CHAPITRE Y

réduction du groupe de transformations d'une équation linéaire.

4. Adjonction d'une fonction rationnelle des intégrales. — Soit

une équation linéaire, F son groupe de transformations, et$ un invariant rationnel caractéristique de ce groupe. Soit maintenant 4>, une autre fonction rationnelle des intégrales, et F< le groupe des transformations de F qu'elle admet. Je dis que l'adjonction de $< réduit le groupe de transformations de l'équation à F^. En effet, après l'adjonction, les fonctions qui s'expriment rationnellement sont celles qui peuvent s'évaluer en fonction rationnelle de $, de $, et leurs dérivées (les coefficients étant des fonctions rationnelles de /, de X|, ..., X,,, des fonctions primitivement adjointes (x^, . .., (Xy^ et de leurs dérivées). Le plus grand groupe qui leur est commun est donc le groupe des transformations communes à 4> et $,, c'est-à-dire F^.

Conséquence. — Supposons en particulier que F soit un groupe complexe, et soit G le plus grand groupe de transformations infinité-

4o E. VESSIOT.

simales qu'il contient; soit enfin F une fonction rationnelle ayant précisément G pour groupe. Si l'on adjoint F, G devient le groupe de l'équation.

Or F dépend, en fonction de $, d'une équation algébrique. Il est même facile de voir que le groupe de Galois de cette équation peut être considéré comme connu. Soient en effet (voir I, Ch. I, n° 2)

G, GTi, ..., GT;t i

les familles de transformations de F, et F,, Fa, . .., F^>, les fonctions en lesquelles F est changée par les transformations T,, Tj, ...,T*,. Ces transformations permutent les fonctions

F, Fi, . . ., F^r-i,

suivant un groupe de substitutions, qui est le groupe de l'équation algébrique dont dépend F. Car toute fonction des racines F, F,, ..., F)t«, de cette équation qui admet ce groupe, admet, comme fonction des a:, toutes les transformations de F, et par suite a une expression rationnelle; et inversement.

On peut donc toujours, par la résolution d'une équation algébrique à groupe connu, faire en sorte que le groupe de transformations de l'équation linéaire donnée soit un groupe G engendré par des transformations infinitésimales. iVous supposerons toujours dans la suite, à moins d'indication contraire, que cette simplification a été faite; en sorte que nous n'aurons à considérer que des groupes définis par un seul système d'équations, et que des fonctions rationnelles ayant des groupes de cette espèce.

2. Sur les équations auxiliaires, — Considérons toujours l'équation linéaire (r); soit G son groupe de transformations et F une fonction rationnelle des intégrales x^, ..., ^r,, ayant pour groupe G. Une autre fonction rationnelle R(x,, ....a;,,) dépend alors, en fonction de F, d'une équation différentielle

qui est d'ordre m, si le groupe des transformations communes à F et à R a m paramètres de moins que G. Cette équation est irréductible,

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 4f

en ce sens qu'elle n'a pas d'intégrale fondamentale commune avec une équation de même forme et d'ordre moindre; en effet, cette seconde équation, ayant pour coefficients des invariants de G, admettrait pour intégrales toutes les valeurs que prend F par les transformations de ce groupe, c'est-à-dire qu'elle admettrait une intégrale renfermant m paramètres essentiels, ce qui est impossible.

Nous avons vu d'autre part que l'équation (2) possède des systèmes fondamentaux d'intégrales. Soient

les équations qui les caractérisent, et soit ^,, v^^ ..., ^^ un de ces systèmes. L'intégrale générale est fournie par une formule

En se servant des relations (3), on en déduira l'expression générale d'un système fondamental, sous la forme

/w,, 7^2, . . ., /w^, sont les ordres des équations (3); les a, p, . .., £ des paramètres arbitraires; on suppose enfin que dans ces expressions on a fait disparaître toutes les dérivées des v d'ordre égal ou supérieur à celui de l'équation que chacune vérifie.

Si l'on joint maintenant aux équations (5) celles qui s'en déduisent par différentiations (en éliminant toujours les dérivées d'ordre supérieur), on obtient évidemment les équations d'un groupe de transformations aux variables

yj) ^\i^\^ - ' "y^x 1 »'îi ^'tj • • • » ^1 j • • • > ^Ici ^ky ' • '1 ^k

On a en particulier une transformation de ce groupe si l'on effectue dans les fonctions (6) une quelconque des transformations de G, car

'|2 E. VESSIOT.

les relations qui expriment que v^, . .., (^ satisfont aux équations (3) ne cessent pas d'être vérifiées. L'ensemble de ces transformations particulières constitue un groupe g isomorphe au groupe G.

Ce groupe g jouit évidemment, vis-à-vis de l'équation (2), des mêmes propriétés que G à l'égard de l'équation (1). Nous pouvons donc dire que V équation (2) possède un groupe de iransformcuions^ à savoir le groupe g.

De plus, la transformation identique de g correspond dans G au groupe des transformations qui laissent invariantes à la fois k\, . . ., Vj,, et par conséquent chacune des fonctions V, c'est-à-dire au plus grand sous-groupe de G, invariant dans G, et laissant R invariante. Il en résulte que g sera un groupe simple à condition que ce sous-groupe invariant G^ soit un sous-groupe invariant maximum de G. Nous dirons dans ce cas que l'équation (2) est une équation à groupe simple.

Remarque, — Un cas remarquable est celui où le système fondamental d'intégrales de l'équation (2) se compose d'une seule intégrale; il faut et il suffit pour cela que le sous-groupe de G que R admet soit invariant dans G. Si c'est de plus un sous-groupe invariant maximum, l'équation auxiliaire (2) est de plus une équation à groupe simple.

