ÉQUATIONS DU TROISIÈMB ORDRE

1. Groupes linéaires homogènes à trois variables. — Le groupe linéaire homogène à trois variables, x^^ x.^, j?,, dépend de neuf paramètres; il est défini par les transformations infinitésimales

ix^iPk (/, A- = i,2, 3).

Nous cherchons seulement les types de ceux de ses sous-groupes qui ne sont pas intégrables. Chacun d'eux contient au moins un soùsgroupe k trois paramètres ayant la structure du groupe projectif général à une variable ('); nous cherchons d'abord ces groupes à trois paramètres.

Groupes à trois paramètres, — Soit G l'un d'eux. Interprétons x^^ a?2, a?3 comme les coordonnées homogènes d'un point d'un plan. Un point arbitrairement choisi P reste fixe par au moins une transformation infinitésimale de 6, et, au plus, par deux : le sous-groupe ainsi défini laisse invariante une direction D (ou deux) passant par le point. Le groupe G échangé entre eux les éléments linéaires (P, D); il laisse donc invariante une équation différentielle du premier ordre, et, par suite, l'enveloppe de ses intégrales. Cette enveloppe admettant au

(*) Klein, Forlesungen àber dos Icosaeder, p. 120.

(») Gôitinger Nachricluen (août 1875). — Borchardt's Journal, t. 81 et 80.

(') Foir Gh. I, n"" 5 (première Partie).