dy J ^ 8a8y 8y 8a 8y

Ontre cela, par un calcul algébrique simple, il est facüe de vérilier que, en retranchant le carré de la seconde des égalités précédentes du produit de la première par la troisième, on obtiendra le résultat simple suivant,

M gj, gj, g„ y •

130. Maintenant on trouvera sans difficulté la condition en vertu

de laquelle les équations (2) et (3) représenteront une intégrale de (1). . En désignant, pour abréger, le premier membre de Téquation (1) par F (a;, y, z, z\ z,, z", z'j, zj, substituons-y les valeurs

2 = 03, z' = 0)', Z^ = z' — z' , = iXi‘ Z^^ =

tirées des équations (2) et (3); en égalant ensuite à zéro la somme des termes qui ne se détruisent pas, on aura la condition cherchée.

Le résultat de la substitution peut, d’après la formule de Taylor, s’écrire ainsi.

F(a3,2/, û), 0)', 0),, 0)"+^, ~ F {x, y, û3, k>^, ûj", cù' ,, coJ

Le premier terme du second membre de cette égalité se réduit à zéro, en vertu de la supposition que la substitution des valeurs z=co, z' = Ü)', = —

doit satisfaire à l’équation (1) pour des valeurs quelconques de a, y, ri- De plus, on trouve

SF . 0F 0F

== 2(ir~i^«3^), g-

donc

= iV:

F(a;, ?/, w, œ,, fô" + 7i, 0)',+^, ®//+0 = (Lr+ iV^co J /i+2(F:— iV-ro' ,) A;+ (L+ JVw") ~ *^)-

On conclut de là que les équations (2) et (3) ne peuvent représenter une intégrale de (1) que dans le cas où la fonction rj est déterminée de manière à réduire à zéro le second membre de l’équation précédente. En y substituant les valeurs de à, h. Z, U — données plus haut, égalant à zéro le résultat de la substitution, et supprimant le dénominateur commun Z), on obtient une équation de la forme

où l’on a fait, pour abréger.

+(X + Nco")'f^',

dy ~ 8y 8a) '

Ch. IV. § 18.

En faisant attention à la composition de Féquation (4), il est aisé de voir qu’elle est linéaire par rapport aux dérivées partielles du second ordre

02^ 02^ 02^ dady* dy^

de la fonction rj, et que, dans ses coefficients, il n’entre, en définitive, que

dri dr]

En effet, les dérivées dôÉy* ^ doivent entrer exclusivement,

d^.ca ^ . . . 8^.0)

la première seulement dans ? la seconde

seulement dans

dccdy*

la troisième seulement dans et avec cela, elles n’entreront pas

à une autre puissance qu’à la première. En outre, dans la compo-

sition de l’équation (4), il n’entre que les variables «, y, tj, g-,

y, dont les deux dernières peuvent être éliminées au moyen des équations (2) et (3).

131. Ainsi la méthode de la variation des constantes arbitraires donne la possibilité de transformer l’équation (1), non linéaire à cause de la présence de la quantité sV' — s', 2, en une équation (4) linéaire par rapport aux dérivées du second ordre de la fonction cherchée; tandis que ce but n’est pas atteint par les transformations de Legendre et d’Ampère, que nous avons indi4uées plus haut (Ch. III, §. 15). On peut démontrer qu’il y a une infinité de transformations possibles, analogues à ces dernières, c’est-à-dire telles que l’équation (1) conserve après la transformation son type primitif. Pour cela, il n’y a qu’à supposer, dans la démonstration précédente, que la valeur

soit choisie tout à fait arbitrairement, et né représente plus une intégrale particulière de l’équation (1). Alors toutes les conclusions du calcul précédent subsistent, si ce n’est que

F{x, y, û), co', û)„ œ", co',, (ùj = W n’est plus égal à zéro. Donc, en multipliant l’équation finale par

(8lcoy

Wsy; ’

ou obtiendra en plus le terme W.D^ et, au lieu de l’équation (4), on aura la suivante,

4 oe 1 i w

ra^.oj

8Kco

/8^.cûy

\8ci8yJ

En vertu de la remarque de l’article précédent sur la manière dont

Ch. IV. § 18.

, dh] ^ , d'^.cû

les derivees ^ entrent dans -k-^

ca^ oady oy^ oa^

il est clair que D sera de la forme

aiû) aicj

dady * dy^

da^ dy^

VacfSy/

B^f} d^T] B^rj

BaBy Bt]

Br) ^

Par suite,

l’équation transformée conserve le type général de l’équation (1).

a, b, c, e, f s’exprimant au moyen de 0?, y, rj^

132. La méthode de la variation des constantes arbitraires ramène le problème de l’intégration de l’équation (1) à l’intégration de l’équation (4). Les valeurs des coefficients de celle-ci dépendent de la forme de l’intégrale particulière 0 = w de l’équation (1). Par conséquent toute la difficulté de l’application de cette méthode consiste à choisir, parmi les intégrales particulières de l’équation (1), celle pour laquelle (4) prend une des formes intégrables. Nous exposerons plus loin les caractères auxquels on peut recourir pour ce choix dans les cas connus. Maintenant, pour éclaircir les formules générales appliquons-les à un exemple particulier.

'\xy

Vy y \

a, ô, m, n désignant des constantes données.

En examinant la possibilité de satisfaire à l’équation proposée, par des valeurs de la forme générale

0 = Ax'^+Bxy-\-Ci/-\-Dx-\-Ey-]-^ , on trouve sans difficulté, pour intégrale particulière de cette équation, l’expression

0 = C)ix-\-yy — rixy — w,

contenant trois constantes arbitraires a, y, r]. Par suite, en considérant ri comme une fonction de a et de y, et joignant à l’équation précédente les deux suivantes,

B. CO fia

gj, — 2/\^l »gj,j - O,

on obtient l’intégrale générale de l’équation proposée, si l’on détermine la fonction rj par la condition

Pour trouver les coefficients de cette équation, calculons

ct—Yiy,

par la différentiation de la fonction co relativement à a? et à considérées comme des variables indépendantes de a et de y. En différentiant ensuite (»' et par rapport à « et à y, considérées comme indépendantes de x et de y, il vient

dy

--ywy'

da

dtj

dy

da

oy

Les seconds membres des deux dernières équations se réduisent à zéro en vertu de la deuxième et de la troisième équation de Tintégrale générale. Maintenant, par les formules générales (5) du § précédent, on trouve

ou, en vertu de la troisième équation de l’intégrale générale,

On trouve ensuite