Soit

une équation linéaire donnée; ses coefficients sont des fonctions connues de / : on les considérera comme rationnelles. On peut encore leur adjoindre d'autres fonctions de /

qui seront également considérées comme rationnelles. D'une manière générale, nous dirons alors qu'une fonction de / a une expression rationnelle, ou s'exprime rationnellement, si elle peut s'exprimer en fonction rationnelle de t, de X,, ..., X„, [ji<, ..., [i,,^ et de leurs dérivées, et nous dirons qu'elle a une expression algébrique ou s'exprime algébriquement, si elle peut s'évaluer algébriquement en fonction des mêmes éléments, c'est-à-dire si elle satisfait à une équation algébrique entière dont les coefficients aient des expressions rationnelles. Nous désignerons dans la suite par a?,, ..., x^ un système fondamental d'intégrales de l'équation (i), de sorte qu'une fonction rationnelle de x^, ...,Xn (au sens indiqué II, Ch. I, n°l), R(a?<, . ...x^) est une fonction de t. Mais, toutes les fois qu'on parlera de transformation linéaire efi^ectuée dans R, on y devra considérer de nouveau les x comme des fonctions indéterminées. La comparaison de ces deux

points de vue conduit au théorème suivant, qui est l'analogue du célèbre théorème de Galois.

2. Théorème. — A toute équation linéaire (i) correspond un groupe F de transformations linéaires homogènes , qui jouit des deux propriétés suivantes :

I " Toute fonction rationnelle des intégrales qui a une expression rationnelle admet toutes les transformations de ce groupe;

1^ Toute fonction rationnelle des intégrales invariante par toutes les transformations de ce groupe a une expression rationnelle.

Considérons, en effet, toutes les fonctions rationnelles de j?,, ..., ar^, dont l'expression est rationnelle et, parmi elles, une fonction admettant un groupe avec le nombre minimum de paramètres. Si ce groupe est complexe, on supposera la fonction choisie de manière que les familles de transformations qui le constituent soient également en nombre minimum. Soit $ cette fonction et F son groupe : je dis que c'est le groupe annoncé.

En effet, soit R une autre fonction rationnelle à expression rationnelle; elle admet le groupe F, car, sans cela, la fonction $ -+- wR, où u représente une fonction arbitraire à expression rationnelle, aurait une expression rationnelle, et son groupe, formé des transformations de F que R admet, contiendrait, soit moins de paramètres que F, soit, du moins, un nombre moindre de familles de transformations, ce qui est en contradiction avec le choix de $.

Inversement, toute fonction de R qui admet toutes les transformations de F s'exprime rationnellement au moyen de ^, de X,, . .., \<b et de leurs dérivées (II, Ch. lll, n^2); elle a donc bien une expression rationnelle.

Remarque. — La première partie du théorème précédent est due à M. Picard, qui avait montré, de plus, que toute fonction R admettant le groupe F devait être uniforme, les coefficients de l'équation étant supposés rationnels. Nous conserverons au groupe F le nom de groupe de transformations de l'équation^ qui lui a été donné par M. Picard, pour le distinguer du groupe de l'équation qui intervient lorsqu'on étudie les propriétés des intégrales comme fonctions de t.

36 E. VESSIOT.

3. Lorsqu'on a choisi, pour a?,, ..., x^, un système fondamental particulier d'intégrales, le groupe F est unique; car, d'après la démonstration précédente, c'est le groupe formé de toutes les transformations linéaires homogènes communes à toutes les fonctions rationnelles de x^, ..., oT^qui s'expriment rationnellement. Mais, si l'équation n'est pas intégrée, il est impossible, en général, de définir le système fondamental choisi; de sorte qu'il y a, correspondant à ces divers systèmes fondamentaux, une infinité de groupes F, qui se déduisent de l'un d'entre eux en effectuant, dans les deux membres des équations qui le définissent, la transformation linéaire homogène la plus générale. Nous dirons que ces groupes ^^oni homologues (*) dans le groupe linéaire homogène général, ou encore qu'ils appartiennent au même type. Remarquons, enfin, que les groupes à considérer sont nécessairement algébriques.

Cela posé, la détermination du groupe de transformations d'une équation linéaire donnée, ou plutôt du type auquel il appartient, sera possible dès que l'on saura résoudre les trois problèmes suivants :

I. Déterminer les différents types de groupes linéaires homogènes algébriques à n variables (n étant l'ordre de l'équation). Dans la troisième Partie de notre travail, nous traiterons ce problème dans les deux cas n = 2 et n = 3.

II. Calculer, pour chacun des types troui^és, un in\^ariant rationnel caractéristique, c'est-à-dire qui n admette pas un groupe plus grand, et former la transformée dont il dépend. La solution de ce deuxième problème ne dépend que d'éliminations algébriques (*).

m. Reconnaître si une de ces transformées a une intégrale rationnelle en t.

