Equation adjointe, — Soit

\fl' "^ ^'1 r1in-\

dv

du

une équation linéaire, ayant pour système fondamental d'intégrales les fonctions or, , . . . , x,^. L'équation adjointe de Lagrange est celle qui a pour intégrales les fonctions u^ u^ définies par les relations

'- ^/2.ry'-='^H

. . -\- llf^X^^

Si donc on pose

(rt-1) ^.'/l-l

on en tire

lu--

c)logA âx^'~^

(/• -^ !,'>., . . . , Ai),

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 57 de sorte que Tintégrale générale de Téquation adjointe est

Cn

où C|, C3, . . ., c^ sont des constantes arbitraires. En différentiant cette relation, on obtient successivement

donc enfin

du I dt A

«.in-8)

d^u i dt^ A

dt"-^ A

Cn

C'est donc là l'équation adjointe. On sait que l'adjointe de l'équation (4) serait précisén)ent l'équation proposée (i). Cette réciprocité tient à ce que, par des différentiations, on peut déduire des relations (2) les for-

58 E. VESSIOT.

mules analogues

X^u\ H-^j£/j -ir . . .-^ XnU',^ ~ O,

L'importance de Téquation adjointe dans notre théorie tient à ce fait que les groupes de transformations de deux équations adjointes sont deux groupes dualistiques. En effet, la forme des relations de définition (2) montre qu'à toute transformation

entre les œ correspond entre les fonctions u la transformation

c'est-à-dire l'inverse de la transformation dualistique; et l'inverse a lieu évidemment. Dès lors toute fonction rationnelle des u qui a une expression rationnelle admettant, comme fonction des x et de leurs dérivées, les transformations du groupe de transformations G de l'équation (i), admet, comme fonction des indéterminées w, le groupe G' dualistique de G; et réciproquement toute fonction rationnelle des u invariante par G' est, comme fonction des a?, un invariant de G, qui est le dualistique de G'; elle s'exprime donc rationnellement. G' est donc le groupe de transformations de l'équation adjointe (4).

Comme l'intégration de chacune des équations adjointes (2) ou (4) entraîne celle de l'autre, on pourra, dans les applications, considérer comme équivalents deux types de groupes linéaires homogènes, correspondant à des groupes dualistiques.

SUR l'intégration des équations différentielles LINÉA1REÎ5. DQ