ÉQIATIONS DU SECOND ORDRE

1. Groupes linéaires homogènes à deux variables ('). — Le groupe linéaire homogène général à deux variables x^, x^ dépend de quatre paramètres. Toute transformation infinitésimale de ce groupe est une combinaison linéaire des quatre transformations

'^'tP\y ^'tPlt ^ipti ^ipt»

Nous allons déterminer ses sous-groupes; pour nous aider dans cette recherche nous considérerons x^, x., comme les coordonnées homogènes d'un point d'une droite.

Groupes à un paramétre. — Soit

un de ces groupes; trois cas peuvent se présenter :

a. Il laisse invariants deux points distincts; en les prenant pour points de repère, x^ = o, a?2= o, on trouve pour Xf la forme canonique

b. X/ laisse invariants deux points confondus; prenons le point double invariant pour point x^ = o, et nous obtenons la forme type

c. Le groupe laisse invariant tout point de la droite; c'est alors

(*) Ces groupeii ont été| depuis longtemps, déterminés par M. Lie.

E. VESSIOT.

Groupes à deux paramètres. — Tout groupe à deux paramètres possède au moins un sous-groupe invariant. De là trois cas :

a. Ce sous-groupe invariant est du type

Chacun des points qu'il laisse invariants est invariant par tout le groupe (*); la deuxième transformation infinitésimale du groupe est donc de la même forme, et le groupe a pour type

^iPl9 '^tpt

b. Le sous-groupe invariant est du type

Une deuxième transformation infinitésimale laisse encore invariant le point x^ = o. Si elle est du même type, le groupe est

^iPty ^iPi'+-^tPi

Si elle laisse invariants deux points distincts, elle est

X, = a, J7i pi -h a^J^iPt («1 ^ ûfi),

et le groupe contient

(XiX,) — (a,--rt,)a7i/?,.

On en conclut X = o, et pour le groupe la forme type

0?, ^„ a^xipi-ha^a^tp^

(ar/^ai).

Enfin, si X^ laisse invariant chaque point de la droite, on retombe sur l'avant-dernier type.

( ' ) Transformat u>nsgruppefi, I, p. 586.

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 6i

c. Le sous-groupe invariant est .r,^, -h x^p^\ on retrouve les types précédents '

^\P\> ^tPt

^\Pit ^^\P\~^^tPi

Groupes à trois paramètres, — Soit G un de ces groupes. S'il est intégrable, il est du type (ro/>II, Chap. VI, n** 2)

^\Pu ^iPu ^tPt

Sinon, il a la structure du groupe projectif général à une variable, c'est-à-dire

(X,XO - X„ (X,X,) rr. X3, (X.X,) = 2X,.

Xi,X2 forment un sous-groupe à transformations non échangeables, qui peut être pris sous la forme

et comme

soit alors

On a

X,= .r, />„ X,— «i^r,/?, -hûf,jr,/>5,

(XiX,)-=(a, — a,)j7,/>„ \i — at{ûr^pi-hXiPi) -h.r^Pf;

(X,Xj)=r6,a:j/>,, (XjXg) — /^j(.r,/7,~^5/7,),

d'où l'on conclut

et, par suite

6,~0, ^|-= Cia,-r:^— - 'î(rti-}- l),

X, — o?,/?,, X,— J(j7,p,— o^,/?,), Xj — — j:,;?,.

On trouve donc seulement le groupe linéaire spécial

•^'1/^2. ^\P\ - ^iPu ^^2 Pi

On obtient sans difficulté les transformations finies des i^roupes V. 9

F.. VESSIOT.

précédents; il reste comme groupes algébriques