X^CO

dco’

x^co,

Par suite.

K—ja H

dco'

dco,

donc = 0 et T = 0.

dco.

K ~Vg

Ch. IV. § 21.

Multipliant et ajoutant les équations précédentes, on trouve dco' 8a}' 8a)' 8a)'

L âg aoT

par conséquent la seconde des formules (6) donne

Mais on a

-HL da’dio,G

H ~ Sa' H'

Donc

-\-x^z, — 2xz~h\ogz,-\~2b\ogx = a.

De cette équation aux dérivées partielles du premier ordre, il a d’abord fallu tirer son intégrale complète avec trois constantes arbitraires or, y, oy, intégrale que nous désignerons par

puis son intégrale générale, que l’on obtient en considérant t] comme une fonction de a et de y, et joignant à Inéquation précédente celle-ci

Mais, au lieu d’employer pour ce but la méthode de Lagrange et de Cbarpit, qui donne l’intégrale générale précisément sous la forme voulue. Ampère s’est servi de sa propre méthode d’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, laquelle ne' donne pas, en général, l’intégrale sous la forme des équations

de sorte que, pour la ramener à cette forme, il faut encore une transformation spéciale. Tout en rendant pleine justice à l’idée ingénieuse sur laquelle cette transformation est fondée (*), on ne peut toutefois s’empêcher de remarquer que l’application d’un tel procédé au cas actuel complique fort inutilement le calcul. En effet, si l’on forme le système des équations simultanées de Lagrange, correspondant à l’équation proposée aux dérivées partielles des premier ordre, on a

142. Nous nous servirons encore de cet exemple pour indiquer plus clairement la différence entre notre méthode de résolution et celle qu’a suivie Ampère. Comme on l’a déjà remarqué plus haut, au lieu de fonder la résolution à la fois sur les deux intégrales satisfaisant aux systèmes (A) et (B), Ampère n’a fait usage que de l’une d’elles

|et

|Ei

6ii

tei

(*) Voy. p. 20 et suiv. du Mémoire d’Ampére.'

— dz'

dz,

26 2xz,

dx dzj

x‘‘ — — 2xzj-j- —

Zy ' ' X

et si l’on égale le premier rapport au dernier, on trouve

d’où z^ = x^y.

A l’aide de cette équation, on tire de la proposée

Enfin, en intégrant l’équation

dz = z' dx-\-z^dy,f

après y avoir substitué les valeurs précédentes de z' et de z^^ on obtient précisément l’intégrale particulière

Z = yx^y —

pour la détermination de laquelle la méthode d’Ampère exige des calculs plus compliqués (*).

Ensuite, Ampère applique la méthode de la variation des constantes arbitraires à l’intégrale particulière précédente. On parvient aux mêmes résultats que lui, en suivant les procédés expliqués plus haut. En considérant y] comme une fonction de a et de y, et joignant à l’équation précédente les deux suivantes,

fîa 3a; ' Sa

3ya; ' oy

on aura l’intégrale générale de l’équation proposée, en déterminant la fonction au moyen de l’équation (4).

Or, en différentiant œ par rapport à a; et à y, et considérant u et y comme des constantes, on trouve

co' = 2yxy—3yx^-j- -{-2xy, = ya;^.

En différentiant maintenant a' et w, par rapport à a et à y, et considérant X et y comme des constantes, il vient dœ' 0(a'

Les deux dernières équations, en vertu de la seconde et de la troisième équation de l’intégrale générale, prennent la forme dcù' h dco' 1

yx‘

(•) Voy. p. 145— .148 de son Mémoire.

Ch. IV. § 21.

En appliquant alors les formules générales (5) ou (6), on trouve très-simplement.

’ yx^ x^

par suite, l’équation pour la détermination de la fonction rj prend la forme

2b 3^,0) dKca

y dccdy d^y ’

comme la théorie le faisait prévoir. On trouve ensuite d^.co 2 dKco h

dccdy ^ dady* dy^ 2>y^x'^ dy^*

et, en outre, la seconde équation de l’intégrale générale donne

1 dy

3x^ dcc

Donc, pour déterminer tj, on a finalement l’équation

d^r) 2b d^fj b drj

~l2 r57:â7.~rr2^

dy^ y dccdy ' y^dct sous la forme même que lui a donnée Ampère.