Le type cherché sera, en effet, le plus petit groupe correspondant à une transformée possédant une intégrale rationnelle en t.

4. On peut arriver au théorème précédent en suivant une autre marche, semblable à celle de Galois, et qui est aussi celle que M. Pi-

( ï ) Nous traduisons ainsi le mol allemand f^lelchbercchtigt. (*) Foir S, Lie, Transfonnationsgruppen, I, p. -218.

card avait employée. Considérons la résolvante générale, c'est-à-dire la transformée en V = w, a?, h- ... 4- u^oo^ ; c'est une équation linéaire d'ordre n^

(2) V(V)t=zO.

II existe toujours au moins une équation différentielle algébrique,

jouissant, à l'exclusion de toute équation d'ordre moindre, des propriétés suivantes : i** elle est algébriquement irréductible; 2^ toutes ses intégrales sont des intégrales de l'équation (2); 3° l'une au moins de ses intégrales est une intégrale fondamentale de l'équation (2). L'ensemble des transformations qui permettent de passer de l'une des intégrales fondamentales de l'équation (3) à toutes les autres constitue alors le groupe F.

Nous n'insistons pas sur la démonstration; nous voulons montrer seulement que, si l'on pouvait déterminer l'équation (3), le groupe F serait par là-même connu. Soit, en effet,

(4) *^'~^ ^iji^U ' • •» OCr)û:^j {Î=U 2, . . .,/l)

la transformation générale du groupe F, que nous supposons, pour simplifier, défini par un seul système d'équations.

L'équation (3) s'obtient en éliminant, par différentiations, les constantes a dans l'équation

(5) y-^aij((x)UiXj,

de sorte que son premier membre, si l'on réduit l'un des coefficients à l'unité, est, avant d'y remplacer les x par leurs valeurs en fonction de /, un invariant caractéristique du groupe (4). Mais de la symétrie de la formule (5) résulte que, si l'on y considère les u comme des indéterminées, c'est alors un invariant caractéristique pour le groupe

(6) uj=^aij{<K)tii (y = 1,2, ...,/i),

38 E. VESSIOT.

qui est le groupe T\ dualistique (*) du groupe F. Or les u subsistent dans l'expression de 0(V); on peut donc déterminer T' et en déduire r.

Ce procédé éviterait la discussion de tous les groupes linéaires algébriques; malheureusement, on ne voit pas de méthode qui permette de trouver une équation telle que (3), connaissant l'équation (2). On remarquera enfin que, de même qu'il y a une infinité de groupes F, il doit y avoir une infinité d'équations jouissant des propriétés de l'équation (3), et qui se déduisent toutes de l'une d'entre elles, en y effectuant sur les u la transformation linéaire homogène la plus générale.

5. La considération des transformations infinitésimales conduit à un nouveau théorème, analogue au précédent :

Théorème. — A toute équation linéaire (i) correspond un groupe G de transformations infinitésimales linéaires homogènes à n variables, qui jouit des deux propriétés s nichantes :

I® Toute /onction rationnelle des intégrales qui a une expression algébrique admet toutes les transformations infinitésimales de ce groupe.

2° Toute fonction rationnelle des intégrales qui admet toutes les transformations infinitésimales de ce groupe s'exprime algébriquement.

Considérons, en effet, toutes les fonctions rationnelles des intégrales qui s'expriment algébriquement, et, parmi elles, une fonction admettant le nombre minimum de transformations infinitésimales linéaires homogènes indépendantes. Soient F cette fonction, G le groupe de ses transformations infinitésimales; je dis que G est le groupe annoncé.

En effet, soit R une autre fonction rationnelle des intégrales à expression algébrique; elle admet le groupe G, sans quoi la fonction F-hwR, où £/ est une fonction arbitraire k expression algébrique, s'exprimerait algébriquement, et admettrait seulement les transformations infinitésimales de G que R admet, c'est-à-dire moins de transformations infinitésimales distinctes que F; ce qui est en contradiction avec le choix de F. •

( * ) f'oîrj sur los jiroupes dualisliques : Ul, (ihap. I.

Inversement, toute fonction R admettant le groupe G s'exprime (II, Ch. III, n*^ 3) algébriquement au moyen de r, de X,, .. .,X,jFetIeurs dérivées; elle a donc une expression algébrique.

Remarque, — Le groupe G est évidemment le plus grand groupe de transformations infinitésimales contenu dans le groupe F. H se confond donc avec F, toutes les fois que ce dernier est défini par un seul système d'équations. Nous verrons dans le Chapitre suivant que ce cas est au fond le seul à considérer dans les applications; de sorte que nos deux théorèmes se réduisent dans la pratique au premier.