CHAPITRE II
SUR LES FONCTIONS QU^ON DfiDUlT D^UNB PONCTION DONNfiB, EN T BPFBGTUÂlfT
TOUTES LES TRANSFORMATIONS d'uN GROUPE.
1. Lemme. -- Pour qu'une fonction H(a,, ...,a^) des paramètres a,, . . . , a^ dépende exactement de r -- p paramétres essentiels, il faut et il suffit que H soit intégrale d'un système complet de p équations linéaires indépendantes aux dérivées partielles, dont les coefficients soient des Jonctions de a^, . . . , a^*
I" D'abord, si l'on a
les b étant certaines fonctions des a, on en déduit
dEâKdb,^ dK âbr p /^,3
da/e âbx daic ~^ ' ' ' dbr-^ da^ ~ ' > • • • t ;•
D'où l'on peut tirer au moins p relations distinctes de la forme
(l) XA,(a) ,-^ -h. ..-h >Ar(^) ^- — O (A -1,2 p).
2® D'autre part, si H vérifie p relations telles que (i), H est intégrale du système complet de m ^ p équations qui peut s'en déduire ; il dépend donc seulement der— w^r — p fonctions des a et contient, au plus, r— p paramètres essentiels.
Si donc H dépend exactement de r — p paramètres essentiels, il faut que les équations (i) forment déjà un système complet et que H ne vérifie pas d'autre équation de la même forme, indépendante des premières. Et cela suffit.
2. Théorème fondamental. — Soit F(a7,, .. .,a?«) une fonction quelconque des arbitraires x^^ . . ., ^r^^. Si nous y effectuons la transformation générale
12 E. VESSIOT.
d'un groupe à r paramètres, nous obtenons une fonction
des indéterminées a? a?;, et des paramètres «i, ...,a^. Cela posé,
pour que $ dépende exactement de r -- p paramétres essentiels, il faut et il suffit que F admette précisément p transformations infinitésimales indépendantes du groupe, c'est-à-dire admette un sous-groupe à p paramétres du groupe donné.
Ce théorème résulte des deux remarques suivantes : I** Si $ dépend de r— p paramètres essentiels, F admet au moins p transformations infinitésimales du groupe. En effet, on a, dans ce cas, en vertu du lemme précédent, p relations distinctes
(4) 2^'^*^'^^ 5âr ~^ (/i — i,'i, .. .,p).
D'autre part, de l'identité (3), on tire
(^* ^ ôF dx\
da
-^dx'i'd^f, (^-1,2, ...,r),
et par suite, en se servant des formules (2) du Chapitre 1,
Les relations (4) deviennent alors
fr.1 [k^l J
yF-^0 (/i -- I, 2, . . . , p).
Enfin, en donnant aux a des valeurs particulières et remplaçant les lettres x^ par les lettres .r,-, on en tire p relations de la forme
(6) 2eAyXyF(x,, . .., JT;,) — O (h-:l,2,.. .,p),
SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. i3 ce qui prouve que F admet les p transformations infinitésimales
(7) ^^fiJ^J (/< — 1,2, ...,p).
Ces transformations sont, déplus, indépendantes; car si l'on avait, quels que soient les a, une identité de la forme
^yh^^hk^^jk^o (7 = 1,2, ...,r),
on en conclurait, puisque le déterminant des ^^a n'^^t pas nul identiquement,
^yhhik^o (X: = i,a, ...,r),
ce qui est impossible, les relations (4) étant distinctes.
2^ Si F admet p transformations infinitésimales du groupe, $ contient au plus r — p paramètres essentiels. En effet, supposons que F admette les p transformations infinitésimales indépendantes (7). On a alors les identités (6), et par suite, en changeant de lettres,
c'est-à-dire
OU, à cause des relations (3) du Chapitre I,
ce qui peut s'écrire
2 **>2«>*('')2 <?-;?; aë=*''
l4 E. VESSIOT.
OU enfin, en tenant compte de Tidentité (3"),
^^^ ^ ^^àJ^Jf^^^"^ Uâi~^ (A- 1,2, ...,p).
Ces p relations sont, de plus, indépendantes; car, si elles ne Tétaient pas, les transformations infinitésimales (7) ne le seraient pas non plus, puisque le déterminant des olj^ n'est pas nul. Il en résulte donc, en vertu de notre lemme, que O dépend au plus de r — p paramètres essentiels.
