CHAPITRE YI

équations linéaires intégrables par quadratures.

1. Théorème. — Pour quune équation linéaire soit intégrable par quadratures, il faut et il suffit que le groupe de transformations de cette équation soit un groupe intégrable (*).

Nous démontrerons d'abord que la condition est nécessaire.

Remarquons, à cet effet, que toute quadrature équivaut à l'intégration d'une équation linéaire du premier ordre ; et supposons, par conséquent, que l'équation donnée puisse être intégrée au moyen d'une

(0 Ce corollaire, avec l'extension indiquée dans la Note précédente, montre que la méthode du n** 3 est la seule méthode d'intégration de l'équation proposée au moyen d'équations auxiliaires à groupes simples.

(») ^m>I,Ch. I, n«3.

46 E. VESSIOT.

suite (Inéquations linéaires auxiliaires du premier ordre, c'est-à-dire que son groupe de transformations se réduise finalement à la seule transformation identique par Tadjonction successive des intégrales de ces équations. II résulte du corollaire II du n*^ 4 du Chapitre précédent que, chaque fois que le groupe se réduit, il se réduit à un sous-groupe invariant ayant un paramètre de moins.

Donc le groupe de transformations de Téquation donnée contient un sous-groupe invariant à un paramètre de moins, celui-ci de même, et ainsi de suite; c'est donc bien un groupe intégrable.

Remarque, — On peut aussi faire une démonstration directe. Supposons que l'intégration de l'équation

réduise le groupe de transformations G de la proposée à son sousgroupe G< ; et soit F, une fonction rationnelle des intégrales a;,,...,x^ de l'équation donnée qui ait pour groupe G<. On a, en désignant par j, une intégrale de (i), et par H une fonction rationnelle,

Formons l'équation irréductible (II, Ch. V, n'' 2) dont dépend F, ; et celle dont dépend H( v, ), et qui est évidemment du premier ordre. La seconde équation, admettant pour intégrale une intégrale fondamentale de la première [à cause de l'égalité (2)], est identique à la première, de sorte que la valeur générale de F, par les transformations de G ne dépond que d'un paramètre essentiel ; c'est dire que G, a un paramètre de moins que G. De plus, les diverses valeurs de F< étant les mêmes que les diverses valeurs de H(j^< 4- a) se trouvent toutes adjointes; donc G< est un sous-groupe invariant de G.

Le raisonnement s'achève alors comme précédemment.

Corollaire. — Lèquation différentielle linéaire générale d'o/dre n (/2 > i) n est pas intégrable par quadratures.

Car son groupe de transformations est le groupe linéaire homogène général à n variables ; ce groupe ne contient qu'un sous-groupe à un

paramètre de moins : c'est le groupe linéaire homogène spécial, qui est invariant dans le précédent, mais qui est simple (*). Le groupe linéaire homogène général k n variables, pour « > i , n'est donc pas intégrable.

2. Passons à la démonstration de la seconde partie du théorème. Nous nous appuierons sur ce résultat (^) que tout groupe intégrable de transformations infinitésimales linéaires homogènes à n variables est homologue à un sous-groupe du groupe

dont les transformations finies ont pour équations

On voit facilement que toute transformation linéaire homogène qui laisse invariant le groupe K est contenue dans ce groupe, de sorte que tout groupe linéaire homogène intégrable, complexe ou non, est homologue à un sous-groupe de K.

Il en résulte que, si le groupe de transformations de Téquation linéaire d'ordre n donnée est intégrable, tout invariant du groupe K s'exprime rationnellement, en désignant par x^, ..., x„ un système fondamental d'intégrales de cette équation convenablement choisi.

Or le groupe K est le groupe des transformations communes aux fonctions

^^ dt ' dt ' " ' dt '

(*) S. Lie, Tranxforinaùons^ruppen, l, Ch. 26 cl Ch. 27. (*) Ibid,, Ch. 27, p. 589.

