II

^iPii '^ipi — ^ip\j ^ipt

G est donc de la forme

Xa =z Ui Pt^^z('^iPi-h Vj Pi -h v,/;3 ).

Il contient les crochets de ces transformations, qui sont de la forme

(X,Xj) = 2jrj,pi -h '2Xz('k\pi -h y^Pi),

(X,x,)= ^î/^ï — ^i/?iH-^s(/^;/?i-hH;/?,), (XjXg) = 2XiPi']- axj(v;/>, -r v;/>2).

SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. 7I

c'est-à-dire que l'on a

Si Ton écrit alors que le groupe a la structure voulue, on trouve que les autres constantes sont nécessairement nulles. Le groupe est donc le groupe (II).

Groupes contenant le groupe (I). — Posons, pour abréger,

Y, = x^ /?3-h ^8 />î, Y, = j?, ;9i-h J?, /?8, Y, = ^t /?jH- .r,/>| ;

Formant les crochets, il vient

(1) (X,Y,) = 2(Z3-Z0, (X,Y,)= Y3, (X,Y,)^~Y,; (X,Z.) = o, (XiZO=-Yo (X.Z,)= Yi;

d'où, en particulier,

Cela posé, soit

X = X| Y, -h >.2 Y, 4- X,Y,-t- |UL,Z, -h ^,Z, -f- ^jZj

une transformation quelconque du groupe considéré (autre que X,, X2, Xs). On a

(3) (X,(X,X)) = 4X,Y,-X,Y,->,Y,+ 2(fx,-|UL,)(Z,-Z,).

Ajoutant les trois transformations analogues à celle-là, il vient une nouvelle transformation du groupe, à savoir

2[X,Y,4->,Y,H-À;,YsH-(9./^,— ^,— /^,)Zi4-(:>.fXj— .J.3— ,U,)Z,4-('?fX3— ^,--fX,)Z3]

et, en retranchant 2X,

( fX, — ^l— f/3)Z, -h- (/^î — fX3 — fX, )Z, -h (fX3 — fX, — fX2)Z3.

Si l'on reprend sur cette transformation les mêmes calculs, les re-

72 j E. VESSIOT.

lations analogues à (3) fournissent les trois transformations nouvelles

(f^î— fA,)(Zj— Z3), (fX3— fx,)(Z,— Z,), (^1— fx,)(Z, — Z,).

Si donc on n'a pas [ji, = (jij = pi,, le groupe contient les trois trans formations

/j — /s» ^i — Zi, Zj — Z2,

et, par suite, à cause des relations telles que (2), Y,, ¥3, Y, C'est donc, ou bien le groupe linéaire spécial