HO
1 rfX
■p^ldt'
I dk
--''^''Pidt
Ces formules définissent un groupe continu infini de transformations des quantités p et q\ on en obtient un invariant différentiel du premier ordre en choisissant X de manière à annuler P, ce qui donne
(5) \=.e-Spd\
(6) x — \e-Sp^n^
et fournit la forme réduite
avec
La forme réduite devant rester la même, si l'on effectue d'abord dans l'équation (i) une transformation quelconque de la forme (2), K est bien un invariant différentiel de l'équation pour les transformations (2). On voit de plus que, si /> et K sont connus, q s'en déduit immédiatement.
Trois transformées bien connues jouent un rôle important dans l'étude de l'équation du second ordre : ce sont celles dont dépendent les invariants caractéristiques des groupes (1), (II) et (VIII). Le premier a pour invariant
et la transformée correspondante est
64 »- VKSSIOT.
Le groupe (11) a pour invariant
nous le remplaçons par un autre qui soit un invariant aussi pour les transformations (2), de sorte que les coefficients de la transformée s'expriment au moyen de l'invariant K. Cet invariantes!
La transformée peut se calculer sur l'équation réduite (7). On a
d'où l'équation de Riccati
Enfin le groupe (VIII) a pour invariant
C'est un invariant pour les transformations (2); on peut donc encore se servir de la réduite (7) pour trouver la transformée dont il dépend On a
donc
Aj Aj
-èy*(-.^y—
ou enfin
Yî' 2\r//
lî. Z)e rintégralion de l'équation du second ordre, — Supposons que nous ayons affaire à l'équation générale du second ordre. Notre théorie conduit alors à ce résultat connu qu'on en peut ramener l'intégration à celle d'une équation de Riccati et à une quadrature. On peut
SUR l'intégration des éqlations différentielles linéaires. 65
de plus faire en sorte que ces deux opérations soient indépendantes l'une de Taulre. En effet, si l'on intègre l'équation (9), au moyen de la quadrature
on réduit le groupe de transformations de l'équation au groupe de A, c'est-à-dire au groupe linéaire spécial. Si, en même temps, on intègre l'équation (10), cela réduit ce nouveau groupe à la transformation identique, puisqu'il est simple. L'équation donnée doit donc être intégrée. Soient en effet w^, m^, u trois intégrales de l'équation (10) : il existe deux intégrales de l'équation réduite (7) qui sont telles que l'on ait
et, en même temps,
Cela tient à ce que les deux premières de ces formules ne définissent X^ et X2 qu'à un facteur constant près. On en conclut
{u — Wi)Xi-h (m — Mj)Xj=0,
XiX,(e/,— wOnzi
et, par suite,
Remarque L — La présence d'un radical carré dans les formules (i3) tient à ce que les groupes de A et de m, u^ , u.^ ont en commun la transformation
(14) O^i = — J^i, vTjiz: — X^y
de sorte que, après la quadrature (12) et l'intégration de l'équation de Riccati(io), le groupe de transformations y?m>5 de l'équation se réduit en réalité à la transformation identique et à la transformation (i4)- Il faut donc encore l'extraction d'une racine carrée pour le réduire à la seule transformation identique.
66 E. VESSIOÏ.
Remarque IL — Si l'équation proposée a pour groupe de transformations le groupe linéaire spécial, A est rationnel, c'est-à-dire que la quadrature (12) disparaît dans le calcul précédent. 11 n'y a donc dans ce cas, qui se reconnaît à ce que le coefficient p est la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle, qu'à intégrer l'équation de Riccati (10).
4. Équations intégrables par quadratures. — La fonction -7- a pour
groupe le groupe (II) qui contient parmi ses sous-groupes tous les types qui suivent, c'est-à-dire tous les groupes intégrables. On a donc le théorème suivant, donné autrefois par Liouville (*) :
Théorème. — Pour qu une équation linéaire du second ordre soit intégrable par des quadratures, il faut et il suffit que la dérivée logarithmique d'une de ses intégrales soit rationnelle.
En général, il est avantageux de substituer à ^ l'invariant
ce qui donne l'énoncé :
Xy
Théorème. — Pour que l'équation du second ordre (i) soit intégrable par des quadratures, il faut et il suffit que la transformée de Riccati
ait une intégrale rationnelle.