OÙ Ton a posé

E. VESSTOT

Xk X it

• • • %M^ im

(Ar — 1,2, . ..,/i — i);

en effet, -^^ est un invariant caractéristique du groupe

-^A+1 — «A+M-a:, 4-. . .-+- «A^l,A^*-f-. . .-f-aA^i,«^«,

Donc, toutes ces fonctions s'expriment rationnellenient. En particulier, la première ^ * a une expression rationnelle, de sorte que l'on a

déjà, par une quadrature, une intégrale de la proposée, à savoir a:,. Posons alors

Ji» • •» J«-< constituent un système fondamental d'intégrales d'une équation linéaire d'ordre n — i dont les coefficients sont rationnels, puisqu'ils s'expriment rationnellement au moyen de >.<,..., X„ (coef-

dfx

ficients de la proposée), de -~-^ et de leurs dérivées. De plus, on a, par un calcul facile,

yU'

(.r,)*EA-i,

en sorte que la nouvelle équation est encore telle que les quantités

dt

dt

analogue aux quantités (3), s'expriment rationnellement. On peut, dès

SUR l/lNTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 49

lors, opérer sur elle comme sur la précédente, et ainsi de suite. On aura donc une nouvelle intégrale de la proposée, x.^ par exemple, par deux quadratures nouvelles superposées; puis une autre, x^, par trois quadratures nouvelles superposées, et ainsi de suite; de sorte que l'intégration complète de l'équation donnée exigera, dans le cas le

plus général , 14-2-}-. ..-f-/?— -- '^— quadratures.

Hemarque. — La démonstration qui précède a ceci de remarquable, qu'elle montre que, si une équation linéaire peut être intégrée par des quadratures, elle peut toujours l'être en employant le procédé classique qui consiste à chercher une intégrale particulière, puis à ramener l'intégration de l'équation donnée à celle d'une équation linéaire d'ordre inférieur d'une unité, et ainsi de suite. Elle fournit l'énoncé suivant :

Théorème. — 5/ une équation linéaire est inlégrable par quadratures, la déris^ée logarithmique de l'une de ses intégrales s'exprime rationnellement.

Enfin, la condition nécessaire et suffisante énoncée en tète de ce Chapitre peut prendre une autre forme, analogue à la condition donnée par Galois pour la résolubilité par radicaux des équations de degré premier, qui est que la résolvante de Lagrange ait une racine rationnelle. En effet, notre condition peut s'exprimer en disant qu'une fonction rationnelle des intégrales ayant pour groupe le groupe K doit s'exprimer rationnellement. Une telle fonction est, par exemple,

où a, u^^i sont indéterminées. D'où le théorème suivant :

Théorème. — Pour quune équation linéaire d'ordre n soit intégrable par quadratures, il faut et il suffit que la transformée d'ordre -- — ^ — dont dépend û ait une intégrale rationnelle.

Dans la pratique, il sera en général préférable, pour reconnaître si une équation donnée est intégrable par des quadratures, de suivre la

5o E. VESSIOT.

marche même employée dans notre démonstration; car la résolvante en ù est, dès le troisième ordre, extrêmement compliquée.

3. Considérons encore une équation linéaire ayant pour groupe de transformations un groupe intégrable G. La méthode générale d'intégration du Chapitre précédent montre encore que l'intégration n'exige alors que des quadratures. Soit, en effet, G, un sous-groupe invariant de G avec un paramètre de moins, et soient F et Yt deux fonctions rationnelles des intégrales ayant pour groupes G et G|. F, est intégrale d'une équation du premier ordre de la forme

F, X, ^ ) --ZZ o.

De plus, G| étant invariant dans G, là valeur générale de F, s'exprime au moyen d'une valeur particulière par une relation

(5) V=zA(FJF,X,^|a),

où a est une constante arbitraire et où ne figure aucune dérivée de F< ; enfin cette relation donne toujours l'intégrale générale, si l'on y remplace ¥^ par une autre intégrale particulière. En résumé, F| est intégrale d'une équation connue

qui jouit de cette propriété que son intégrale générale Y s'exprime au moyen d'une intégrale particulière/ par une relation connue

dont la forme est indépendante de cette intégrale particulière. Je dis qu'une telle équation s'intègre par deux quadratures au plus.

