fi

Il reste à trouver la condition qui doit être remplie pour que l’équation

ZZj — X = /?

continue d’être une intégrale de la proposée. Pour cela, en différentiant la dernière équation par rapport k x et k y, on trouve

SS ,-f S S, — 1 = +

Ajoutant la première de ces équations à la seconde, multipliée par

il vient

, I ^ If

Par conséquent, la condition cherchée est exprimée par l’équation

dp , 1 dp

dx

Or nous avions

dx^dydx(P donc l’équation de condition prend la forme

dx(P z/

Substituant dans cette équation les valeurs

doù

et

dxdp*

Ch. IV. § 22.

on a, pour déterminer la fonction l’équation

intégrable par la méthode de Laplace.

144. La méthode de la variation des constantes arbitraires, sous la forme que nous lui avons donnée dans ce qui précède, constitue le plus général de tous les procédés que l’on ait proposés jusqu’ici pour l’intégration de l’équation

(1) m''+2Xz^, + Zz,,+M+N(z\-z'/) ^ 0;

car elle seule embrasse tous les cas qui diffèrent par le nombre des

intégrales possibles des équations (A) et (B).

En effet, dans ce Chapitre, nous avons considéré son application aux cas où nous ne connaissions pas même une seule intégrale des équations (A) et (B), et à ceux où chacun de ces deux systèmes n’admet par plus d’une intégrale. Nous avons indiqué plus haut (Chap. III, §. 13) l’application de cette méthode à l’autre cas extrême, celui où les deux systèmes (A) et (B) admettent jusqu’à trois intégrales, et se confondent en un seul, en vertu de la condition G = 0. Mais comme nous avons fondé cette méthode sur la détermination préalable d’une intégrale particulière primitive quelconque de l’équation (1), avec trois constantes arbitraires, il est alors évident de soimême que, si chacun des systèmes (A) et (B), ou seulement l’un d’entre eux admet deux intégrales, alors nous aurons même plusieurs moyens pour parvenir à l’intégrale particulière demandée de l’équation (1). Les plus avantageux de ces moyens seront évidemment ceux par lesquels on aura introduit dans l’équation (4) a et (3 comme variables indépendantes.

Pour éclaircir ce procédé, prenons pour exemple l’équation

que nous avons déjà intégrée précédemment (Chap. III, §. 17) par la méthode d’Ampère, fondée, comme celle de Monge, sur la détermination préalable d’une intégrale générale du premier ordre. On a ici

L = N^ÿ, i: = Vë=^-^;

donc les systèmes (A) et (B) prennent la forme

Sx(a~^^ èx(a ® ® 0»

5^2 , __ dy

dx{cc ^ ^'da'(a

Le premier de ces systèmes fournit rintégralo (a) 3' -|- rc = const. ;

du second on tire les doux intégrales (h) yz, = const.,

(c) z/z'-j-x) = const.

Les équations (a) et (c), dans lesquelles on peut remplacer les constantes arbitraires respectivement par a et par donnent

et

Ch. IV. § 23.

Or on a

d.co'

dct

CO,

d.cûj

dcc

' occ Ci

d^.co y d^T]

dad^^ a^'dccd^

D’après cela, les formules générales (6) donnent

Donc on a, pour déterminer la fonction rj, l’équation

8^rj

dc(8^

d’où l’on tire

7j = q)(a)-{-xp(P).

Donc l integrale générale de l’équation proposée s’exprime au moyen des trois équations

^ ^ (« — + y — —ci)jj'(^), X = ^ + ç>'(a).

De même, en nous servant de l’intégrale (a) du système (A) et de l’intégrale (b) du système (B), nous exprimerons l’intégrale générale de l’équation proposée par les trois équations

« = j3 logÿ+ ^log^log — (p(ci) — Tp(^),

æ = flp'(a) + ^— . ÿ = V(^)-log(^logiy

Après avoir montré l’application de la méthode de la variation des constantes arbitraires à tous les cas, en nous fondant toujours sur les mêmes formules générales, nous avons, ce nous semble, des raisons suffisantes pour l’appeler une méthode générale, et une méthode en grande partie nouvelle pour l’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, de celles du moins qui ne s’écartent pas de la forme générale, à laquelle nous avons limité le cadre de notre étude.

Si l’on considère rj comme une fonction de a et de /3, et que l’on joigne à l’équation précédente ces deux-ci

da ^ ' dcc ’ 8^ cc~' 8^ ’

on obtient l’intégrale générale de la proposée en déterminant rj au moyen de l’équation

Page 16, ligne 3: Au lieu de définiti on‘‘.

.détermination^ mettre

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QA Imshenetskii, Vasilii

374 Grigor * evich

164 Sur 1* intégration des

équations

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