielles; la question du nombre des fonctions arbitraires, indépendantes entre elles, qui sont renfermées dans une semblable intégrale, lorsqu’elle appartient à une équation aux dérivées partielles de l’ordre m.

On devra prendre ponr base de cetfe recherche la définition de l’intégrale générale (’§!), et répéter les raisonnements du n® 18, qui nous ont conduits aux systèmes d’équations (A) et (B). Mais, dans ce dernier article, nous avons représenté l’intégrale générale sous la forme d’une seule équation, tandis qu’ici nous la représenterons, conformément au type général indiqué à la fin du § 3, sous la forme d’un système de équations. En prenant donc les équations de l’intégrale et toutes leurs dérivées par rapport & x et k y, jusqu’à l’ordre n inclusivement, nous obtiendrons maintenant

équations. L’équation différentielle donnée aux dérivées partielles du ^ième ordre,

avec toutes ses dérivées par rapport k x et k y, jusqu’à l’ordre n — m inclusivement, fournit, d’après ce qui précède.

équations.

En vertu de la définition de l’intégrale générale, le premier de ces deux systèmes d’équations, après l’élimination des quantités qui

Ch. 1. § 5.

ne se trouvent pas dans l’équation différentielle donnée, devra devenir complètement identique avec le second. La possibilité de remplir cette condition est déjà assurée par cela même, que le premier système contient plus d’équations que le second, la différence des nombres d’équations des deux systèmes étant

Il suffit, par conséquent, que le nombre des quantités à éliminer du premier système ne soit pas moindre que cette différence. Ce nombre doit être égal à (D), si chacune des quantités en question s’élimine séparément; il pourra être, au contraire, plus grand que (D), si quelques-unes de ces quantités s’éliminent simultanément par groupes.

33. Essayons maintenant de trouver l’expression du nombre total des quantités sujettes à l’élimination. Elles peuvent être divisées en deux catégories:

1®. Les h arguments a, /?, y, avec toutes leurs dérivées jusqu’à l’ordre n inclusivement.

etc

Le nombre de ces quantités est évidemment égal à

in+l)(n+2) ,

2^. Les fonctions arbitraires et leurs dérivées par rapport à leurs arguments respectifs.

Pour exprimer de la manière la plus générale le nombre des quantités à éliminer de cette dernière catégorie, adoptons la notation suivante:

Soit g le nombre des fonctions arbitraires et indépendantes entre elles, telles que (p(«), ..., qui entrent dans les équations de

l’intégrale. Si tous les arguments or, . . . sont differents entre eux, alors évidemment g -- 7^; dans les cas contraire, on devra avoir Z*.

Soit g' le nombre des fonctions arbitraires formées au moyen des précédentes par la différentiation ou par l’intégi-ation (ou par cos deux opérations à la fois) relativement à un même argument. Dans

ce nombre nous comprendrons les fonctions qui se trouvent effective-, ment dans les équations de l’intégrale, ou même qui, ne s’y trouvant pas, se rencontrent dans la suite des transformations qu’il faut opérer pour passer d’une fonction à une autre fonction, entrant l’une et l’autre dans les équations de l’intégrale. Par exemple (p'(cc) sera comprise dans le nombre g% si les équations de l’intégrale contiennent cp{a) et (p"{ci). De même, F désignant une fonction donnée, /F[«, (p(a)]fZ(v sera comprise dans le nombre g\ si les équations de l’intégrale contiennent /cZa/F[«, q)(a)]dci et (p(ct).

Enfin soient Z-f-1, ••• les ordres des équations dé-

duites des équations de l’intégrale, et qui sont les premières hétérogènes à cette intégrale par rapport à «, jS, y, ... respectivement. Les nombres Z, Z', Z", . . . doivent avoir des valeurs finies et déterminées, et peuvent aussi se réduire à zéro.

34. Mais on a démontré, dans le § précédent, que lorsque, dans les équations dérivées d’un ordre quelconque des équations de l’intégrale, apparaît pour la première fois une fonction arbitraire, par exemple une certaine dérivée de (p(a); alors, en passant aux équations dérivées des ordres suivants, il se produira encore, à chaque fois, de nouvelles fonctions arbitraires, provenant également de q){a). Lors donc qu’on arrivera à l’ordre n dans la différentiation des équations de l’intégrale, on aura introduit des fonctions arbitraires qui ne se trouvaient pas dans ces équations, et parmi lesquelles il y en aura n — Z provenant de (jpCo:), n — V provenant de etc. Par

conséquent, le nombre total des fonctions arbitraires ainsi introduites

sera ng — Z — V — Z" — En y ajoutant les nombres déterminés

ci-dessus g' et on obtiendra une expression géné-

rale du nombre total des quantités sujettes à l’élimination, sous la forme suivante,

Ce nombre, comme on l’a expliqué plus haut, ne doit être, en aucun cas, moindre que le nombre (D). Il faut donc nécessairement que l’on ait

c’est - à - dire

Ch. 1. § 6.

Mais le second nombre de cette dernière égalité ou inégalité est un nombre fini et déterminé, tandis que, dans le premier membre, entre comme facteur commun le nombre ^+1, que peut prendre une grandeur arbitraire. Donc, pour que cette égalité ou inégalité ait lieu quel que soit w, il faut que Ton ait

c’est-à-dire que l’intégrale générale finie sans quadratures partielles doit contenir un nombre de fonctions arbitraires et indépendantes entre elles égal à l’ordre de l’équation aux dérivées partielles à laquelle cette intégrale appartient.

35. Les propriétés générales, exposées ci-dessus, des équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes fournissent les indications qui nous conduiront à la détermination des intégrales correspondantes à des équations différentielles données de cette classe.

Avant tout, occupons-nous de rechercher comment, d’après la forme d’une équation donnée, on peut juger des propriétés des arguments des fonctions arbitraires de l’intégrale générale sans quadratures partielles, si une telle intégrale est possible.

Nous avons vu (§ 5) que, dans l’expression d’une telle intégrale, il doit nécessairement entrer des fonctions arbitraires, entièrement indépendantes entre elles, (p(«), ..., dont le nombre est égal à

l’ordre différentiel de l’équation à intégrer, et dont les arguments a, /?,... représentent généralement des fonctions , déterminées et différentes entre elles, des variables indépendantes x, y. Mais l’intégrale ne cesse pas d’être générale si les fonctions «, jS, . . . sont , en partie ou en totalité, identiques entre elles, ou dépendantes de la seule variable x ou de la seule variable y. Et comme ces circonstances ne doivent pas rester sans influence sur la marche même de l’intégration, il importe beaucoup d’être en état de reconnaître* préalablement, d’après la seule forme do l’équation donnée, les propriétés des arguments des fonctions arbitraires de l’intégrale générale finie sans quadratures partielles, en supposant la possibilité d’uiu? telle intégrale.

Ch. 1. § 5.