En effet, l'équation (7) définit évidemment un groupe de transformations à une variable et un paramètre. Calculons sa transformation infinitésimale; soit

SLR L INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELT.ES LINÉAIRES. ^l

et déterminons une fonction z de r par la condition

dz

c'est-à-dire

Le changement de variable, z = x(y), change alors (8) en ^ > c'estk-dire change le groupe (7) en le groupe

(9) Zr.:i + (3.

Il change donc l'équation (6) en une équation dont l'intégrale générale ne renferme qu'une constante additive, et qui est, par conséquent, de la forme

dz

Cette équation s'intègre par une seconde quadrature, et dès lors l'intégration de l'équation (3) est effectuée.

En résumé, la réduction du groupe de transformations à G< exige au plus deux quadratures. Nous disons au plus, parce que la première quadrature disparait, on général, dans les applications. Si donc le groupe G a r paramètres, l'intégration de l'équation donnée nécessite au plus 2r quadratures.

Remarque L — La démonstration précédente prête à cette objection, qu'elle suppose qu'on puisse effectuer une décomposition normale du groupe G en sous-groupes algébriques; mais elle a l'avantage de montrer comment, dans certains cas, le nombre des quadratures peut être réduit de beaucoup.

Remarque IL - Il y a enfin lieu de distinguer entre les quadratures qui se calculent indépendamment les unes des autres et les quadratures superposées. Dans l'application de la méthode générale, toutes les quadratures paraissent devoir être superposées; notre première démonstration montre, au contraire, qu'on peut diriger les calculs de manière à avoir au plus n quadratures superposées. On peut souvent.

E. VESSIOT.

d'ailleurs, modifier la méthode générale, de manière à remplacer des quadratures superposées par des quadratures indépendantes.

Supposons, par exemple, que G contienne p sous-groupes invariants distincts à un paramètre de moins : on pourra, par des quadratures indépendantes, calculer successivement des invariants de chacun d'eux, et Tadjonction de ces p fonctions réduira le groupe de transformations de l'équation de p paramètres.

4. Équations à coefficients constants, — L'exemple le plus simple est celui des équations à coefficients constants. Soit l'équation

, ^ d^ ûo d'^-^x djc

l'équation en —^ admet /i intégrales rationnelles, à savoir les n racines, supposées distinctes, de l'équation

(il) P(m) =^ "'*+ ^l"""*-^- • •-+- Cn-\U-\- Cn^=^0\

soient -S •••, -^ ces n racines. Le groupe commun à ces n fonçai ^n

tions est

c'est donc le groupe de transformations de l'équation. Or les transformations de ce groupe sont échangeables deux à deux : l'intégration doit donc s'effectuer par n quadratures indépendantes, d'après la remarque H du paragraphe précédent. Les n sous-groupes à considérer sont ici ceux qu'on déduit de (12), en supprimant successivement chacune des transformations infinitésimales, et les n invariants sont les n intégrales a?, , . . . , ^r,, ; on retombe donc sur le procédé ordinaire d'intégration de cette classe d'équations.

Remarque. — Si les racines de l'équation (i t) ne sont pas distinctes, le groupe de transformations de Téquation (10) se réduit. Supposons, par exemple, que w, soit racine multiple d'ordre k de (11), et soit

u^ = -» . Je considère l'équation en y = —, qui est

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 53 Elle devient, si l'on pose j:-, ~ c^'V,

o=7P(«i)+ yP'(«.)+...,

c'est-à-dire

Elle a donc/: intégrales rationnelles, par exemple

qui seront, si Ton veut, '^-y ~-, •••? '^-j de sorte que le groupe (12) est ici remplacé par

J?l/?l -f- ^'ï />j -T- . . .-h J^kfkj ^k^lPk-hn • • • » '^'aPn-

La quadrature qui donne a;^ fournit en même temps

c'est-à-dire que & quadratures sont remplacées par une seule, ce qui tient à ce que le groupe contient ^ — i paramètres de moins que dans le cas général.