3. Méthode générale d'intégration, — Supposons qu'on adjoigne à l'équation (i) toutes les intégrales de l'équation (2), ou, ce qui revient au même, les intégrales d'un système fondamental de cette équation. Le groupe de transformations de l'équation (i) se réduit alors au groupe commun à toutes ces intégrales et contenu dans G, c'est-à-dire au sous-groupe invariant G<. D'où l'énoncé suivant :

Théorème. — Par l'intégration de V équation auxiliaire dont dépend une fonction rationnelle R, le groupe de transformations de l'équation donnée se réduit à son plus grand sous- groupe invariant dont R admette toutes les transformations.

Ce théorème donne le moyen de ramener la résolution de toute équation linéaire à celle d'une suite d'équations auxiliaires à groupes simples. Pour que ces équations auxiliaires soient d'ordre minimum, on devra évidemment opérer de la manière suivante.

On effectue une décomposition normale du groupe de transformations G de l'équation donnée. Soit

G, Gi, Gj, . . . , G/i-i

cette décomposition; on cherche alors un sous-groupe de G contenant G< et ayant le nombre maximum de paramètres : soit Yi ; puis un sous-groupe de G< contenant Gj et ayant le nombre maximum de paramètres : soit Y2; et ainsi de suite; enfin un sous-groupe maximum y^ deG>i,. On calcule ensuite des invariants rationnnelsF,, . ..,F>i caractéristiques respectivement de y^, y^, . . ., yy^ : les équations auxiliaires sont alors celles qui fournissent F, en fonction de F, Fj en fonction de F,, etc., enfin ¥^ en fonction de Fa,.

Les ordres des équations auxiliaires sont donc les indices de composition (I, Ch. l, n** 3) du groupe G. D'où il résulte que, quelle que soit la décomposition normale employée, elle conduit toujours à des équations auxiliaires des mêmes ordres.

Remarque, — La méthode précédente ne sera applicable, dans les conditions où nous nous sommes placés de n'avoir jamais à effectuer que des calculs algébriques, qu'autant qu'on pourra déterminer une suite de groupes yi , y2» • . • » y* qui soient tous des groupes algébriques.

4. Discussion. — tl resterait à étudier dans quelles circonstances l'intégration d'une équation auxiliaire peut réduire le groupe de transformations de l'équation donnée. Nous nous bornerons ici au cas où l'équation auxiliaire est elle-même linéaire (*).

Soient donc

l'équation proposée, G son groupe de transformations, F une fonction rationnelle de ses intégrales a?,, ..., x„ ayant précisément G pour groupe. Soient d'autre part

(») Les résultats qui suivent peuvent s'étendre au cas plus général où l'équation au\i- Maire possède des systèmes fondamentaux d'intégrales.

[\[\ E. VESSIOT.

Téquation linéaire auxiliaire, et j,, ..., j^ un système fondamental d'intégrales de cette équation. Nous supposons que l'intégration de (2), c'est-à-dire l'adjonction de ji, ..., j^, réduise le groupe de transformations de (t) à un sous-groupe G^ de G ayant par exemple s paramètres de moins. Soit F, une fonction rationnelle de a?,, . . ., o:^ ayant G, pour groupe; l'hypothèse revient à dire que l'on a

H, étant une fonction rationnelle des intégrales de (2). Formons alors les deux équations irréductibles (au sens du n° 2) dont dépendent respectivement F, et H,. Comme elles ont une intégrale fondamentale commune, elles sont identiques; donc elles sont en particulier du même ordre. Dès lorsla valeur générale de H, par les transformations du groupe (de transformations) de l'équation (2) a le même nombre de paramètres essentiels que la valeur générale de F, par les transformations de G. Or, si l'on adjoint à l'équation (2) les intégrales de (i), F, et par suite H< devient rationnel; donc cela réduit le groupe de transformations de l'équation (2) de s paramètres au moins. Cela ne peut d'ailleurs pas le réduire d'un nombre plus grand, s\ car le même raisonnement prouverait alors que l'adjonction des intégrales de (2) réduit le groupe de transformations de (i) de s' paramètres au moins, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc l'adjonction des intégrales de (i) réduit le groupe de transformations de (2) exactement de s paramètres.

De plus, les diverses valeurs de F, étant respectivement égales aux diverses valeurs de H^ se trouvent toutes adjointes par l'adjonction des intégrales de l'équation (2). Donc le groupe G de l'équation (i) est réduit à un sous-groupe invariant G< ; et de même pour l'équation (2). Nous pouvons donc énoncer les résultats suivants :

Théorème. — Si, par r intégration d'une équation linéaire auxiliaire^ le groupe de transformations de V équation proposée se trouve réduit de s paramètres y il en est de même pour V équation auxiliaire par V intégration de la proposée. De plus, les nouveaux groupes de transformations des deux équations sont invariants dans les anciens.

Corollaire 1. — Si Vintégration d'une équation linéaire auxiliaire à

groupe simple réduit le groupe de transformations de V équation donnée» les intégrales de l'équation aujriliaire sont des /onctions rationnelles des intégrales de la proposée.

Car, si Ton adjoint à Téquation auxiliaire les intégrales de la proposée, son groupe, qui est simple, se réduit, en vertu du théorème précédent, à la seule transformation identique, de sorle que toutes ses intégrales s'expriment rationnellement (*).

Corollaire II. - Si r intégration d'une équation linéaire du premier ordre réduit le groupe de transformations de la proposée, une quelconque de ses intégrales est une fonction rationnelle des intégrales de l'équation donnée. Le groupe de transformations de celle-^i se réduit alors à un sous-groupe invariant ayant un paramétre de moins.

Car le groupe d'une équation linéaire et homogène du premier ordre est le groupe linéaire homogène à une variable, qui est simple.