Les deux énoncés n'en font qu'un si p = o.
Il résulte de là que la forme générale des équations du second ordre intégrables par quadratures est
R étant une fonction connue de t. On a un système fondamental d'in-
{^) Journal de Liouville, i'* série, t. IV, p. 4^3.
SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 67 tégrales par les formules
(16) x, — eS(^-p)'^\ x^ — x, fe-^S^^'dt.
Exemple. — Si Ton considère l'équation
l'équation de Riccati correspondante est
u'-Jf u^= --\- 6*.
Par l'emploi de la décomposition en éléments simples, on voit facilement que toute intégrale rationnelle de cette dernière équation est de la forme
F(^) étant un polynôme de degré n. On en conclut, par identification, que a = n(n 4- i), et que F(^) est donné par l'équation linéaire
t¥' ~h 2(bt — n)¥' — 2 bn¥ = o,
qui permet d'en calculer les coefficients de proche en proche.
Remarque. — Nous avons repris l'exemple précédent, quoiqu'il soit bien connu, parce qu'il conduit à un cas d'exception du théorème précédent que nous devons signaler.
Si l'on pose, dans l'équation (17), - = :;, on obtient l'équation
3 dx I / ^'\ 2Z dz z^ \ z j
qui, dans le cas a = n(/2 -h i) (n étant entier), est évidemment intégrable par quadratures, sans que la dérivée logarithmique d'aucune de ses intégrales puisse être rationnelle, puisque l'on a
ds^x I dS^x
^- ']LZ\JZ ^^
Il y a cependant dans ce cas, comme il est facile de le vérifier, un
68 K. VKSSÎOT.
invariant du groupe (Il ) qui est rationnel; seulement, Texpression de
-^— en fonction de cet invariant, fournie par la méthode générale de
calcul indiquée au Chapitre fH, n° 2 (deuxième Partie) devient illusoire quand on y remplace les coefûcients de Téquation linéaire et cet invariant par leurs valeurs actuelles.
Cas particuliers, — Dans le cas où le groupe de transformations de l'équation (i) est Tun des groupes (III), (IV), (V), (VI), (VII), (VHI), l'intégration, qui exige dans le cas précédent trois quadratures, dont deux superposées, se simplifie. Elle se réduit à une seule quadrature pour les trois derniers, à deux pour les autres; ces deux quadratures sont indépendantes dans le cas où le groupe est le groupe (IV). Nous n'effectuons pas ici les calculs, qui ne présentent que peu d'intérêt.
5. Équations intégrables algébriquement, — Notre théorie conduit également à la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation linéaire du second ordre s'intègre algébriquement. Il faut et il suffit que le groupe de transformationsy7/it>^ de cette équation soit l'un des groupes discontinus d' or Are fini contenus dans le groupe linéaire homogène à deux variables, c'est-à-dire qu'un invariant caractéristique d'un de ces groupes ait une valeur rationnelle. Ces groupes étant tous contenus dans le groupe linéaire spécial, il en résulte, en particulier, que son invariant A doit être rationnel, c'est-à-dire que le coefficient/? doit être la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle. Cette condition étant supposée remplie, on peut substituer aux invariants des groupes précédents des combinaisons homogènes de ces invariants qui admettront, en outre, le groupe continu à un paramètre engendré par la transformation infinitésimale U = ir</?, -harj/ia; car le groupe commun à une de ces fonctions et à A sera précisément le groupe discontinu correspondant. Les fonctions à considérer sont dès lors, par exemple, \e9> /onctions fondamentales considérées par M. Klein dans ses Leçons sur l'icosaèdre (*). Elles dépendent de certaines équations du troisième ordre que M. Klein donne dans le même Ouvrage (^),
( *) Klein, yortesungen Ciber dos Ikosaeder. p. 58. ( « ) Il}id., p. 77.
et où ne figure, outre la fonction considérée et ses dérivées, que l'invariant K. Il suffit alors d'écrire successivement que ces diverses équations ont une intégrale rationnelle pour retomber sur les types d'équations donnés par M. Klein (*), et avant lui, sous une autre forme, par M. Fuchs (*).
