Reman/iie I. — Posons, avec M. Lie

Ay/=2 «;*(«) ^ (y —1,2, ...,r);

les relations (8 ) s'écrivent alors

"^e^jkj^ = (A — 1,2, . ..,p),

de sorte qu'on a le résultat suivant :

Si la fonction F admet les p transformations infinitésimales (7 ) du groupe donne, la fonction $ qui s'en déduit, considérée comme fonction des a, admet les p transformations infinitésimales correspondantes

(9) ^^/iJ^J (/l — 1,2, .. .,p)

du groupe des paramètres (*) du groupe donné. De plus, les transformations (7) et (9) définissent deux groupes isomorphes.

Ce résultat est, du reste, intuitif. Supposons, en effet, que F admette la transformation du groupe (2) qui correspond aux valeurs b^, ...,br des paramètres, de sorte que, en posant

(10) xi =ifi{x'\b) (1 = 1,2, .. .,«),

(M S. Lie, Transfnrmationsgruppen, I, Ch. 21.

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. i5 on aura

(il) F(J7;, ..., J?;) — F(a:\, . . .yX^);

on peut écrire

xl=/i(x\a') (l=:l,2, ...,Al)

avec ( ' )

(12) ai- — (p^(a,, . . .,a;.| 6,, . . ., 6;.) (A:=: 1, 2, . . . , /•),

et l'identité (3) donne alors, à cause de (i 1),

c'est-k-dire que $, comme fonction des a, admet la transformation (12) du groupe des paramètres, correspondante à la transformation (10) du groupe proposé.

Remarque IL — Supposons que Ton donne aux paramètres a^, ...,a^ des valeurs particulières, et cherchons les transformations infinitésimales du groupe (2) que la fonction ^\{oo^, .. ..x^fU^ a^) admet.

Il suffit, pour cela, de se servir de l'identité (^)

2 c*X**(x I a) r-.^ «iXi V{x'),

OÙ les constantes e et e' sont liées par les formules

Elle montre qu'à chaque transformation infinitésimale ^^aX^ de F

en correspond une autre pour O, ^ ^^Xa, où les e' sont donnés par les formules

(i4) ek—^pkj{a)e, (A: — i, 2, . . ., r),

(>) Cela résulte de la notion même de groupe, La notation employée est celle de M. Lie (voir Transformat ionsgruppen, l, Ch. 1 et 21). (*) S. Lie, Transofrmationsgruppen, l, Ch. 16, p. 270 et suiv,).

l6 E. VESSIOT.

c'est-à-dire se déduisent des e par la transformation inverse de la transformation du groupe adjoint qui a pour paramètres a^, . . ., a^.

Il en résulte que, pour chaque système de valeurs des a, la fonction $ admet toujours un sous-groupe du groupe donné ayant le même nombre de paramètres, et aussi que tous ces groupes sont isomorphes.

Désignons enfin par G le groupe formé par les transformations (2) qui laissent F invariante, et par T la transformation particulière (2). Il est clair que le sous-groupe des transformations du groupe donné que $ admet est T"^GT. Ceci donne une interprétation intéressante du groupe adjoint, et montre de plus que, si les sous-groupes qui laissent invariantes les diverses fonctions $ (correspondantes aux diverses valeurs des paramètres a) ont en commun un sous-groupe, ce sousgroupe est le plus grand sous-groupe de G invariant dans le groupe proposé.