Il faut ensuite soumettre cette équation à deux transformations pour la ramener à la forme plus simple que nous avons ci-dessus obtenue immédiatement. Pour la première transformation, en posant

logy = £,

introduisons s comme variable indépendante au lieu de y; nous obtiendrons l’équation à coefficients constants

Pour la seconde transformation, en posant

^ ~ a-\-2bB^

introduisons ^ comme variable indépendante au lieu de e; nous ramènerons enfin l’équation à la forme demandée

d^Y] drj dr]

Ces dernières transformations s’effectuent assez simplement dans l’exemple considéré, parce que l’équation à transformer avait déjà une forme linéaire, non -seulement par rapport aux dérivées secondes, mais encore par rapport aux dérivées premières de la fonction rj.

Mais la difficulté de ces transformations augmente, lorsque l’équation à transformer n’est linéaire que par rapport aux dérivées secondes de tj. Il est aisé de s’en convaincre en traitant les exem ples suivants,

^^z" — Ax^Zjz' ,-\-SzjZj^-{-2xh' == 0,

z" -\~2zjz\-\-(zj^ — b^)Zj^ = 0,

pour lesquels on peut, au contraire parvenir aux résultats définitifs d’A m P è r e, de la manière la plus simple possible, en suivant notre méthode.

anxi

les

que

Ch. IV. § 22.

143. Nous avons supposé plus haut, pour Tapplication de la méthode de la variation des constantes arbitraires à l’intégration de l’équation (1), qu’il existait des intégrales primitives particulières de cette équation, renfermant trois constantes arbitraires. Mais on rencontre des cas particuliers dans lesquels il suffit d’avoir une intégrale particulière avec deux constantes arbitraires. Un cas semblable se présente dans les équations linéaires par rapport aux dérivées du second ordre, dans lesquelles il n’entre que s" et ou que 0'^ et

Il faut remarquer que, dans la théorie d’Ampère, cette forme d’équations offre une importance spéciale, puisque, comme nous l’avons remarqué ci-dessus, on peut toujours ramener à ces formes les équatoils complètes, linéaires par rapport à z\ z' j et z^^. Dans notre exposition de cette méthode d’intégration, on peut regarder la forme en question comme un cas particulier; en conséquence, nous nous bornerous à la réduction d’un des exemples particulièrs traités par Ampère, pour donner une idée de la méthode d’intégration employée par ce géomètre.

Prenons l’équation

D’après l’exam-en de sa forme, on en conclut (Ch. I, §. 6) que l’argument de l’une des deux fonctions arbitraires de l’intégrale générale est égal à x. En posant a = x^ l’autre argument devra être considéré comme une certaine fonction de x et de y. Soit

on pourra, en vertu de cette équation, introduire comme variables indépendantes x et j3, au lieu de x et de y.\

En différentiant, dans cette hypothèse, la relation entre x^ y^ partiellement par rapport à a; et en regardant la quantité ^ comme constante, il vient

8x^ôÿdx{^ ’ dx'dÿ8x{^

On a, en outre,

En substituant dans l’équation proposée les valeurs de z, et de tirées de ces deux dernières équations, il vient

dz,

dx(^ " dx(^

dx((3

Cette dernière équation doit se partager (Ch. III, §. 12) dans les deux suivantes ;

auxquelles on en peut encore joindre une troisième,

Les trois équations précédentes ne contenant aucune dérivée de z\ on ne pourra former avec elles une combinaison intégrable autrement que par l’élimination do 2!'. A cette fin, éliminons z' entre la première et la troisième, ce qui donne

Ch. IV. § 22.

ou, en vertu de la seconde des trois mêmes équations,

dx(^

En intégrant cette dernière équation, on trouve

Si l’on considère ici jS comme une quantité constante, et que l’on prenne de nouveau x et ^ comme variables indépendantes, l’équation précédente représentera une intégrale particulière du premier ordre de l’équation proposée. En effet, en la différentiant par rapport à æ et à «/, il viendra

. Ss', —1 = 0, + = 0.

Ajoutant la première de ces équations à la seconde, multipliée par

on retrouve l’équation proposée.

De l’intégrale particulière du premier ordre, en l’intégrant comme une équation différentielle ordinaire (puisqu’il n’y entre pas de dérivées par rapport à x), on tire l’intégrale particulière primitive

7} désignant une fonction entièrement arbitraire de x. Mais, si l’on considère t] comme une fonction de æ et de la dernière équation continuera à être une intégrale de celle d’où on l’a déduite, pourvu qu’on y joigne la condition