d.cû
parce que le facteur Z'-j-iVi/, après l’élimination de à l’aide des équation de l’intégrale et la substitution des valeurs des coefficients ^ et iV' tirées de l’équation proposée, se réduit à zéro. De plus,
ou, en vertu de la seconde équation de l’intégrale générale,
Enfin,
OU, en vertu de la Seconde et de la troisième équation de l’intégrale générale,
U — Ix-j-my-j-nz.
D’après cela, l’équation (4) se réduit à la forme
“ 0â2 gÿ2 — “ 0-
Maintenant, en différentiant la fonction ca deux fois par rapport à chacune des variables o: et y, que l’on doit considérer ici comme indépendantes entre elles et des variables x et y, on a d^.cû d^.co d^y
Substituant ces valeurs dans l’équation précédente , et la divisant par xy, on trouve
Mais la deuxième et la troisième équation de l’intégrale générale donnent
1 df} 1 ^ .
X By ^ y Sa ’
par conséquent, pour déterminer la fonction r\^ nous obtenons enfin l’équation linéaire à coefficients constants
B\ B^ri Sîy Bri
dont rintégrale générale peut toujours s’obtenir soit sous forme finie, soit au moyen d’intégrales définies, par la méthode de Laplace(*). En supposant donc la fonction ri connue, on pourra exprimer, à l’aide de cette fonction et de ses dérivées partielles, l’intégrale générale de l’équation proposée, sous la forme suivante,
BriBr]' ^ Br}* ^ B^
By Bcc Ba By Ba By
Brj ' Br}
133. Comme on l’a déjà remarqué plus haut, Ampère a introduit un perfectionnement important dans la théorie de l’intégration de l’équation fl), en découvrant la possibilité d’appliquer la méthode de la variation des constantes arbitraires aux intégrales de cette équation, obtenues à l’aide des équations (A) et (B), lorsque chacun de ces deux systèmes n’admet qu’une combinaison intégrable. Toutefois, ayant fondé sa théorie sur cette idée vraie, mais pas assez générale, il n’a pas remarqué, en premier lieu, que la même méthode peut s’appliquer aux intégrales particulières de l’équation (1), obtenues à l’aide des systèmes (A) et (B), lorsque chacun d’eux admet plus d’une combinaison intégrable, et, en général, à toute intégrale particulière de l’équation (1) avec trois constantes arbitraires, par quelque moyen qu’elle ait été obtenue. En second lieu, les formules générales d’Ampère ont ce grave défaut, qu’elles ne permettent pas de se servir en même temps des intégrales des systèm’es (A) et (B) de la manière la plus avantageuse. En troisième lieu, l’application même des formules d’Ampère pourrait être simplifiée par l’emploi de la méthode connue de Lagrange et de Charpit pour l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre qui se rencontrent dans cette théorie, au lieu de la méthode proposée par Ampère lui-même.
Nous tâcherons de démontrer ces propositions dans ce §. et dans les suivants; mais nous allons auparavant examiner quelle utilité particulière présente l’application de la méthode de la variation des
(*) Histoire de rAcademie des Sciences, année 1779. Mcnioiro sur les suites, par M. de la Place.
Ch. IV. § 20.
constantes arbitraires aux intégrales particulières, obtenues au moyen des systèmes d’équations (A) et (B).
134. Supposons que les équations (A) admettent une combinaison intégrable, dont nous représenterons l’intégrale sous la forme f{x, y, Z, z\ s,) = o:;
ce sera, par rapport à l’équation (1), une intégrale particulière du premier ordre. Mais, en la considérant comme une équation aux dérivées partielles du premier ordre, on pourra en déterminer, par la méthode de Lagrange et de Charpit, une intégrale complète
2! Cù{x, y, Ci, y, f}),
renfermant, outre a, deux autres constantes arbitraires y, ?/, et qui sera, par rapport à l’équation (1), une intégrale particulière primitive. En lui appliquant la méthode de la variation des constantes arbitraires, on devra considérer ri comme une fonction de a et de y, et pour la déterminer nous aurons une équation aux dérivées partielles du second ordre
d^rj d^7} d^'ï]
* dccdy * dy^
La quantité représente, comme on sait, l’argument de l’ime des deux fonctions arbitraires de l’intégrale générale de l’équation (1), et cette dernière intégrale doit s’exprimer au moyen de 7} et des fonctions arbitraires que ^ renferme. Par conséquent, une des fonctions arbitraires qui entrent dans l’intégrale générale qui représente la valeur de -r], doit aussi avoir pour argument a. Mais dans ce cas l’équation qui détermine la fonction
rj ne doit pas contenir la dérivée comme nous l’avons démontré
dans la théorie des intégrales des équations aux dérivées partielles
du second ordre (Chap. I, §. 6). Cette dérivée ^ doit entrer exclu-
sivement et nécessairement dans l’équation (4) au moyen de l’expression
; par suite, dans le cas considéré, on aura nécessairement = 0. En faisant usage de l’intégrale
F(fl;, y, Z, z\ Zj) =
déduite d’une combinaison intégrable des équations (B), et en calculant une intégrale complète de cette équation
^ — (ù{x, y, (3, y, Tl),
appliquons à celle-ci la méthode de la variation des constantes arbitraires. Si l’on considère alors t} comme fonction de et de y, on a, pour déterminer cette fonction, une équation selon la formule (4), où l’on devra seulement écrire à la place de y et y à la place de a. Par le môme raisonnement que dans le cas précédent, on en conclut (jue maintenant on doit avoü* nécessairement T = 0.
135. Si l’on peut obtenir, au moyen des combinaisons intégrables des équations (A) et (B), les intégrales que nous représenterons respectivement par
f{x, y, Z, z\ Z,) — a, F(x, y, z, z\ z,) == P , les premiers membres de ces équations, qui satisfont, comme on sait (Chap. ni, §. 16), à la condition d’intégrabilité
\6æ ' 3^^ Jdz' \dx 'dz^ Jdz'
, , a/ \eF /
dz
+Tr-z
fournissent les valeurs de z' et de z^^ par la substitution desquelles on obtient l’équation
dz — z'dx-^Zfdy^
intégrable soit immédiatement, soit après la multiplication par le facteur d’intégrabilité. Comme résultat de cette intégration, on a la valeur
Z == CO (x, y, Ûf, /?, 't'i),
qui représente une intégrale particulière de l’équation (1). En considérant 7] comme une fonction de a et de p, et appliquant la méthode de la variation des constantes arbitraires à cette intégrale, on trouve, pour déterminer la fonction tj, l’équation donnée par la formule (4), dans laquelle on écrira ^ au lieu de y. L’intégrale générale qui représentera la valeur de s s’exprimera au moyen de l’intégrale générale qui représentera la valeur de t] et des deux fonctions arbitraires renfermées dans cette intégrale. Or les arguments des fonctions arbitraires de la première intégrale doivent être a et P] par conséquent, a et (S doivent être aussi les arguments des fonctions arbitraires de la seconde intégrale. Donc l’équation (4) ne peut, dans le cas actuel (Chap. I, §. 6), renfermer les dérivées partielles du second ordre
d’où il suit nécessairement que l’on a = O et T —0.
