CHAPITRE I

GÉNÉRALIIfiS. — GROUPES DUALISTIQUES ET ÉQUATIONS ADJOINTES.

1. Généralités. — D'après la méthode générale que nous avons indiquée pour l'intégration d'une équation linéaire donnée, la théorie générale des équations linéaires d'ordre n comprend la résolution des trois problèmes suivants :

1. Déterminer les divers types de groupes algébriques contenus dans le groupe linéaire homogène à n variables.

54 F. VESSIOT.

II. Étudier k quels caractères on reconnaîtra que le groupe de transformations d'une équation linéaire donnée appartient à un de ces types.

m. Connaissant le type du groupe de transformations d'une équation linéaire, indiquer quelle sera la nature des équations auxiliaires à intégrer, et former ces équations auxiliaires.

Nous ne pouvons aborder ces problèmes dans toute leur généralité; nous limiterons nos applications aux deux cas particuliers des équations du second et du troisième ordre. Voici auparavant quelques remarques générales.

La nature des équations auxiliaires dépend de la structure du groupe de transformations de l'équation; c'est là une question sur laquelle nous nous réservons de revenir plus tard. Indiquons seulement ici ce résultat, que les équations du premier ordre intervenant dans l'application de la méthode pourront toujours être remplacées par des équations de Riccati, à moins que l'intégration de ces équations se ramène à des quadratures, cas que nous avons précédemment étudié.

La solution du second problème revient à reconnaître si une certaine équation différentielle admet une intégrale rationnelle : la méthode des coefficients indéterminés, jointe à la décomposition en élémentssimples, suffira en général. Il sera avantageux de faire intervenir, dans la formation des équations k considérer, les invariants de l'équation linéaire d'ordre /i.

Enfin, dans l'étude des types de groupes linéaires homogènes, on devra distinguer entre les groupes intégrables et les groupes non intégrables : on pourra même k la rigueur se dispenser d'une étude détaillée des premiers, et appliquer simplement ce que nous avons dit de l'intégration par quadratures. Pour les autres, nous cherchons tous les types de sous-groupes non intégrables du groupe linéaire homogène, et nous ne conservons que ceux qui sont algébriques.

2. Groupes dualistiques. — La recherche de ces types est simplifiée par la considération des groupes dualistiques. On sait que M. Sophus Lie appelle ainsi (*) deux groupes qui se déduisent l'un de l'autre par

(1) Transformationsgruppen^ 11, Cb. 19.

SUR l'intégration des ÉQIATTONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 55

la transformation de contact homogène qui est définie parla relation

Pour les groupes linéaires homogènes, on peut donner une définition plus élémentaire. La transformation dualistique de ta transformation

est, par définition,

^lo^À

^^ a ai

ifk

Son inverse est donc

(/zur, 3, .. ., /i)

fin

de sorte qu'elle est définie par l'identité

Il résulte de là qu'a tout groupe de transformations linéaires homogènes correspond un groupe dualistique, formé des transformations dualistiques (ou de leurs inverses).

Soit maintenant une transformation infinitésimale

et cherchons la transformation dualistique

rVA

5G E. VESSIOT.

elle doit être telle que 2w/.r,soit invariant, ce qui donne l'identité

^eikXiiif,-^2^ejf^œhUj — o

^(.^ik-^ ef,i)XiUi,— o

d'où l'on conclut

■ik

^ki

(/, A' — r, 2, . . ., Ai)«

Donc, pour passer d'un groupe linéaire homogène au dualistique, il nous suffira d'intervertir dans ses transformations infinitésimales les indices des variables avec ceux des dérivées partielles.